2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用2實(shí)際問題的函數(shù)建模學(xué)案北師大版必修1

實(shí)際問題的函數(shù)建模1．常用的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0指數(shù)函數(shù)模型y＝b·ax＋cb≠0，a>0，且a≠1對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋nm≠0，a>0，且a≠1冪函數(shù)模型y＝axn＋ba≠02.數(shù)據(jù)擬合通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們所熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么？提示：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為()x－2－10123yeq\f(1,16)eq\f(1,4)141664A.一次函數(shù)模型B．二次函數(shù)模型C．對(duì)數(shù)函數(shù)模型 D．指數(shù)函數(shù)模型【解析】選D.經(jīng)過驗(yàn)證函數(shù)y＝4x滿足題意．2．(教材例題改編)用一根長為12m的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架，則鐵框架的最大面積是______m2.【解析】設(shè)鐵框架的一邊為xm，則其面積S＝eq\f(（12－2x）x,2)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,12－2x>0，))得0<x<6.所以，當(dāng)x＝3時(shí)，S取最大值9.答案：93．西北某羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行促銷．在一年內(nèi)，根據(jù)預(yù)算得羊皮手套的年利潤L萬元與廣告費(fèi)x萬元之間的函數(shù)解析式為L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x＞0).則當(dāng)年廣告費(fèi)投入________萬元時(shí)，該公司的年利潤最大．【解析】由題意得L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)L取得最大值21.5.故當(dāng)年廣告費(fèi)投入4萬元時(shí)，該公司的年利潤最大．答案：4類型一用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y＝6x＋30000.而出廠價(jià)格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒()A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套【解析】選D.因利潤z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生產(chǎn)文具盒5000套．2．如圖所示，這是某電信局規(guī)定的打長途所需要付的費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖像．根據(jù)圖像填空：(1)通話2分鐘，需要付費(fèi)________元．(2)通話5分鐘，需要付費(fèi)__________元．(3)如果t≥3，則費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為__________．【解析】(1)由圖像可知，當(dāng)t≤3時(shí)，費(fèi)都是3.6元，所以通話2分鐘，需要付費(fèi)3.6元．(2)由圖像可知，當(dāng)t＝5時(shí)，y＝6，需付費(fèi)6元．(3)易知當(dāng)t≥3時(shí)，圖像過點(diǎn)(3，3.6)，(5，6)，利用待定系數(shù)法求得y＝1.2t(t≥3).答案：(1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3)3．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N＋，,2x＋10，10≤x<100，x∈N＋，,1.5x，x≥100，x∈N＋，))其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為________．【解析】令y＝60，若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25.答案：25解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題的步驟(1)確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x).(2)討論x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，針對(duì)具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題．(3)給出實(shí)際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．提醒：解實(shí)際問題時(shí)應(yīng)特別注意自變量的取值范圍受實(shí)際意義的限制．【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩方面的信息，如圖．甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚池平均產(chǎn)量從第1年1萬只甲魚上升到第6年2萬只．乙調(diào)查表明：甲魚池個(gè)數(shù)由第1年30個(gè)減少到第6年10個(gè)．請(qǐng)你根據(jù)提供的信息說明：(1)第2年甲魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)．(2)到第6年這個(gè)縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？說明理由．(3)第幾年的養(yǎng)殖規(guī)模最大？最大養(yǎng)殖量是多少？【解析】(1)由圖可知，y甲＝kx＋b的圖像經(jīng)過(1，1)和(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.所以y甲＝0.2(x＋4).同理可得y乙＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2))).故第2年甲魚池的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為26×1.2＝31.2(萬只).(2)規(guī)?？s小，原因是：第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年出產(chǎn)甲魚總數(shù)為20萬只．(3)設(shè)第x年養(yǎng)殖規(guī)模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2)))＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(3.6,2×（－0.8）)＝2eq\f(1,4)，因?yàn)閤∈N＋，所以當(dāng)x＝2時(shí)，y甲·y乙＝31.2，即第二年規(guī)模最大，為31.2萬只．類型二擬合函數(shù)問題(數(shù)學(xué)建模)角度1二次函數(shù)模型【典例】A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城xkm處的D地建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．(1)把A，B兩城月供電總費(fèi)用y(萬元)表示成x(km)的函數(shù)，并求定義域．(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用最?。俊舅悸穼?dǎo)引】根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合或函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值．【解析】(1)由題意設(shè)A城的月供電費(fèi)用為y1，y1＝λ×20x2，設(shè)B城的月供電費(fèi)用為y2，則y2＝λ×10×(100－x)2，所以A，B兩城月供電總費(fèi)用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.因?yàn)棣耍?.25，所以y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90).(2)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3).則當(dāng)x＝eq\f(100,3)km時(shí)，y最小．