概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

講稿

第一章概率論的基本概念

一、基本概念

1.隨機(jī)試驗(yàn)

2.樣本空間

試驗(yàn)所有可能結(jié)果的全體是樣本空間稱(chēng)為樣本空間。通常用大寫(xiě)的希臘字母表示（本書(shū)用S表示）每個(gè)結(jié)果叫一個(gè)樣本點(diǎn).

3．隨機(jī)事件

中的元素稱(chēng)為樣本點(diǎn)，常用表示。

(1)樣本空間的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件(用A,B表示)。

(2)樣本空間的單點(diǎn)子集稱(chēng)為基本事件。

(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果在隨機(jī)事件A中，則稱(chēng)事件A發(fā)生。

(4)必然事件。

(5)不可能事件。

(6)完備事件組（樣本空間的劃分）

4．概率的定義（公理化定義）

5．古典概型

隨機(jī)試驗(yàn)具有下述特征：

1）樣本空間的元素（基本事件）只有有限個(gè)；

2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的；

稱(chēng)這種數(shù)學(xué)模型為古典概型。

P(A)=k

nA包含的基本事件數(shù)

基本事件總數(shù)。

6．幾何概型p(A)

7．條件概率

設(shè)事件B的概率p(B)0.對(duì)任意事件A，稱(chēng)P(A|B)=

件下事件Ａ發(fā)生的條件概率。

8．條件概率的獨(dú)立性P(AB)P(B)A的長(zhǎng)度（面積、體積）的長(zhǎng)度（面積、體積）為在已知事件Ｂ發(fā)生的條

A、BF,若P(AB)=P(A)P(B)則稱(chēng)事件A、B是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立的。設(shè)三個(gè)事件A,B,C滿(mǎn)足

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱(chēng)A,B,C相互獨(dú)立。

二、事件的關(guān)系的關(guān)系與運(yùn)算

１.事件的包含關(guān)系

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含了A，記作AB。

２.事件的相等

設(shè)A,B,若AB，同時(shí)有BA，稱(chēng)A與B相等，記為A=B，

３.并(和)事件與積(交)事件

“A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作AB.

“A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或交事件。記作AB或AB４.差事件

“A發(fā)生B不發(fā)生”這一事件為A與B的差事件，記作AB

５.對(duì)立事件

稱(chēng)“A”為A的對(duì)立事件或稱(chēng)為A的逆事件，記作A。

AAAAA

６.互不相容事件（互斥事件）

若兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB，稱(chēng)A與B為互不相容事件（或互斥事件）。７.事件的運(yùn)算法則

1)交換律ABBA,ABBA

2)結(jié)合律ABCABC,ABCABC

3)分配律ABCACBC

(AB)C(AC)(BC)

4)對(duì)偶原則ABAB，ABAB

三、常用公式

1.加法公式

（1）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

（2）對(duì)任意三個(gè)事件A、B，C

p(ABC)P(A)P(B)P(C)p(AB)p(AC)p(BC)p(ABC)

2.減法公式

若AB則P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)P(A)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

3.對(duì)立事件概率公式

對(duì)任一隨機(jī)事件A，有P（A）=1-P（A）；

4.乘法公式

當(dāng)p(A)0時(shí):p(AB)p(A)P(B|A

p(ABC)p(A)P(B|A)p(C|AB)

5全概率公式

n

定理1：設(shè)B1,B2,,Bn是一列互不相容的事件，且有Bi,對(duì)任何事件A，

i1

n

有P(A)=P(Bi)P(ABi)

i1

6、貝葉斯公式

n

定理2：若B1,B2,,Bn是一列互不相容的事件，且Bi

i1

則對(duì)任一事件A有p(Bi|A)p(Bi)p(A|Bi)n

j1p(Bj)p(A|Bj)

兩個(gè)公式的相同點(diǎn)：相關(guān)問(wèn)題都有兩個(gè)階段；

兩個(gè)公式的不同點(diǎn)：

全概率公式用于求第二階段某事件發(fā)生的概率，“由因求果”

貝葉斯公式用于已知第二階段的結(jié)果，求第一階段某事件發(fā)生的概率，“由果求因”

7.貝努里概型

貝努里試驗(yàn):若試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果A及A，稱(chēng)這個(gè)試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn)。貝努里概型

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有如下特征：

1）每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；

2）每次試驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件A；

3）每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同p(A)p0p(A)1pq

稱(chēng)試驗(yàn)E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型。若將試驗(yàn)做了n次，則這個(gè)試驗(yàn)也稱(chēng)為n重貝努里試驗(yàn)。記為E。

kknk設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了X次，則P{Xk}Cnp(1p),k1,2,,nn

四、舉例

例1.已知p(AB)p(AB)，p(A)p，求p(B)

【解】p(AB)p(AB)p(AB)1[p(A)p(B)p(AB)]

p(B)1p

例2.已知p(A)p(B)p(C)

個(gè)發(fā)生的概率。

【解】p(ABC)P(A)P(B)P(C)p(AB)p(AC)p(BC)p(ABC)1

41414185814,p(AB)p(BC)0,p(AC)18,求A,B,C至少有一=000

例3.（摸球模型不放回用組合問(wèn)題求解）在盒子中有6個(gè)球，4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)（不放回）。求取出的兩個(gè)球都是白球的概率，兩球顏色相同的概率，至少有一個(gè)白球的概率。

【解】設(shè)A：兩個(gè)球都是白球，B：兩個(gè)球都是紅球，C：至少有一個(gè)白球

基本事件總數(shù)為C6=15

A的有利樣本點(diǎn)數(shù)為C426,P(A)=6/15=2/5

B的有利樣本點(diǎn)數(shù)為C2122,P(B)=1/15

P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15

P(C)=1-P(B)=14/15

例4.（摸球模型有放回用二項(xiàng)分布求解）在上題中，取球方法改成有放回，結(jié)果如何？

【解】用X表示取到白球數(shù)

4222P(A)=p{X2}=C21=93320

P(B)=022102p{X0}=C21

339

P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9

P(C)=1-P(B)=8/9

例5（抽簽原理）有a個(gè)上簽，b個(gè)下簽，2個(gè)人依次抽簽，采用有放回與無(wú)放回抽簽，證明每個(gè)人抽到上簽的概率都是a

ab

【證】放回抽樣結(jié)論是顯然的；

不放回可用全概率公式證明pa

ab

1

2例6：（幾何概型）在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于

______．

【解】以x和y分別表示甲乙約會(huì)的時(shí)間，

則{(x,y)|0x1,0y1}

兩人到會(huì)面出時(shí)間差不超過(guò)15分鐘

A{(x,y)0x1,0y1,xy0.25的概率為

p(A)SA

S34

例7：某工廠(chǎng)有三條生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)同一中產(chǎn)品，該3條流水線(xiàn)的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%，30%，50%，又這三條流水線(xiàn)的不合格品率為5%，4%，3%，現(xiàn)在從出廠(chǎng)的產(chǎn)品中任取一件，

（1）問(wèn)恰好抽到不合格品的概率為多少？

(2)已知抽到不合格品，求該產(chǎn)品來(lái)自一車(chē)間的概率

【解】(1)設(shè)Bi：表示產(chǎn)品來(lái)自第i條生產(chǎn)線(xiàn)

