2024年北京昌平區(qū)高一上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題含答案解析

第1頁/共1頁北京昌平區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A B. C. D.3.對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么4.已知向量，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則（）A. B.2 C. D.45.向一個給定的容器（如圖所示）中倒水，且任意相等的時間間隔內(nèi)所倒的水的體積相等，記容器內(nèi)水面的高度y隨時間t變化的函數(shù)為，則以下函數(shù)圖象中，可能是的圖象的是（）A. B. C. D.6.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績（百分制）.給出下列四個結(jié)論：①甲同學(xué)成績的極差比乙同學(xué)大；②甲同學(xué)成績的平均數(shù)比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)成績的分位數(shù)比乙同學(xué)小；④甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)大其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.①③④7.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移2個單位長度 B.向右平移2個單位長度C.向上平移2個單位長度 D.向下平移2個單位長度8.已知函數(shù)，則“，使”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)為（）A.2 B.1或2 C.3 D.1或310.高一年級某班30名同學(xué)參加體能測試，給出下列三個判斷：①有人通過了體能測試：②同學(xué)甲沒有通過體能測試；③有人沒有通過體能測試.若這三個判斷中只有一個是真，則下列選項中正確的是（）A.只有1名同學(xué)通過了體能測試 B.只有1名同學(xué)沒有通過體能測試C.30名同學(xué)都通過了體能測試 D.30名同學(xué)都沒通過體能測試第二部分（非選擇題）二、填空題共6小題．11.函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.12已知向量，不共線，且，.若，則______________.13.，，三個數(shù)中最大的數(shù)是________________.14.在中，點(diǎn)D，E滿足，.若，則_________.15.甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為.若三人各投籃一次，則甲、乙、丙三人都投中的概率為______________；至少有兩人投中的概率為_______________.16.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在定義域上單調(diào)遞增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．其中所有正確結(jié)論的序號是________________.三、解答題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知全集，，，.（1）求，.（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.為促進(jìn)更多人養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，某小區(qū)開展了“我讀書，我快樂”的活動.為了解小區(qū)居民最近一個月的閱讀時間（單位：小時），隨機(jī)抽取個居民作為樣本，得到這個居民的閱讀時間，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)、頻率分布表和頻率分布直方圖：分組區(qū)間頻數(shù)頻率合計（1）求出表中，及圖中的值；（2）若本小區(qū)有人，試估計該小區(qū)閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從閱讀時間不少于小時的居民中，按分層抽樣的方法選取人，并從這人中選人去參加社區(qū)知識競賽，求至多有人閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的概率.19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，（ⅰ）求的值；（ⅱ）設(shè)，，求的最小值；（2）當(dāng)時，若函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)都不在直線的上方，求的取值范圍.20.某旅行社不定期組成旅游團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅游團(tuán)人數(shù)在30或30以下（不低于20），則收取費(fèi)用180元/人；若旅游團(tuán)人數(shù)大于30，則給予如下優(yōu)惠：每多1人，費(fèi)用每人減少3元，直到達(dá)到滿額50人為止（大客車限乘51人，含司機(jī)）．旅行社每次需支出成本費(fèi)用3000元.（1）若旅游團(tuán)人數(shù)為40，求每人應(yīng)交的費(fèi)用；（2）設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x時每人應(yīng)交的費(fèi)用為y元，求出y與x之間的關(guān)系式；（3）求旅游團(tuán)人數(shù)x為多少時，旅行社可獲得的利潤L最大.21.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；（3）解關(guān)于t的不等式.昌平區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題）一、選擇題共10小題，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的知識求得正確答案.【詳解】依題意.