精-品解析：廣東省深圳市龍華區(qū)2023-2024學年高一上學期1月期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁龍華區(qū)中小學2023-2024學年第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.半徑為的圓中，弧長為的圓弧所對的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由弧長公式計算即可得.【詳解】由弧長公式得.故選：B.2.函數(shù)定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求定義域即可.【詳解】由得，定義域是.故選：D3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得方程的解為或，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】將代入中可得，即“”是“”的充分條件；由，得，即或，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．4.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】借助指數(shù)、對數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，結合中間值即可比較大小.【詳解】由，，，可得，故選：C.5.如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，這個函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，對應的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.故選D.【點睛】本題主要考查實際問題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.定義一種運算：．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點（）A向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】先明確的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象變換的法則直接寫出結論.【詳解】由題可知函數(shù)，將其圖象上所有點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象.故選：A7.如圖，有三個相同的正方形相接，若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設正方體邊長為1，由圖可得，結合兩角和的正切公式計算即可求解.【詳解】設正方體邊長為1，由圖可得，則且，所以.故選：B.8.設集合，，若，則的取值范圍是（）A. B.C.且 D.【答案】C【解析】【分析】確定，根據(jù)可推得函數(shù)與函數(shù)的圖象沒有交點，即無解，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由得，，所以集合，集合.等價于函數(shù)與函數(shù)沒有交點，即無解，，當且僅當時等號成立，所以，又因為，所以且，故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列各組函數(shù)中，是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素，特別是定義域和對應關系是否相同，可判斷函數(shù)是否為相同函數(shù)，由此一一判斷各選項中的函數(shù)，即可得答案.【詳解】對于A選項，與的定義域都為R，對應關系相同，二者是相同函數(shù)；對于B選項，函數(shù)定義域是，函數(shù)的定義域是，定義域不同，不是相同函數(shù)；對于C選項，與的定義域都為R，對應關系相同，二者是相同函數(shù)；對于D選項，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，不是相同函數(shù)，故選：AC.10.已知非零實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對A，由等價于即可得；對B、C、D，構造對應函數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】對于A選項，等價于，即，當時，顯然成立，A正確；對于B選項，函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以當時，不一定成立，B錯誤；對于C選項，函數(shù)在上是減函數(shù)，所以當時，，C正確；對于D選項，在內(nèi)是增函數(shù)，當時，，所以，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的值域是 B.的圖象關于原點對稱C.在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D.方程有且僅有兩根【答案】BD【解析】【分析】用換元法和反函數(shù)定義域求原函數(shù)值域判斷A；用奇偶性定義判斷B；對于C用舉反例的方法排除；利用函數(shù)單調(diào)性與零點存在定理判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域是，令(且)，函數(shù)(且)的值域為或，所以的值域是，A錯誤；對于B，因為，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，B正確；對于C，在函數(shù)的定義域內(nèi)任取兩個數(shù)，，不滿足單調(diào)遞減的定義，故C錯誤；對于D，令，則，易得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在和上單調(diào)遞減，又，，，，所以在與上各存在唯一零點，即方程有且僅有兩根，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)（，），為的零點，且在上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是（）A. B.若，則C.是偶函數(shù) D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對A，將代入結合題目條件可得的值；對B，由函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，且即可得；對C，由無法判斷奇偶性可得；對D，結合函數(shù)單調(diào)性即可得.【詳解】對于A選項，由是的零點得，所以，即，因為，所以，故A正確；對于B選項，函數(shù)圖象是中心對稱圖形，由得是函數(shù)的對稱中心，所以，故B正確；對于C選項，，奇偶性無法判斷，故C錯誤；對于D選項，由A選項得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得（），所以當時，，當無解，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，，則____．【答案】##【解析】【分析】由交集的定義和運算直接得出結果.【詳解】集合，所以.故答案為：14.設均為實數(shù)，且，則____________.【答案】##【解析】【分析】等式兩邊同時取對數(shù)，求出的值，代入，利用對數(shù)的性質(zhì)即可求出值.【詳解】，取對數(shù)得，，；.故答案為:.【點睛】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值，對數(shù)的性質(zhì)和運算法則，屬于基礎知識的考查.15.