A：表示抽到不合格品

由題意p(B1)0.2,p(B2)0.3,p(B3)0.5

p(A|B3)0.03p(A|B1)0.05,p(A|B2)0.04,

3

P(A)

i1p(Bi)p(A|Bi)0.20.050.30.040.50.03

=0.037(2)p(B1|A)p(B1)p(A|B)30.20.050.20.050.30.040.50.0310

37

i1p(Bi)p(A|Bi)

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)該題細(xì)心體會(huì)貝葉斯公式和貝葉斯公式的用法。

例8甲乙兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)，甲命中的概率為0.6，乙命中的概率為0.5。已知已命中目標(biāo)，求是甲命中目標(biāo)的概率。

【分析】咋看這個(gè)題目覺(jué)得應(yīng)用貝葉斯公式求解，但仔細(xì)分析個(gè)目中只有一個(gè)過(guò)程，應(yīng)用條件概率求解。

【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B

pA|Cp(AC)

P(AC)p(A)

P(AB)

3

4P(A)p(A)p(B)p(A)p(B)=0.6

0.60.50.60.5

例9：一個(gè)盒子中有4件產(chǎn)品，3件一等品，1件二等品，從中任取兩件，設(shè)事件A表示“第一次取到一等品”，B表示“第二次取到一等品”，求pB|A。

【解】pB|Ap(AB)

P(A)C3/C4

3/4221/2

3/42/3

這一結(jié)果的意義是明顯的

例10：假定某人做10個(gè)選擇題，每個(gè)題做對(duì)的概率均為

（1）該同學(xué)做對(duì)3道題的概率；

(2)該同學(xué)至少做對(duì)3道題的概率；

【解】3p{X3}=C1014；求13

4437

1-p{X0}p{X1}p{X2}013=1-C1044010113213-C10-C10

44441929

【點(diǎn)評(píng)】“至少??”,通過(guò)對(duì)立事件求解。

例11：某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為

(A)3p(1p)．(B)6p(1p).

(C)3p(1p)．(D)6p(1p)．[C]例12：設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(B)0,P(A|B)1，則必有

(A)P(AB))(B)P(AB)P(B)P(A222222

(C)P(AB)P(A)(D)P(AB)P(B)[C]

22例13：設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,1)，Y服從正態(tài)分布N(2,2)，且

PX11PY21

則必有

(A)12(B)12

(C)12(D)12[A]

教學(xué)后記

教案

第二章一維隨機(jī)變量及其分布

一、分布函數(shù)的定義與性質(zhì)

1.隨機(jī)變量

定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)）ω唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)X()，則稱(chēng)實(shí)變量X為隨機(jī)變量，通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量，

例1：一射手對(duì)一射擊目標(biāo)連續(xù)射擊，則他命中目標(biāo)的次數(shù)X為隨機(jī)變量，X的可能取值為0，1，2??

例2：某一公交車(chē)站每隔5分鐘有一輛汽車(chē)?？?，一位乘客不知道汽車(chē)到達(dá)的時(shí)間，則侯車(chē)時(shí)間為隨機(jī)變量X,的可能取值為X=[0,5]。

例3：大炮對(duì)某一目標(biāo)射擊，彈著點(diǎn)的位置，如果建立如圖所示的坐標(biāo)系，則彈著點(diǎn)就可以用一個(gè)二維坐標(biāo)（X,Y）表示出來(lái)，這時(shí)，就要用二維隨機(jī)變量來(lái)描述。

2.分布函數(shù)

定義2定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)()，稱(chēng)為是樣本空間上的（實(shí)值）隨機(jī)變量，并稱(chēng)

F(x)P{Xx}

是隨機(jī)變量()的概率分布函數(shù).簡(jiǎn)稱(chēng)為分布函數(shù).

分布函數(shù)的性質(zhì)：

（1）單調(diào)性若x1x2,則F(x1)F(x2)；

（2）F()limF(x)0x

Fx()F()limx

（3）右連續(xù)性F(x0)F(x)

（4）P{aXb}F(b)F(a)

二、離散型隨機(jī)變量

1.概念

定義3：只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量X為一維離散型隨機(jī)變量簡(jiǎn)稱(chēng)離散型隨機(jī)變量。

2.分布律及其表示

如果離散型隨機(jī)變X可能取值為(a1,a2,a3...........)，相應(yīng)的概率

變量X的分布列，也稱(chēng)為分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)分布。為隨機(jī)

（1）分布律表示方法——公式法

（2）分布律表示方法——列表法也可以用下列表格或矩陣的形式來(lái)表示，稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布律：

分布列的性質(zhì):

非負(fù)性：1）pi0

規(guī)范性：2）pi1

i1

分布函數(shù)F(x)

0

例1:已知X~141axixpi2(1)求a，(2)分布函數(shù)2ax0

0x1

1x2

x20114【解】aF(x)3241

例2：設(shè)袋中有五個(gè)球（3個(gè)白球2個(gè)黑球）從中任取兩球，X表示取到的黑球數(shù)。（1）求X的分布律；（2）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

【解】X可能取值為0，1，2。

P{X0}3

10,P{X1}

1

3

561035,P{X2}1100X的分布律X~310

0

110F(x)910

12110x00x11x2x2

三、連續(xù)型隨機(jī)變量

1.一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念

定義1若X是隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)f(x)，使對(duì)任意的x，有F(x)

x

f(t)dt，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的F(x)為連續(xù)型分布函數(shù).同時(shí)稱(chēng)

f(x)p(x)是F(x)的概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)為密度.

2.密度函數(shù)f(x)具有下述性質(zhì)：

（1）非負(fù)性f(x)0（1）規(guī)范性

f(x)dx1

（3）x(X)P(px{xx22})F(x2)F(x1)11

（4）p{Xx0}0（5）由F(x)

dF(x)dx

xx2

x1x1

pf((yx)dy)dx

x

p(y)dy式可知，對(duì)p(x)的連續(xù)點(diǎn)必有

F’(x)p(x)

例3：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarctanx。

（1）求A，B，f(x)(2)求p{X1|X1}

【解】F()limF(x)0

x

Fx()F()lim

x

得A

12

，B

1

，f(x)

1

(1x)

2

1F(1)1F(1)

13

p{X1|X1}=

p{X1,X1}

p{X1}

p{X1}p{X1}

kx

x

例4：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)2

20

0x33x4。other

（1）k(2)分布函數(shù)（3）求p{1X

4148

72

【解】（1/6）（四、常見(jiàn)分布

）

(1)兩點(diǎn)（0-1）分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的的分布列為

01

P1P

其中0P1，則稱(chēng)服從兩點(diǎn)分布，亦稱(chēng)服從（0—1）分布，簡(jiǎn)記為~(0—1）分布.

(2)二項(xiàng)分布若離散型隨機(jī)變量的分布列為

kp(k)Cnpq,knkk0,1,2,n

其中0p1,q1p，則稱(chēng)服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)稱(chēng)服從二項(xiàng)分布，記為~b(k;n,p).

n

k易驗(yàn)證P(k)0,Cn

k0pqknk(pq)1n

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布就化為兩點(diǎn)分布.可見(jiàn)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例.