故選：C2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于選項A：關(guān)于原點(diǎn)對稱，奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故A不正確；對于選項B：關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故B正確；對于選項C：是非奇非偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C不正確；對于選項D：關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故D不正確.故選：B.3.對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么【答案】D【解析】【分析】采用舉反例的方法，可判斷A，B，C，利用不等式性質(zhì)可判斷D.詳解】對于A：如果，當(dāng)時，則，選項A不正確；對于B：如果，取，，滿足條件，但，選項B不正確；對于C：如果，取，，滿足條件，但，選項C不正確；對于D：如果，則必有，故，則，選項D正確.故選：D.4.已知向量，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則和向量模的計算求解.【詳解】由圖知，，所以，所以.故選：B.5.向一個給定的容器（如圖所示）中倒水，且任意相等的時間間隔內(nèi)所倒的水的體積相等，記容器內(nèi)水面的高度y隨時間t變化的函數(shù)為，則以下函數(shù)圖象中，可能是的圖象的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)增長速度得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)閱挝粫r間內(nèi)注水的體積不變，結(jié)合容器的形狀，水面的高度變化應(yīng)該是：先逐漸變快，后逐漸變慢.故選：C6.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績（百分制）.給出下列四個結(jié)論：①甲同學(xué)成績的極差比乙同學(xué)大；②甲同學(xué)成績的平均數(shù)比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)成績的分位數(shù)比乙同學(xué)??；④甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)大其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖、極差、平均數(shù)、百分位數(shù)、方差等知識進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①甲同學(xué)成績的極差為，乙同學(xué)成績的極差為，所以①正確，排除C選項.②甲同學(xué)成績的平均數(shù)為，乙同學(xué)成績的平均數(shù)為，所以②錯誤.③，所以甲同學(xué)成績分位數(shù)是，乙同學(xué)成績的分位數(shù)是，所以③錯誤，排除BD選項.所以A選項正確.同時，通過觀察莖葉圖可知甲同學(xué)的成績相對分散，乙同學(xué)的成績相對集中，所以甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)大，④正確.故選：A7.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移2個單位長度 B.向右平移2個單位長度C.向上平移2個單位長度 D.向下平移2個單位長度【答案】D【解析】【分析】變形函數(shù)解析式，再與指定函數(shù)比對即得.【詳解】函數(shù)化為：，顯然把函數(shù)的圖象下移2個單位長度即得的圖象，所以為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向下平移2個單位長度.故選：D8.已知函數(shù)，則“，使”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由不等式有解得到的取值范圍，從而得到充分性不成立；通過，判斷函數(shù)對應(yīng)的不等式有解，說明必要性成立.【詳解】由”，使”，即，所以，即，充分性不成立；已知函數(shù)，當(dāng)“”時，，函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)，所以“，使”成立，即必要性成立.綜述，已知函數(shù)，則“，使”是“”的必要而不充分條件.故選：B.9.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.2 B.1或2 C.3 D.1或3【答案】A【解析】【分析】分段分析函數(shù)的取值集合，再分段確定的零點(diǎn)個數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，顯然，而，即恒有，函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時，，函數(shù)取值集合為，由，，得，解得或，在上有2個零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.故選：A10.高一年級某班30名同學(xué)參加體能測試，給出下列三個判斷：①有人通過了體能測試：②同學(xué)甲沒有通過體能測試；③有人沒有通過體能測試.若這三個判斷中只有一個是真，則下列選項中正確的是（）A.只有1名同學(xué)通過了體能測試 B.只有1名同學(xué)沒有通過體能測試C.30名同學(xué)都通過了體能測試 D.30名同學(xué)都沒通過體能測試【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分析確定正確的一個判斷，即可求得正確答案.【詳解】“有人通過了體能測試”與“有人沒有通過體能測試”不可能都為真，若“同學(xué)甲沒有通過體能測試”為真，則“有人沒有通過體能測試”必真，不符合題意，因此“同學(xué)甲沒有通過體能測試”是假的，即同學(xué)甲通過了體能測試，②假，①真，③假，由“有人沒有通過體能測試”是假的判斷，得30名同學(xué)都通過了體能測試，C正確.故選：C第二部分（非選擇題）二、填空題共6小題．11.函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)定義域的求法直接求解.【詳解】由.故答案為：12.已知向量，不共線，且，.若，則______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以存在，使得，即，所以，解得.故答案為：13.