2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.2.3互斥事件學案含解析北師大版必修3

PAGE2．3互斥事務學問點一互斥事務[填一填]1．互斥事務不能同時發(fā)生的兩個事務叫作互斥事務(或稱互不相容事務)．2．事務A與B的并(或和)一般地，由事務A和B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構成的事務C稱為事務A與B的并(或和)，記作C＝A∪B.事務A∪B是由事務A或B所包含的基本領件組成的集合．3．互斥事務的概率加法公式(1)假如A、B是互斥事務，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)假如事務A1，A2，…An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事務“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事務A1，A2，…An中至少有一個發(fā)生)的概率等于這n個事務分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎樣正確理解事務A與事務B的和？提示：并(和)事務具有三層意思：(1)事務A發(fā)生，事務B不發(fā)生；(2)事務A不發(fā)生，事務B發(fā)生；(3)事務A，B同時發(fā)生．即事務A，B中至少有一個發(fā)生．與集合的并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A類似，事務A與事務B的并(和)事務等于事務B與事務A的并(和)事務，即A∪B＝B∪A.例如在擲骰子的試驗中，事務C，D分別表示投擲骰子出現(xiàn)2點、3點，則C∪D＝{出現(xiàn)2點或3點}．學問點二對立事務[填一填]4．對立事務(1)定義：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事務叫作互為對立事務，事務A的對立事務記作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎樣正確理解互斥事務與對立事務？提示：互斥事務和對立事務都是針對兩個事務而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事務有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不行能兩個都發(fā)生；而兩個對立事務必有一個要發(fā)生，但是不行能兩個事務同時發(fā)生，也不行能兩個事務同時不發(fā)生．所以兩個事務互斥，它們未必對立；反之兩個事務對立，它們肯定互斥．1．要留意互斥事務與對立事務的區(qū)分與聯(lián)系：互斥事務是指事務A與事務B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其詳細包括三種不同的情形：(1)事務A發(fā)生且事務B不發(fā)生．(2)事務A不發(fā)生且事務B發(fā)生．(3)事務A與事務B同時不發(fā)生．而對立事務是指事務A與事務B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形：①事務A發(fā)生且事務B不發(fā)生．②事務B發(fā)生且事務A不發(fā)生．對立事務是互斥事務的特別情形．2．關于概率的加法公式：(1)運用條件：A、B互斥．(2)推廣：若事務A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些困難的事務的概率時，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的事務，化整為零，化難為易．類型一互斥事務與對立事務的推斷【例1】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事務A為“只訂甲報”，事務B為“至少訂一種報”，事務C為“至多訂一種報”，事務D為“不訂甲報”，事務E為“一種報也不訂”．推斷下列事務是否是互斥事務，假如是，推斷它們是否是對立事務．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【思路探究】推斷兩個事務是否互斥，就是推斷它們在一次試驗中是否能同時發(fā)生；推斷兩個互斥事務是否對立，就是推斷它們在一次試驗中是否必有一個發(fā)生．【解】(1)由于事務C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事務A與事務C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事務．(2)事務B“至少訂一種報”與事務E“一種報也不訂”是不行能同時發(fā)生的，故事務B與E是互斥事務．由于事務B和事務E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事務．(3)事務B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事務B發(fā)生，事務D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事務．(4)事務B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事務C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事務B與事務C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事務．(5)由(4)的分析可知，事務E“一種報也不訂”僅僅是事務C的一種可能，事務C與事務E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事務．規(guī)律方法互斥事務和對立事務的推斷方法(1)推斷兩個事務是否為互斥事務，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事務是互斥事務，若能同時發(fā)生，則這兩個事務不是互斥事務．(2)推斷兩個事務是否為對立事務，主要看在一次試驗中這兩個事務是否同時滿意兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．假如這兩個條件同時成立，那么這兩個事務是對立事務，只要有一個條件不成立，這兩個事務就不是對立事務．事實上，解決此類問題的關鍵是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等關鍵詞．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，用圖形畫出下列每對事務所含結果構成的集合之間的關系，并說明二者之間是否構成對立事務．(1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；(2)“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4解：(1)依據(jù)題意作出Venn圖(如圖(1))．從圖中可以看出：“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”各自所含結果所組成的集合互為補集，因此它們構成對立事務．(2)依據(jù)題意作出Venn圖(如圖(2))．從圖中可以看出：“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4類型二互斥事務的概率計算【例2】假設向三個相鄰的軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，炸中其余兩個的概率各為0.1，只要炸中一個，另兩個也會發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．【思路探究】本題應先推斷“軍火庫發(fā)生爆炸”所包含的結果是否可寫成幾個互斥事務所包含結果的和的形式，假如可以，則分別計算出每個基本領件發(fā)生的概率，再利用概率的加法公式進行計算．【解】設A、B、C分別表示炸中第一、其次、第三個軍火庫這三個事務，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設D表示軍火庫發(fā)生爆炸這個事務，則有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，則軍火庫發(fā)生爆炸的概率為0.225.規(guī)律方法利用互斥事務的加法公式解題體現(xiàn)了化整為零、化難為易的思想．