(3)普哇松（Poisson）分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，，且取各個(gè)值的概率為

P(k)ek

k!,k0,1,2,,

其中0為常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的普哇松分布，記為~P(k;).易驗(yàn)證

(1P)(k)0k,0,1,2,;

(2)P(k)

k0kk!e1

定理（普哇松定理）在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為pn（與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)）如果當(dāng)n時(shí)，npn(0常數(shù)），則有

(n;n,plimbkx0k!kek,0,1,2,

(4)幾何分布設(shè)是一個(gè)無(wú)窮次貝努里試驗(yàn)序列中事件A首次發(fā)生時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，且可能的值為1,2,.而取各個(gè)值的概率為P(k)(1p)k1pqk1p,k1,2..

其中0p1,q1p，則稱(chēng)服從幾何分布.記為~g(k,p).易驗(yàn)證

(1P)(k)pqk10k,1,2,

(2)pq

k1k11

(5)均勻分布

若隨機(jī)變量()的概率密度函數(shù)為

1p(x)ba

0axb其他

時(shí)，則稱(chēng)隨機(jī)變量()服從[a,b]上的均勻分布.顯然p(x)的兩條性質(zhì)滿(mǎn)足.其分布函數(shù)為

0

xaF(x)

ba

1xaaxbxb

記為~U[a,b].

(6)指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

1ex

F(x)p{XX}

0x0x0

概率中稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.而隨機(jī)變量X的概率密度為

ex,p(x)0,x0x0

(7)正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

pf((xx

))(x)222,x（*）

2X~N(,),(0)是兩個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)設(shè)隨機(jī)變量X服從,的正態(tài)分布，記為(

相應(yīng)的分布函數(shù)為

F(x)x

(y)222edy,x

并且稱(chēng)F(x)為正態(tài)分布，記作N(,2).如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是正態(tài)分布，也稱(chēng)X是一個(gè)正態(tài)變量.

N(0,1)分布常常稱(chēng)為是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)通常以(x)表示，相應(yīng)的分布函數(shù)則記作

(x)，所以(x)x

(y)dyx

ey22dy

(1)(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，f(x)關(guān)于x對(duì)稱(chēng)；

（2）(x)在x0，f(x)在x取得最大值；

（3）x1是(x)的拐點(diǎn)，x是f(x)的拐點(diǎn)；

（4）若X~N(,2)，則p{X}p{X}0.5

（5）(x)1(x)

例5：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)N(108,9)分布，

（1）求P(101.1117.6).

（2）求常數(shù)a,使P(a)0.90

【解】

108(1)P(101.1117.6)P2.33.23

(3.2)(2.3)(3.2)(1(2.3))0.99931310.9892760.988589;

（2）P(a)P1083a1080.90，所以3a108

31.28,a111.84；

五、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例6，已知X~0.2100.210.4222X1,2X，求的分布列。0.2

【解】2X1~10.210.2

2

0.630.440.250.2

2X20~0.2

2.一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)yf(x)為一通常的連續(xù)函數(shù)，令Yg(X)，其中X為隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量，并稱(chēng)它為隨機(jī)變量X的函數(shù).

（1）FY(y)p{Yy}p{g(X)y}

fy(y)FY/(y)

例7：已知X~N(2,4)，求Y2X1的概率密度。

1

22(x2)82f(x)dxg(X)y【解】fX(x)e

y1

2FY(y)p{Yy}p{2X1y}p{X

1

22y1(x2)822

_edx

2

/fy(y)FY(y)=142e(y3)

24y

例8：已知隨機(jī)變量X的概率密度為

2xfX(x)00x8other

求YsinX的概率密度。

解題步驟：

（1）求出x的有效作用范圍（fX(x)0的范圍），并根據(jù)yg(x)求出Y的有效作用范圍[a,b];

(2)當(dāng)ya時(shí)，F(xiàn)Y(y)p{Yy}0

當(dāng)yb時(shí)，F(xiàn)Y(y)p{Yy}1

當(dāng)ayb時(shí)，

FY(y)p{Yy}p{g(X)y}f(x)dx

g(X)y

（3）fy(y)FY/(y)求出概率密度。

【解】（1）0x8時(shí)，ysinx，0y1;

(2)當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)p{Yy}0

當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y(y)p{Yy}1

當(dāng)0y1時(shí)，

FY(y)p{Yy}p{sinXy}

p{0Xarcsiny}p{arcsinyX}=arcsiny

02xdxarcsiny2x

1（3）fy(y)FY/(y)y2

00y1other

例9：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1,若x[1,8],f(x)33x2其他;0,

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).

【解】易見(jiàn)，當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)x>8時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于x[1,8]，有

x

3F(x)13t21x1.

設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然，當(dāng)y0時(shí)，G(y)=0；當(dāng)y1時(shí)，G(y)=1.對(duì)于y[0,1)，G(y)P{Yy}P{F(X)y}

3=P{X1y}P{X(y1)}=F[(y1)]y.3

于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為

0,若y0,

G(y)y,若0y1,

1,若y1.

例10：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1

2,1x01

fXx,0x2，

4

0,其他

令YX2求Y的概率密度f(wàn)Yy

【解】設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，即FY(y)P(Yy)P(X1)當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)0；2)當(dāng)0y1時(shí)，

FY(y)P(X

2

2

y)，則

y)P

X

02

x

4

1x

3)當(dāng)1y

4時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(X

4)當(dāng)y4，F(xiàn)Y(y)1.所以

y)P1X

12

01

12

dx

14

x

.

0y,y1

fY(y)FYy()0,其他

1

.4

定理設(shè)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為p(x)，又yf(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)

h(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f()也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)為

p[h(y)hy’(),y(y)0,其他

其中

minf{(

maxf{(f),(f),()

)}

證明不妨設(shè)f(x)是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)，這時(shí)它的反函數(shù)h(y)也是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)，于是

(F(y)Py)P(f()y

P(h(y))由此得的密度為h(y)p(x)dx,f()yf()

]y’(f),(y)f(p[h(y)h’y)(y)F(0,其他)

同理可證當(dāng)f(x)嚴(yán)格單調(diào)下降時(shí)，有

]y’(f),(y)f(P[h(y)h

0,其他(y)

由此定理得證.

2例11：設(shè)~N(,)，又yf(x)x

，易驗(yàn)證這時(shí)定理3.1的條件滿(mǎn)足，又因

為yf(x)的反函數(shù)為h(y)y，所以有

y2

(y)p[h(y)]h’(y

~N(0,1).2e(y)由此可見(jiàn)

教學(xué)后記

教案

第三講：多維隨機(jī)變量及其分布

一、基本概念

1聯(lián)合分布函數(shù)

設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機(jī)變量，x,y是任意實(shí)數(shù)，

F(x,y)P(Xx,YY)

二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）單調(diào)性F(x,y)關(guān)于x(y)單調(diào)不減；

（2）0F(x,y)1,F(x,)F(,y)0,F(,)1；(3)F(x,y)關(guān)于x(y)右連續(xù)；

(4)P{x1Xx2,y1Yy2}F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x2,y2)3．邊緣分布函數(shù)

設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則FX(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(x,)FY(y)P{Yy}P{X,Yy}F(,y)