，，三個數(shù)中最大的數(shù)是________________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識，與1，2進(jìn)行比較即可求得正確答案.【詳解】，，，，所以三個數(shù)中最大的是.故答案為：14.在中，點(diǎn)D，E滿足，.若，則_________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】在中，點(diǎn)D，E滿足，，則，而不共線，又，因此，所以.故答案為：15.甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為.若三人各投籃一次，則甲、乙、丙三人都投中的概率為______________；至少有兩人投中的概率為_______________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】甲、乙、丙三人都投中的概率為.至少有兩人投中的概率為.故答案為：；16.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①定義域上單調(diào)遞增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．其中所有正確結(jié)論的序號是________________.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，分析單調(diào)性判斷①；利用指數(shù)函數(shù)值域判斷②；解指數(shù)不等式判斷③；探討函數(shù)圖象的對稱性判斷④即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此在R上單調(diào)遞增，①正確；由于，則，，函數(shù)不存在最大值，②錯誤；不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正確；由于，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是①③④.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三、解答題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知全集，，，.（1）求，.（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，進(jìn)而求得，.（2）先求得，然后根據(jù)以及對進(jìn)行分類討論，從而求得的取值范圍.【小問1詳解】，解得或，所以或，，解得，所以，所以或.【小問2詳解】，，當(dāng)時，無解，無法使得成立，不符合題意.當(dāng)時，由解得，則，無法使得成立，不符合題意.當(dāng)時，由解得，則，要使成立，則需.18.為促進(jìn)更多人養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，某小區(qū)開展了“我讀書，我快樂”的活動.為了解小區(qū)居民最近一個月的閱讀時間（單位：小時），隨機(jī)抽取個居民作為樣本，得到這個居民的閱讀時間，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)、頻率分布表和頻率分布直方圖：分組區(qū)間頻數(shù)頻率合計（1）求出表中，及圖中的值；（2）若本小區(qū)有人，試估計該小區(qū)閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從閱讀時間不少于小時的居民中，按分層抽樣的方法選取人，并從這人中選人去參加社區(qū)知識競賽，求至多有人閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率與頻數(shù)求得，結(jié)合圖表求得.（2）根據(jù)閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的頻率求得對應(yīng)的人數(shù).（3）根據(jù)分層抽樣以及古典概型概率計算公式求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，所以，.【小問2詳解】閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.【小問3詳解】抽取人，記為，抽取人，記為.從這人中選人去參加社區(qū)知識競賽，基本事件有：，共個，至多有人閱讀時間在區(qū)間內(nèi)包含的基本事件有：，共個，所以至多有人閱讀時間在區(qū)間內(nèi)的概率為.19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，（?。┣蟮闹?；（ⅱ）設(shè)，，求的最小值；（2）當(dāng)時，若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)都不在直線的上方，求的取值范圍.【答案】（1）（?。?；（ⅱ）的最小值為（2）【解析】【分析】（1）（?。└鶕?jù)一元二次不等式的解求得.（ⅱ）利用基本不等式求得的最小值.（2）由恒成立，然后對進(jìn)行分類討論來求得的取值范圍.【小問1詳解】（?。┮李}意，關(guān)于的不等式的解集為，所以，解得.（ⅱ）由（ⅰ）得，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時，，由于函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)都不在直線的上方，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，當(dāng)時，不等式不恒成立，當(dāng)時，要使恒成立，則需，解得，所以的取值范圍是.20.某旅行社不定期組成旅游團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅游團(tuán)人數(shù)在30或30以下（不低于20），則收取費(fèi)用180元/人；若旅游團(tuán)人數(shù)大于30，則給予如下優(yōu)惠：每多1人，費(fèi)用每人減少3元，直到達(dá)到滿額50人為止（大客車限乘51人，含司機(jī)）．旅行社每次需支出成本費(fèi)用3000元.（1）若旅游團(tuán)人數(shù)為40，求每人應(yīng)交的費(fèi)用；（2）設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x時每人應(yīng)交的費(fèi)用