如圖，單位圓被點，，，…，平均分成份，以軸的正半軸為始邊，（…）為終邊的角記為，則=____，=____．（說明：∑是一個連加符號，…）【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)題意，可先確定的值，再求三角函數(shù)值.【詳解】由題意得，所以，所以.單位圓被平均分成12份，則，，所以.故答案為：；16.已知且，若函數(shù)中至少存在兩點，使關于軸對稱，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】結合一次函數(shù)單調(diào)性對參數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可知當時才會滿足題意，再結合一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速率之間的關系可得，即可求得的取值范圍.詳解】當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且時，；而單調(diào)遞減，且，所以當時，當時，此時不存在兩點使其關于軸對稱，所以不滿足題意；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，當時，當時，此時不存在兩點使其關于軸對稱，所以不滿足題意；當時，函數(shù)，存在使其關于軸對稱，滿足題意；當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，易知與關于軸對稱，要存在兩點使其關于軸對稱，則需當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，再由一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速率之間的關系可得，即.綜上所述，的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將存在兩點使其關于軸對稱的問題轉(zhuǎn)化成直線關于軸對稱的直線與令一段圖象有交點，即可得出結果.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.（1）計算：；（2）已知角終邊上一點，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運算和對數(shù)運算法則計算出答案；（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求出，再利用誘導公式化簡后代入求值.【詳解】（1）（2）因為為角終邊上一點，所以，.18.已知函數(shù)的一條對稱軸為．（1）求的值；（2）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】18.19.，【解析】【分析】（1）由正弦函數(shù)的對稱軸結合得出即可；（2）方法一：先求出當時，，再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出x的范圍；方法二：整體直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出x范圍.【小問1詳解】依題意得（），所以（），因為，所以.【小問2詳解】法一：由（1）得，當時，，所以，當或時，單調(diào)遞增，解得此時或，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.法二：由（1）得，解（）得（），因為，所以當時，；當時，，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.19.如圖，給出函數(shù)的部分圖象．（1）請在圖中同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．設與在軸左邊的交點為，試用二分法求出的橫坐標的近似解（精確度為0.3）；（2）用表示，中的較大者，記為，請寫出的解析式．【答案】（1）函數(shù)圖像見解析，（2）.（或）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，進行計算，確定零點所在的區(qū)間，當區(qū)間長度小于或等于時，可以用區(qū)間內(nèi)的任意一點的橫坐標作為問題的答案；（2）數(shù)形結合，先確定方程的解，再判斷各區(qū)間上與的大小.【小問1詳解】如圖.令，則當時，方程的近似解等價于求函數(shù)在內(nèi)的零點，因為，，所以，由零點存在定理可知，.又因為，所以，由零點存在定理可知.又因為，故，由零點存在定理可知.因為，所以可取為.【小問2詳解】由，得，或.結合（1）的圖象，可得.（或）20.已知函數(shù)，且．（1）若，求方程的解；（2）若對，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）令，利用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為，則或，結合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解；（2）令，原不等式可轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏虾愠闪?，結合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，求出即可求解.【小問1詳解】令，則，當時，等價于，即，得，有或，則或，所以或.【小問2詳解】法一：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，令，對稱軸，①當時，即，，得.所以.②當，即，，得.所以.綜上所述，取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當時，易知在上單調(diào)遞增，且當時，，所以此時沒有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當時，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，即當時，不等式恒成立.③當時，由基本不等式得，當且僅當時取等號，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，由，得，①當時，恒成立，R；②當，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當，，所以在上恒成立，令，，則，當且僅當，即，，時等號成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.21.如圖所示，某開發(fā)區(qū)有一塊邊長為的正方形空地．當?shù)卣媱潓⑺脑斐梢粋€體育公園，在半徑為的扇形上放置健身器材，并在剩余區(qū)域中修建一個矩形運動球場，其中是弧上一點，分別在邊上．設，球場的面積．（1）求的解析式；（2）若球場平均每平方米的造價為元，問：當角為多少時，球場的造價最低．【答案】（1）（2），球場的造價最低【解析】【分析】（1）如圖，過點作的垂線，垂足為.由三角函數(shù)的定義表示出，進而表示出，即可求解；（2）令，則，由題意可得球場的造價為，結合基本不等式計算即可求解.【小問1詳解】過點作的垂線，垂足為.由題意得：，，所以，，所以.【小問2詳解】依題意得球場的造價，令，因為，所以，所以，故，因為，當且僅當時取等號，此時，球場的造價最低.22.若函數(shù)的定義域為，若對于給定的正實數(shù)，存在，使得，則稱函數(shù)在上具有性質(zhì)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求正整數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，