，

二維隨機(jī)變量（X,Y）的邊緣分布函數(shù)。

二、離散型二維隨機(jī)變量

1.離散型二維隨機(jī)變量的分布律

設(shè)(X,Y)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們一切可能取的值為(ai,bj),i,j1,2,,令

pipPab),i,jpijj{Xai,Yibj}j

1,2,

稱(chēng)(pij;i,j1,2,)是二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布.二維聯(lián)合分布的三個(gè)性質(zhì)：

(1)pij0,i,j1,2,;

(2)

i1

j1

pij1

2.離散型二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)(3)P(ai)pijpi

j1

F(x,y)

pij

XxiYyj

3.離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布p{Xxi,Yyj}=pij(i,j1,2,)中對(duì)固定的i關(guān)于j求和而得到

p{Xxi}p{Xxi,Y}

j1

pijpi.

p{Yyj}p{X,Yyj}

i1

pijp

.j

4.離散型二維隨機(jī)變量的條件

對(duì)于固定的j若，p{Yyj}p.j0，稱(chēng)

p{Xxi|Yyj}

p{Xxi,Yyj}

p{Yyj}

pijp.

j

為在Yyj的條件下，隨機(jī)變量Xxi的條件概率.

p{Xxi,Yyj}

p{Xxi}

pijpi.

同樣定義p{Yyj|Xxi}變量Yyj的條件概率.條件概率符合概率的性質(zhì)

p{Xxi|Yyj}0

為在Xxi的條件下，隨機(jī)

i1

p{Xxi|Yyj}1

5.離散型二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性

設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布列與邊緣分布為：

P{Xxi,Yyj}pij，p{Xxi}pi.p{Yyj}p.j

定理1：離散型隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)于任意的i,j都有pijpi.p.j

例1從1，2，3，4種任取一個(gè)記為X，在從1X種任取一個(gè)記為Y，

(1)求二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律

(2)求二維隨機(jī)變量（X,Y）的邊緣分布律。

1X~1/4

21/4

31/4

41Y~25/481/4

213/48

37/48

3/484

(3)求Y1的條件下，X的概率分布

p{X1|Y1}p11/p.1p{X2|Y1}p12/p.1p{X3|Y1}p13/p.1p{X4|Y1}p13/p.1

1/425/48

1/825/481/1225/481/1625/48

12256

25425325

(4)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立嗎？

p11(1/4)(1/4)(25/48)p1.p.1

X,Y不獨(dú)立。

0

10

Y~，0.40.5

1

，且p{XY0}0.4，求隨機(jī)變量

（X,Y）0.6

例2X~0.5

的聯(lián)合分布律及p{XY}。

例3已知X,Y獨(dú)立，完成下表：

例4已知（X,Y）的分布律為：

已知{X0}與{XY1}獨(dú)立，求a,b

三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量

1．定義與性質(zhì)

如果聯(lián)F(x,y)是一個(gè)合分布函數(shù)，若存在函數(shù)p(x,y)，使對(duì)任意的(x,y)，有F(x,y)xypu(v,dudv)

成立，則稱(chēng)F(x,y)是一個(gè)連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù)，并且稱(chēng)其中的p(x,y)是F(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)為密度.

如果二維隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是連續(xù)型分布函數(shù)，就稱(chēng)(,)是二維的連續(xù)型隨機(jī)變量.

密度函數(shù)的性質(zhì)：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，任一二元密度函數(shù)p(x,y)必具有下述性質(zhì)：

(1)p(x,y)0;

(2)p(x,y)dxdyF(,)1

反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)具有上述兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)p(x,y)，必定可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù).此外，密度函數(shù)還具有性質(zhì)：

（3）若p(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，F(xiàn)(x,y)是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有

F(x,y)p(x,y)xy2

（4）若G是平面上的某一區(qū)域，則

)GP(,

Gp(x,y)dxdy

2．連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

若（X,Y）聯(lián)合分布函數(shù)已知，那么，它的兩個(gè)分量X與Y的分布函數(shù)稱(chēng)為邊際分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)求得，

概率密度

fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx

3.連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布

若（X,Y）概率密度為f(x,y)，邊緣概率密度f(wàn)Y(y)0，稱(chēng)fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)

為在Yy的條件下，隨機(jī)變量X的條件概率密度.類(lèi)似地，稱(chēng)fY|X(y|x)f(x,y)

fX(x)fX(x)0

為在Xx的條件下，隨機(jī)變量Y的條件概率密度.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為F(x,y)，如果對(duì)任意的x,y都F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y)則稱(chēng)X,Y是獨(dú)立的

4.隨機(jī)變量的獨(dú)立性

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為F(x,y)，如果對(duì)任意的x,y都F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y)則稱(chēng)X,Y是獨(dú)立的

定理2：如果(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與也都是連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的

Y密度函數(shù)分別為fX(x),fY(y)，這時(shí)容易驗(yàn)證X與Y獨(dú)立的充要條件為：

f(x,y)fX(x)fY(y)幾乎處處成立。

說(shuō)明：(1)F(x,y)FX(x)FY(y)或f(x,y)fX(x)fY(y)點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。

(2)X與Y獨(dú)立,則F(x,y)FX(x)FY(y)點(diǎn)點(diǎn)成立f(x,y)fX(x)fY(y)不一定點(diǎn)點(diǎn)成立。

(3)在個(gè)別點(diǎn)f(x,y)fX(x)fY(y)，則X與Y可能還獨(dú)立；F(x,y)FX(x)FY(y)，則X與Y一定不獨(dú)立。

例1：已知隨機(jī)變兩（X,Y）的概率密度為

(x,y)

Ae2xy

fx0,y0

0其他

(1)求A

f(x,y)dxdy1

00Ae2xydxdy1

2A1,A2

(2)求分布函數(shù)

當(dāng)x0,y0時(shí)，

F(x,y)xy2xy

y

f(u,v)dudv2x

00edudv

[1e2x][1ey]

其他，F(xiàn)(x,y)0

F(x,y)(1e2x)(1ey)x0,y00其他

（3）求p{XY}

p{XY}

0x

02e2xydxdy1

3

(4)求邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)在一點(diǎn)

2xy2edyx0fX(x)f(x,y)dy0other0

2x2ex00othery2xyey02edxy0fY(y)f(x,y)dx0other0other0

(5)求條件概率密度f(wàn)X|Y(x|y)

當(dāng)y0時(shí)，fX|Y(x|y)不存在；

當(dāng)y0時(shí)，

2x2efX|Y(x|y)fY(y)0f(x,y)x0other

(6)求p{X2|X2}

p{X2|Y2}p{X2,Y2}

P{Y2}F(2,2)

FY(2)1e4

(7)X,Y獨(dú)立嗎？f(x,y)fX(x)fY(y)點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。

例2：已知隨機(jī)變量（X,Y）時(shí)區(qū)域D上的分布，D由x.y0,xy1圍成，問(wèn)X,Y是否獨(dú)立？

2f(x,y)解：0（x，y)D其他

1

212F(1,1)2200

2dxdy120x11x22x2dy0x1fX(x)f(x,y)dy0other00other

FX(1)2

212fX(x)dx[22x]dx01234同理：FY(1)