故當(dāng)核電站建在距A城eq\f(100,3)km時(shí)，才能使供電總費(fèi)用最小．角度2擬合函數(shù)問題【典例】已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級(jí)快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用Q(單位：萬元)與速度v(單位：百公里/小時(shí))(0≤v≤3)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：v0123Q00.71.63.3為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0.5v＋a，Q＝klogav＋b.(1)試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用．【思路導(dǎo)引】(1)對(duì)題中所給的三個(gè)函數(shù)解析式進(jìn)行分析，對(duì)應(yīng)其性質(zhì)，結(jié)合題中所給的條件，作出正確選擇，之后利用待定系數(shù)法求得解析式，得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，之后應(yīng)用配方法求得最值，得到結(jié)果．【解析】(1)若選擇函數(shù)模型Q＝0.5v＋a，則該函數(shù)在v∈[0，3]上單調(diào)遞減，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．若選擇函數(shù)模型Q＝klogav＋b，須v>0，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在v＝0時(shí)有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．從而只能選擇函數(shù)模型Q＝av3＋bv2＋cv，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0.7，,8a＋4b＋2c＝1.6，,27a＋9b＋3c＝3.3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0.7，,4a＋2b＋c＝0.8，,9a＋3b＋c＝1.1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.1，,b＝－0.2，,c＝0.8，))故所求函數(shù)解析式為Q＝0.1v3－0.2v2＋0.8v(0≤v≤3).(2)設(shè)超級(jí)快艇在AB段的航行費(fèi)用為y(萬元)，則所需時(shí)間為eq\f(3,v)(小時(shí))，其中0<v≤3，結(jié)合(1)知，y＝eq\f(3,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.1v3－0.2v2＋0.8v))＝0.3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v－1))2＋7))，所以當(dāng)v＝1時(shí)，ymin＝2.1.答：當(dāng)該超級(jí)快艇以1百公里/小時(shí)航行時(shí)可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2.1萬元．解決擬合函數(shù)模型問題的步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪制兩個(gè)變量間的散點(diǎn)圖．(2)通過散點(diǎn)圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系．(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)，為決策和管理提供依據(jù)．1．某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668低谷時(shí)間段用電價(jià)格表低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元．(用數(shù)字作答)【解析】高峰時(shí)間段200千瓦時(shí)的電費(fèi)為50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷時(shí)間段100千瓦時(shí)的電費(fèi)為50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以這個(gè)家庭該月應(yīng)付電費(fèi)為118.1＋30.3＝148.4(元).答案：148.42．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施．方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)．問：(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠長，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過計(jì)算加以說明．(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長，又該如何決策呢？【解析】設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，依方案一的利潤為y1，依方案二的利潤為y2，由題意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當(dāng)x＝3000時(shí)，y1＝42000，y2＝54000，因?yàn)閥1<y2，所以應(yīng)選擇方案二處理污水．(2)當(dāng)x＝6000時(shí)，y1＝114000，y2＝108000，因?yàn)閥1>y2，所以應(yīng)選擇方案一處理污水．3．改革開放四十周年紀(jì)念幣從2018年12月5日起可以開始預(yù)約．通過市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念幣1枚的市場(chǎng)價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天81032市場(chǎng)價(jià)y元826082(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)刻畫改革開放四十周年紀(jì)念幣的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由．(2)利用你選取的函數(shù)，求改革開放四十周年紀(jì)念幣市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．【解題指南】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性選擇模型；(2)求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值．【解析】(1)由表格可知隨著上市時(shí)間的增加，市場(chǎng)價(jià)y先減少，后增大，而函數(shù)y＝ax＋b和y＝alogbx均為單調(diào)函數(shù)，顯然不符合題意；故選擇函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c.(2)把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，82))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，60))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32，82))代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64a＋8b＋c＝82，,100a＋10b＋c＝60，,1024a＋32b＋c＝82，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－20，,c＝210，))所以y＝eq\f(1,2)x2－20x＋210＝eq\f(1,2)(x－20)2＋10，所以上市天數(shù)為20時(shí)市場(chǎng)價(jià)最低，最低價(jià)格為10元．1．一輛汽車在某段路上的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖像如圖，那么圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為()A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．對(duì)數(shù)函數(shù)【解析】選A.由圖像知，在不同時(shí)段內(nèi)，路程折線圖不同，故對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為分段函數(shù)．2．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的