但要留意用此公式時，首先要推斷事務是否互斥，假如事務不互斥，就不能用此公式．在投擲骰子試驗中，依據(jù)向上的點數(shù)可以定義很多事務，如：A＝{出現(xiàn)1點}，B＝{出現(xiàn)3點或4點}，C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個事務的關系；(2)求兩兩運算的結果．解：解答時抓住運算定義．在投擲骰子的試驗中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有6種基本領件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事務A與事務B互斥，但不對立，事務A包含于事務C，事務A與D互斥，但不對立；事務B與C不是互斥事務，也不對立；事務B與D不是互斥事務，也不是對立事務；事務C與D是互斥事務，也是對立事務．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)2或3或4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1,2,3,4,5,6}．類型三對立事務的概率計算【例3】一個箱子內(nèi)有9張票，其號數(shù)分別為1,2，…，9.從中任取2張，其號數(shù)至少有一個為奇數(shù)的概率是多少？【思路探究】從9張票中任取2張，要弄清晰取法種數(shù)為eq\f(1,2)×9×8＝36，“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”的對立事務是“號數(shù)全是偶數(shù)”，用對立事務的性質(zhì)求解特別簡潔．【解】從9張票中任取2張，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共計36種取法．記“號數(shù)至少有一個為奇數(shù)”為事務B，“號數(shù)全是偶數(shù)”為事務C，則事務C為從號數(shù)為2,4,6,8的四張票中任取2張有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6種取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由對立事務的性質(zhì)得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).規(guī)律方法(1)求困難事務的概率通常有兩種方法：一是將所求事務轉化成彼此互斥的事務的和；二是先去求對立事務的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事務以及分類探討的思想求解，當涉及的互斥事務多于兩個時，一般用對立事務求解．將一顆質(zhì)地勻稱的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結果，其中點數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)有36種結果，其中點數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).類型四互斥事務、對立事務的綜合應用【例4】一個盒中裝有除顏色外完全相同的12個球，其中有5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)從12個球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同的取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得到紅球或黑球的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事務求概率)記事務A1＝“任取1球為紅球”；A2＝“任取1球為黑球”；A3＝“任取1球為白球”；A4＝“任取1球為綠球”，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用對立事務求概率)(1)由方法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事務為取出1球為白球或綠球，即A1＋A2的對立事務為A3＋A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對立事務為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).規(guī)律方法解決此類問題要留意分類探討和等價轉化的數(shù)學思想的運用，在確定用哪個公式前，首先應結合互斥事務和對立事務的定義分析出相關事務是不是互斥事務或?qū)α⑹聞?，不要由于亂套公式而出錯．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩猓?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對立事務，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲獲勝的概率是eq\f(1,6).(2)法1：設事務A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事務的并事務，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：設事務A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對立事務，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).——易錯警示——不能區(qū)分事務是否互斥而致錯【例5】擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率均為eq\f(1,6)，記事務A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事務B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【易錯點分析】事務A與事務B不是互斥事務，不能應用概率的加法公式．【防范措施】1.明確概率的加法公式運用的條件．2．駕馭互斥事務的特點，分清事務是否為互斥事務．【正解】記事務“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，“出現(xiàn)3點”，“出現(xiàn)5點”分別為A1，A2，A3，A4.這四個事務彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時，空氣質(zhì)量為稍微污染．該城市2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故選A.一、選擇題1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”是(C)A．對立事務 B．不行能事務C．互斥但不對立事務 D．以上答案都不對解析：由互斥事務的定義可知：甲、乙不能同時得到紅牌，由對立事務的定義可知：甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事務可能不發(fā)生．2．一人打靶連續(xù)射擊兩次，事務“至少有一次中靶”的對立事務是(C)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：連續(xù)射擊兩次包含的基本領件有“兩次都不中靶”、“一次中靶”、“兩次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”與“兩次中靶”，故其對立事務為“兩次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊爾發(fā)生里氏7.5級地震，此后，連續(xù)下了幾天的雨，下表是氣象人員記錄的一組視察值及其概率的狀況：日降雨量(單位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32則日降雨量在[50,150)內(nèi)的概率及日降雨量不低于150mm的概率分別為(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：記“日降雨量在[0,50)內(nèi)”為事務A，“日降雨量在[50,100)內(nèi)”為事務B，“日降雨量在[100,150)內(nèi)”為事務C，事務A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，則日降雨量在[50