22342F(1,1)FX(1)FY(1)2

所以X,Y不否獨(dú)立。

例3：甲乙兩人到達(dá)同一地點(diǎn)的時(shí)間X,Y服從[7,8]上的均勻分布，X,Y獨(dú)立，求X，Y的差不超過(guò)1

4小時(shí)的概率。

fX(x)X,Y獨(dú)立

10

7x8

other

fY(y)

10

7x8

other

1

f(x,y)fX(x)fY(y)

0

7x8,7x8

other

p{XY

14

1dxdy

D

34

例4．若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

f(x,y)

21

1

2

12(1

2

[)

(x1)

2

2

e

1

2

2

(x1)(y2)

1

(y2)

2

2

22

]

（x,y）

2

則稱(chēng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記作(X,Y)~N(1,2,12,2,)。

說(shuō)明：（1）二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布X~N(1,12)，Y~N(2,22)；（2）二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布都是是一維正態(tài)分布，則(X,Y)不一定服從二維正態(tài)分布；

（3）

cov(X,Y)

12

2

是相關(guān)系數(shù)，X,Y獨(dú)立的充分必要條件是0；

（4）X~N(1,1)，Y~N(2,2)，且X,Y獨(dú)立，則

aXbY~N(a1b2,a1b2)

2

2

2

2

2

四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例1．已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布為

求：(1)ZXY(2)Zmax{X，Y}(3)Zmin{X，Y}解：(1)ZXY

p{Z2}P{X1,Y1}1/4

p{Z3}P{X1,Y2}P{X2,Y1}1/2p{Z4}P{X2,Y2}1/4

2Z~1/431/241/4

123/4

21/4(2)Zmax{X，Y}Z~1/41(3)Zmin{X，Y}Z~3/4

2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知（X,Y）聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)，求Zg(X,Y)的概率密度。這類(lèi)問(wèn)題主要通過(guò)分布函數(shù)法求解。具體過(guò)程如下：

(1)劃出f(x,y)0的區(qū)域D；

(2)作等值線(xiàn)g(x,y)z

(3)平行移動(dòng)等值線(xiàn)，尋找等值線(xiàn)與D相交的關(guān)鍵點(diǎn)a,b。

(4)當(dāng)za時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0,當(dāng)zb時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1,當(dāng)azb時(shí)FZ(z)

(5)f(z)FD1’Zf(x,y)dxdy(z)

例2．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

1,0x1,0y2x,f(x,y)其他.0,

f(z).求：Z2XY的概率密度Z

解：令FZ(z)P{Zz}P{2XYz}，

當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{2XYz}0；當(dāng)0z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{2XYz}

=z1

4z2;

3)當(dāng)z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{2XYz}1.

0,z0,1即分布函數(shù)為：FZ(z)zz2,0z2,4z2.1,

故所求的概率密度為：11z,0z2,fZ(z)2其他.0,

例3．X,Y獨(dú)立且都服從[0,1]上的均勻分布，，求ZXY的概率密度。

1解：fX(x)00x11fY(y)other00x1other

X,Y獨(dú)立，所以

1f(x,y)fX(x)fY(y)00x1,0x1other

當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{XYz}0；

當(dāng)0z1時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{XYz}

當(dāng)1z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{XYz}

=11

2(2z)212z2；;

當(dāng)z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)P{Yyz}1.

z0z1,

fZ(z)2z1z2,

0othe.r

例4．練習(xí)冊(cè)P3210題

例5．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)3x,0x1,0yx,

0,其他.

f(z).求：ZXY的概率密度Z

例6．設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X~0.3密度為f(y)，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.12，而Y的概率0.7

解：FZ(z)P{XYz}

p{X1}p{XYz|X1}p{X2}p{XYz|X2}0.3p{Yz1|X10.7p{Yz2|X2}

0.3p{Yz1}0.7p{Yz2}(因?yàn)閄與Y獨(dú)立)0.3z1

f(y)dy0.7z2f(y)dy

fZ(z)0.3f(z1)0.7f(z2)

例7Zmax{X,Y},Zmin{X,Y}的分布

FZ(z)P{max{X,Y}z}P{Xz,Yz}；

FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz}；

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，F(xiàn)X(x),FY(y)分別是他們的分布函數(shù)，Zmin{X,Y}，求FZ(z)

解：FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz}

=1[1FX(z)][1FY(z)]=FX(z)FY(z)FX(z)FY(z)

教學(xué)后記

教案

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1．?dāng)?shù)學(xué)期望的定義

定義:(1)若離散型隨機(jī)變量X可能取值為ai(i1,2,)其分布列為pi(i1,2,)，

則當(dāng)aipi時(shí)，稱(chēng)X存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為EXE

i1

a

i1

i

pi.

(2)設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x)，當(dāng)時(shí),稱(chēng)X的數(shù)學(xué)期望存在，記作EXE2．隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

xp(x)dx

xp(x)dx。

(1)若X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，Yg(X)，如果g(ai)pi，則有，

i1

Eg))EYEg((X

g

i1

(ai)pi

(2)若X是連續(xù)性隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x)，Yg(X)，且

Ef(X)f(x)p(x)dx，則有EYEg

f(x)p(x)dx

(3)若(X,Y)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為

Xaxi,Ybjyjp}ij,i,j1,2,，Zg(X,Y)PP{i

i

j

Eg(,,Y))EZEg(X

g(a,b

i1

j1

)pij

(4)設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x,y)，Zg(X,Y)Ef,EZEgE(X,Y))

f(x,y)p(x,y)dxdy

3.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)若C是一個(gè)常數(shù)，則ECC.

(2)若EX,EY存在，

E(cX)cE(X)

E(XY)E(X)E(Y)

則對(duì)任意的實(shí)數(shù)k1、k2，E(k1Xk2Y)存在且E(k1Xk2Y)k1EXk2EY

E(Xc)EXc

(3)若X,Y是相互獨(dú)立的且EX,EY存在，則E(XY)存在且

E(XY)EXEY

4．常見(jiàn)幾種分布的數(shù)學(xué)期望（1）兩點(diǎn)分布的期望E(XE)p（2）二項(xiàng)分布的期望

n

n

k

n

k

n

所以E(E)X

kp

k0

kC

k0

pq

knk

npCn1p

k1

k1k1

q

(n1)(k1)

np(pq)

n1

np

（3）普哇松分布的數(shù)學(xué)期望E(X)E(4)均勻分布的數(shù)學(xué)期望E(X)(5)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望

設(shè)的密度函數(shù)是參數(shù)為的指數(shù)分布，求解E(XE)

E(EXe

x

ab2

.

1

1

.

xe

x

dxxde

x

0

dx

(6)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望E(X)

1

20.2

3

,求E(X0.7

例1:已知X~0.1

2

1)

例2．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

3x,0x1,0yx,

f(x,y)

0,其他.

(1)求E(X)

x23xdy,0x1,3x0x1,f(x,y)dy0

其他.其他.0,0,

解法1,fX(x)

E(X)

xfX(x)dx3xdx0

13341x2解法2,E(X)

(2)求E(XY)

E(XY)xf(x,y)dxdy[3xdy]dx0034

1

042xyf(x,y)dxdy[3xydy]dx001x=32xdx3

10

二、方差

1.方差的定義

定義：設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望E(X)存在，如果E(XEX)2存在，則稱(chēng)E(XEX)2為隨機(jī)變量X的方差，并記作DX.方差的平方根DX稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差或根方差，在實(shí)際問(wèn)題中標(biāo)準(zhǔn)差用得很廣泛。常用的計(jì)算方差的公式

DXE(X2)(EX)2

2．方差的性質(zhì)

（1）若C是常數(shù)，則Dc0；

（2）若C是常數(shù)，則D(cX)cD(X)；

(3)D(Xc)D(X)

（4）若X,Y相互獨(dú)立且DX,DY存在，則D(XY)存在且2D(XY)DXDY

性質(zhì)（4）可以推廣到n維隨機(jī)變量的情形,并且D(XY)DXDY2covX(,Y)D(aXbY)aDXbDY2abcov(X,Y)

3.常見(jiàn)分布的方差

(1)兩點(diǎn)分布的方差

0X~q12222EXp,E(X)p，DXE(X)(EX)pppqp22

(2)普哇松分布的方差DXE(X2)(EX)2(2)2

(3)均勻分布的方差

DXD1

12(ab)2

(4)指數(shù)分布的方差

EXE

0xexdxxde0x0exdx1

222E(EX)0xe2xdx2

2DXD1

(5)二項(xiàng)分布的方差

n

DXD

i1Dinpq

(6)正態(tài)分布的方差

設(shè)X服從N(a,2)分布，求DX2

10

0.2

2例1:已知X~0.1221,求D(X2)0.72E(X)(1)0.100.210.70.8

E(X)(1)0.100.210.70.8D(X)E(X)(EX2424444)0.80.80.1622例2．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

3x,0x1,0yx,f(x,y)0,其他.

求D(X)

E(X)

E(X)2

2xfX(x)dx3xdx014133435xfX(x)dx3xdx022DXE(X)(EX)3

59

163

80

三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1.隨機(jī)變量的協(xié)方差

定義若(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，稱(chēng)E(XEX)(YEY)為X與Y的協(xié)方差，并記作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E(XEX)(YEY)公式：Cov(X,Y)E(XY)EXEY由協(xié)方差的定義即知它具有下述性質(zhì)：

(1)Cov(X,c)0

(2)對(duì)稱(chēng)性：Cov(X,Y)Cov(Y,X)

(3)線(xiàn)性性：

Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；

Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)；

mn

ijCov(a1X1amXm,b1Y1bnYn)ab

i1j1Cov(Xi,Yj)

(4)D(XY)DXDY2Cov(X,Y)D(aXbY)a2DXb2DY2abCo(vX,Y)

(5)若X,Y獨(dú)立，則Cov(X,Y)0

2.二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

定義，若(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，則稱(chēng)

Cov(X,Y)

DXDYXY

為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

（1）|XY|1；

（2）|XY|1，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b，使得p{YaXb}1；說(shuō)明：(1)0時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)，1時(shí)，稱(chēng)X與Y正相關(guān)，1時(shí)，稱(chēng)X與Y負(fù)相關(guān)

(2)若X,Y獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)0。反過(guò)來(lái)，關(guān)系數(shù)0，X,Y不一定獨(dú)立。(3)二維正態(tài)分布中的為X,Y的相關(guān)系數(shù)，0當(dāng)且僅當(dāng)X,Y獨(dú)立。例1:二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為：

求：X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY;解：因?yàn)镋X

14

，EY

2

16

2

，E(XY)

316

112

，EX

2

2

14

2

，EY

516

2

16

，

DXEX(EX)，DYEY

124

(EY)，

Cov(X,Y)E(XY)EXEY，

115

所以X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY

Cov(X,Y)DXDY

．

2

例2已知隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)

0

0x1,0yx

other

,

求解：EXEY

2

x2xdy00x2ydy00

1

1

1

dx

dx

1010

2xdxxdx

2

2

23

13

3

1216

E(X)E(Y)E(XY)

2

x2x2dydx

00x2y2dydx00x2xydy00

11

101

2xdx23xdx

33

010

dx

xdx1429

14

136

Cov(X,Y)E(XY)EXEY=

141

DXE(X2)(EX)2=

2

9

18

DYE(Y)(EY)=

22

16

19

118

1

XY

Cov(X,Y)DXDY

3611818.1

12

例3設(shè)X~N(,2)，Y~N(,2)，X,Y相互獨(dú)立，令Z1aXbY,Z2aXbY，a0,b0，求XY。

解：DZ1D(aXbY)a2DXb2DY(a2b2)（X與Y獨(dú)立）DZ

2

D(aXbY)aDXbDY(ab)

2222

Cov(Z1,Z2)Cov(aXbY,aXbY)

2

a2Cov(X,X)abCo(vX,Y)abCo(vY,X)bCov(Y,Y)

(a2b2)2XY

Cov(Z1,Z2)DZ1DZ

2

abab

2

222

例4設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)

14

,P(BA)

13

,P(AB)

12

，令

X

1,A發(fā)生,

0,A不發(fā)生;

Y

1,B發(fā)生,0,B不發(fā)生.

求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相關(guān)系數(shù)XY.

解:（I）由于P(AB)P(A)P(BA)

112

，

P(B)

P(AB)P(AB)

1

16

,

所以，P{X1,Y1}P(AB)

12

，

16112

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)

=1P(A)P(B)P(AB)

23

，

,

（或P{X0,Y0}1故(X,Y)的概率分布為

112

16

112

23

），

Y

0101

2316

112112

(II)X,Y的概率分布分別為

X01Y01P則EX

14,EY

3416

14

561

16

P

316

,

，DX，DY=

1

536

,E(XY)=

12

故Cov(X,Y)E(XY)EXEY

XY

Cov(X,Y)DX

DY

24

，從而

.

X3

Y2

15

例5:已知(X,Y)~N(1,0,9,16,0.5)，Z解:X~N(1,9)，Y~N(0,16)EZE

X3X3

，求EZ,DZ，XZ。

Y11111EXEY10232323Y1111

DXDY2Cov(X,Y)29432

DX

DY0.5346

DZD

DX9,DY16,Cov(X,Y)XYDZ3

Cov(X,Z)Cov(X,

13

12

X3Y2)

13

Cov(X,X)Cov(X,Y)9

12

(6)0

XZ=0

例6:設(shè)隨機(jī)變量U~B(2,)，令

21

X

11

U0U0

Y

11

U2U2

<1>求D(XY),D(XY)

<2>Cov(X,Y)0

解:U~1

4

112

214

14

p{X1}p{U0}P{U0}(p

12

)

114

1

p{X1}1,X~1

44

4

1

3113,同理，Y~3

44

2

EX

12

,EY

12

,E(X)1,E(Y)1,DX1,DY1

2

XY的取值為-1，1

p{XY1}p{X1,Y1}p{X1,Y1}=p{U0,U2}p{U0,U2}

=p{U0}p{U2}p{U0}p{U2}

p{XY1}1

12

12

12

1

XY~1

2

E(XY)0

112

Cov(X,Y)E(XY)EXEY

14

D(XY)DXDY2Cov(X,Y)2D(XY)DXDY2Cov(X,Y)1

教學(xué)后記

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題

1.如果隨機(jī)事件A﹑B滿(mǎn)足AB,ABS,則稱(chēng)A﹑B為對(duì)立事件.

2.如果隨機(jī)事件A﹑B滿(mǎn)足AB,則稱(chēng)A﹑B為互不相容.

3.設(shè)件A﹑B﹑C為3個(gè)隨機(jī)事件,試用A﹑B﹑C事件”A發(fā)生,B與C不發(fā)生”可表示為ABC.

4.設(shè)事件AB,且P(A)0.8,P(B)0.4,則概率P(AB)0.4.

5.設(shè)事件A與B互不相容,且P(A)a,則概率P(AB)1a.

6.設(shè)事件A與B互不相容,且P(A)0.5,P(B)0.3,則概率P(AB).1

7.設(shè)A﹑B為2個(gè)隨機(jī)事件,則ABAB.

A.B.AC.SDAB[B]

8.設(shè)A﹑B為2個(gè)隨機(jī)事件,則下列不正確的是.[D]

A.(AB)(AB)B.AB(AB)BC.若AB,則ABAD.ABAB

9.設(shè)事件A﹑B滿(mǎn)足BAB,則下列中正確的是.

A.AB.ABC.ABDBA[B]

10.設(shè)A﹑B為2個(gè)隨機(jī)事件,滿(mǎn)足BA,則下列中正確的是.

A.A與B必同時(shí)發(fā)生B.A發(fā)生B必發(fā)生

C.A不發(fā)生B必不發(fā)生D.B不發(fā)生A必發(fā)生[C]

11.設(shè)在15只同類(lèi)型的零件中有2只是次品,現(xiàn)從中任取3只,則所取的零件中有2只次品的概率為1

35.

12.從52張撲克牌(無(wú)王牌)中任取13張,則其中有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張草花的概率為C13C13C13C13

C52135332.

13.一袋中裝有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,現(xiàn)從中任取2個(gè)球,則在這2個(gè)球中,恰好有1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率是C3C2

C2

511.

314.拋擲3枚均勻的硬幣,恰好有2枚正面向上的概率為.8

15.袋中有10只紅球,7只白球,從中陸續(xù)取3只,取后不放回,則這3只球依次為紅白紅的

概率為

A10A7A

317

21

.

16.設(shè)袋中有編號(hào)分別為1,2,…,10的球,從中任取一個(gè),觀(guān)察編號(hào).

①求編號(hào)不超過(guò)5的概率.②求編號(hào)是奇數(shù)的概率.③求①②兩事件和的概率.

解:S{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

①A{1,2,3,4,5}p(A)②B{1,3,5,7,9}p(B)

1212

710

③AB{1,2,3,4,5,7,9}p(AB)

17.從數(shù)1,2,…,n中任取兩個(gè),求它們的和是偶數(shù)的概率.

CnCn

2

2

解:n為偶數(shù)時(shí),p

22

C

2

2n

2

n22(n1)n12n

Cn1Cn1

n為奇數(shù)時(shí),p

22

C315

2n

18.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三個(gè)不同的數(shù),則取到的三個(gè)數(shù)不含0和5的概率為A.

715

B.

710

C.D

310

[A]

19.設(shè)隨機(jī)事件A﹑B滿(mǎn)足:p(AB)0,則[D]

A.A﹑B互為對(duì)立事件B.A﹑B互不相容C.AB一定為不可能事件D.AB不一定為不可能事件

20.設(shè)隨機(jī)事件A﹑B互不相容,且p(A)0,p(B)0,則[C]

A.p(AB)p(A)p(B)B.p(AB)p(A)C.p(BA)0D.p(BA)p(B)21.設(shè)A﹑B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且0p(A)1,p(BA)1,則[B]A.A﹑B互不相容B.p(AB)0C.BAD.p(B)122.設(shè)A﹑B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且p(A)

1612

,p(AB)

13

,求概率p(BA)

13

解:p(AB)p(A)p(AB),p(BA)

14

12

p(AB)p(A)

.

14

23.設(shè)A﹑B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且p(A),p(BA),p(AB),求概率p(B)

p(AB)1

.解:p(AB)p(BA)p(A)1,p(AB)

p(B)28

24.有兩箱同種類(lèi)的零件,第一箱裝50只,其中10只一等品;第二箱裝30只,其中10只一等品.今從兩箱中任取一箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.求(1)第一次取到一等品的概率;(2)在第一次取到一等品的條件下,第二次取到一等品的概率.

解:設(shè)用Ai表示”第i次取到一等品”(i1,2),用Bi表示”第i箱被取到”(i1,2),則p(B1)

12

,p(B2)

12

,p(A1B1)

15

,p(A1B2)

5

13

.

(1)p(A1)p(A1B1)p(B1)p(A1B2)p(B2)11114.

2

3

2

15

p(A1A2)p(A1)

p(A1A2B1)p(B1)p(A1A2B2)p(B2)

p(A1)

2

(2).p(A2A1)

A10A50

2

2

A111022A302415

747

.2842

25.有兩箱同種類(lèi)的零件,第一箱裝50只,其中10只一等品;第二箱裝30只,其中18只一等品.今從兩箱中任取一箱,然后從該箱中取一個(gè)零件.(1)求該零件是一等品概率.(2)若該零件是一等品,求該零件是從第二箱中取出的概率.

解:設(shè)用A表示”取到的零件是一等品”,用Bi表示”第i箱被取到”(i1,2),則

p(B1)

12

,p(B2)

12

,p(AB1)

15

,p(AB2)

15

35

.

12351225

(1)p(A)p(AB1)p(B1)p(AB2)p(B2)

3

p(AB2)P(B2)

p(A)

21234

.

(2)p(B2A)

5

.

5

26.設(shè)一箱產(chǎn)品60件,其中次品6件,現(xiàn)有一顧客從中隨機(jī)買(mǎi)走10件,則下一顧客買(mǎi)走一件

產(chǎn)品買(mǎi)到次品的概率為

1

.10

27.設(shè)隨機(jī)事件A﹑B相互獨(dú)立,且p(A)0.3,p(B)0.4,則p(AB)0.728.設(shè)A﹑B是兩個(gè)隨機(jī)事件,則下列中不正確的是[C]

A.A﹑B相互獨(dú)立時(shí),p(AB)p(A)p(B)B.p(A)0時(shí),p(AB)p(A)p(BA)C.A﹑B互不相容時(shí),p(AB)p(A)p(B)D.p(B)0時(shí),p(AB)p(B)p(AB)29.甲﹑乙兩人對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,兩人擊中飛機(jī)的概率分別為0.5,0.8,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.4,飛機(jī)被兩人擊中而被擊落的概率為0.6.假設(shè)甲﹑乙兩人射擊是相互獨(dú)立的,求飛機(jī)被擊落的概率.

解:設(shè)用A表示“飛機(jī)被擊落”,用B1表示“甲擊中飛機(jī)”,用B2表示“乙擊中飛機(jī)”.p(B1)0.5,p(B2)0.8,p(AB1B2)0.4,p(AB1B2)0.4,

p(AB1B2)0.6,p(AB1B2)0.

p(A)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)p(AB1B2)p(B1B2)

0.4p(B1)[1p(B2)]0.4[1p(B1)]p(B2)0.6p(B1)p(B2)0p(B1B2)

0.40.50.20.40.50.80.60.50.80.44.

30.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X012p

2212

C3535

1

,則常數(shù)C.

35

31.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,且p{X4}2p{X5},則5/232.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為p{XK}k(k1,2,3,4,5),則

15

1

p{0.5X2.5}.

5

33.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子,求杯子中球的個(gè)數(shù)最大值的分布律.解:設(shè)用X表示“杯子中球的個(gè)數(shù)最大值”.

C3434323419p{X3}p{X1},,.p{X2}333

81616444

2

34.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,則必有[B]A.X取整數(shù)值B.p{X0}e

2

C.p{X0}p{X1}D.p{X1}2e

2

k1,0x2

35.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)則常數(shù)k0,其它,0,x1

36.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)lnx,1xe則p(X2)ln2.

1,xe,

k,x112

37.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)x則常數(shù)k.

0,其它,

abx2,1x1

38.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)其中b0,且概率

0,其它,

p(X127,求常數(shù)a,b的值.)232

解:一方面

2a2,另一方面f(x)dx1,所以f(x)dx(abx)dx2ab13122b1.3

一方面p(X1)2

22412f(x)dx121(abx)dx239,另一方面127,abp(X)224232所以3a9b27.32

2a2b13得方程組解得ab3.43a9b27,24322

40.設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2),且p{Xc}p{Xc},則c的值為[A]

A..B.0.C..D..

41.設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2),則概率p{X}的值[D]

A.與有關(guān),但與無(wú)關(guān).B.與無(wú)關(guān),但與有關(guān).

C.與和均有關(guān).D.與和均無(wú)關(guān).

42.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),對(duì)于給定的(0,1),數(shù)滿(mǎn)足p{X}.若p{Xx},則x等于[B]A..B.1.C.

221

2.D.1.

43.設(shè)隨機(jī)變量X~U(2,),且p{2X4}0.3.求p{X0}.

2解:由于X~U(2,),所以X2~N(0,1).設(shè)其分布函數(shù)為(x).2

p{2X4}p{22

X2

42

}(42

)(0)(42

)0.5,

由于p{2X4}0.3,所以(42)0.50.3,解得(42)0.8.p{X0}p{X22(2)1(2)0.2.

44.設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,且p{X1000}0.01.求概率p{X500}.

xx0解:由于X服從指數(shù)分布.所以其分布函數(shù)為F(x)1e，

其它.0，

p{X1000}1F(1000)e

1000

.

由于p{X1000}0.01,所以e

1000

0.01.

500

p{X500}F(500)1e

1e

1000

0.9.

45.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,2),現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行5次獨(dú)立觀(guān)測(cè),設(shè)Y表示:在5次觀(guān)測(cè)中,X的值大于1的次數(shù).試求Y的分布律.

0,x0

解:由于X~U(0,2),所以其分布函數(shù)為F(x)x，0x2

2x2.1，

pp{X1}1F(1)0.5.

隨機(jī)變量Y是服從n5,p0.5的二項(xiàng)分布:

k5

p{Yk}C5(0.5)(k1,2,3,4,5)

46.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,2),求①X的分布函數(shù);②函數(shù)Y13X的概率密度;③概率p{5X1}與p{0Y4}.

1,0x2

解:由于X~U(0,2),所以X的概率密度函數(shù)為fX(x)2

0,其它.

①FX(x)

x

0,x00,x0

x1x

fX(x)dxdt,0x2,0x2

0221,x1.1,x1

1y3

1FX(

②FY(y)p{Yy}p{13Xy}p{X

fY(y)[Fy(y)]y[1FX(

1y3

1y3

)

()]yFX

1y3

)(

1y3

)y

1,5y1

1y1

)6fX(

33

0,其它.

11

③p{5X1}fX(x)dx1dx1.

5

22

41p{0Y4}fY(y)dy1dy1.0066

1,x1247.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)x求函數(shù)YlnX的概率密度.

0,x1,

解:FY(y)p{Yy}p{lnXy}p{Xey}FX(ey)

(e)(e)yeyfX(ey)fY(y)[Fy(y)]y[FX(e)]yFX

y1,e1,y01yyee

y0,e10,y0.yyy

A,1x1,0y148.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)0,其它,

1則常數(shù)A.2

49.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

Aarctanxarctany,x0,y0F(x,y)則A4

2.0,其它,50.稱(chēng)p{Xxi,Yyj}pij(i,j1,2,)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的[A]

A.聯(lián)合分布律B.聯(lián)合分布函數(shù)C.概率密度D聯(lián)合概率密度

51.在一箱子中裝有12只開(kāi)關(guān),其中2只是次品,在箱中任取兩只開(kāi)關(guān),每次任取一只,取后不放回.定義隨機(jī)變量X,Y如下:

若第一次取出的是正品0，X若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是正品0，Y，若第二次取出的是次品1，，

求X,Y的聯(lián)合分布律.

解:由題所述得知(X,Y)的所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

p{X0,Y0}10915,p{X0,Y1}1025,121122121133

p{X1,Y0}2105,211,p{X0,Y0}121133121166

所以X,Y的聯(lián)合分布律為

52.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

Axy2,0x1,0y1求常數(shù)A.f(x,y)

0,其它,

解:

f(x,y)dxdyAxdxydy00112A.6由于f(x,y)dxdy1,所以A1,得A6.6

53.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

2xy,0x1,0y2xf(x,y)3求概率p{XY1}.0,其它,

解:記D{(x,y)xy1,0x1,0y2},D的圖形如右圖(略)

12p{XY1}f(x,y)ddxD01x(x2xy3)dy[xy012xy62]1xdx2

(015342165.xxx)dx63272

54.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

12e(3x4y),x0,y0f(x,y)

0,其它,

求兩個(gè)邊緣概率密度.

解:fX(x)12e(3x4y)dy,x0[3e(3x4y)],x00f(x,y)dy00,其它0,其它

3e3x,x00,其它.

fY(y)12e(3x4y)dx,y0f(x,y)dx00,其它

[4e(3x4y)]4e3y,y0,y00

0,其它0,其它.

cx2y,x2y155.二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)

0,其它,

①試確定常數(shù)c.②求兩個(gè)邊緣概率密度.

解:①

由于xx4c.f(x,y)dxdycdx2xydyc()dx1x12221211126

f(x,y)dxdy1,所以4c1,得c21.214

②fX(x)121x2ydy,1x1212212xy]x,1x1[f(x,y)dyx480,其它0,其它2

21x2(1x4),1x18

0,其它.

fY(y)y212[7x3y]y,0y1xydx,0y1-yy44f(x,y)dx0,其它0,其它

75

y2,0y12

0,其它.

56.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),則關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)FX(x)是[B]

A.limF(x,y)B.limF(x,y)C.F(x,0)D.F(0,x)yy

57.甲、乙兩人獨(dú)立地投籃,投中的概率分別為0.6、0.8,每個(gè)人分別投2次,求兩人投中次數(shù)相等的概率.

解:設(shè)用X表示”甲投中的次數(shù)”,用Y表示”乙投中的次數(shù)”.

p{XY}p{X0,Y0}p{X1,Y1}p{X2,Y2}

p{X0}{Y0}p{X1}{Y1}p{X2}{Y2}(X與Y相互獨(dú)立)

2222(10.6)(10.8)2(10.6)0.62(10.8)0.8(0.6)(0.8)0.3904.

58.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相