2024年北京豐臺區(qū)高一上學期期末考數學試題含答案解析

第1頁/共1頁北京豐臺區(qū)2023～2024學年度第一學期期末練習高一數學2024.01考生須知：1.答題前，考生務必先將答題卡上的學校、班級、姓名、教育ID號用黑色字跡簽字筆填寫清楚，并認真核對條形碼上的教育ID號、姓名.在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼.2.本次練習所有答題均在答題卡上完成，選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對應選項涂黑，如需改動，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項.非選擇題必須使用標準黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚.3.請嚴格按照答題卡上題號在相應答題區(qū)內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在練習卷、草稿紙上答題無效.4.本練習卷滿分共150分，作答時長120分鐘.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.下列函數在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B. C. D.3.若，，則下列結論一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知，則（）A. B. C. D.15（）A. B. C. D.6.函數，則（）A.是最小正周期為的奇函數 B.是最小正周期為的偶函數C.是最小正周期為的奇函數 D.是最小正周期為的偶函數7.函數，，的零點分別為，，，則，，，的大小順序為（）A. B. C. D.8.若α，β都是第一象限角，則“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.若甲、乙兩同學當下的知識儲備量均為a，甲同學每天的“進步”率和乙同學每天的“退步”率均為2%.n天后，甲同學的知識儲備量為，乙同學的知識儲備量為，則甲、乙的知識儲備量之比為2時，需要經過的天數約為（）（參考數據：，，）A.15 B.18 C.30 D.3510.記為非空集合A中的元素個數，定義.若，，且，設實數a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為___________.12.能說明“關于的不等式在上恒成立”為假命題的實數的一個取值為_________.13.已知函數，若關于x的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是_________.14.已知，則_________，最小值為__________.15.雙曲函數是一類與三角函數類似的函數，基本的雙曲函數有：雙曲正弦函數，雙曲余弦函數，雙曲正切函數.給出下列四個結論：①函數是偶函數，且最小值為2；②函數是奇函數，且在上單調遞增；③函數在上單調遞增，且值域為；④若直線與函數和的圖象共有三個交點，這三個交點的橫坐標分別為，，，則.其中所有正確結論的序號是________________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數的取值范圍.17已知函數.（1）畫出函數圖象，并寫出函數的值域及單調區(qū)間；（2）解不等式；（3）若恒成立，求實數a的取值范圍.18.在平面直角坐標系中，角α和角β的頂點均與坐標原點O重合，始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別與單位圓交于P，Q兩點，若P，Q兩點關于y軸對稱，點P位于第一象限，橫坐標為.（1）求的值；（2）求的值.19.已知函數，其中.從條件①、條件②、條件③中選擇一個條件，解決下列問題.（1）求的值；（2）求的單調遞增區(qū)間；（3）若存在，使得，求實數m的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20.2023年9月23日第十九屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會吉祥物是“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物掛件，通過對銷售情況統計發(fā)現：在某個月內（按30天計），每套吉祥物掛件的日銷售價格（單位：元）與第x天的函數關系滿足（k為常數，且），日銷售量（單位：套）與第x天的部分數據如下表所示：x15202530650645650655設該月吉祥物掛件的日銷售收入為（單位：元），已知第15天的日銷售價格為32元.（1）求k的值；（2）根據上表中的數據，若用函數模型來描述該月日銷售量與第x天的變化關系，求函數的解析式；（3）利用（2）中結論，求的最小值.21.設，若非空集合A，B，C同時滿足以下4個條件，則稱A，B，C是“無和劃分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.（1）若，，，判斷A，B，C是否是“無和劃分”，并說明理由.（2）已知A，B，C是“無和劃分”（）.（i）證明：對于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，記.證明：Ω中的所有奇數都屬于A.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）豐臺區(qū)2023～2024學年度第一學期期末練習高一數學2024.01考生須知：1.答題前，考生務必先將答題卡上的學校、班級、姓名、教育ID號用黑色字跡簽字筆填寫清楚，并認真核對條形碼上的教育ID號、姓名.在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼.2.本次練習所有答題均在答題卡上完成，選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對應選項涂黑，如需改動，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項.非選擇題必須使用標準黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚.3.請嚴格按照答題卡上題號在相應答題區(qū)內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在練習卷、草稿紙上答題無效.4.本練習卷滿分共150分，作答時長120分鐘.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用交集的定義直接求解作答.【詳解】因為，，所以.故選：.2.下列函數在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合函數的單調性依次判斷即可.【詳解】解:對于A項，函數在上單調遞增，故A項錯誤；對于B項，函數在上有增有減，故B項錯誤；對于C項，函數在上單調遞增，故C項錯誤；對于D項，函數，則函數在上單調遞減，故D項正確.故選：D3.若，，則下列結論一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質可知，即可對A判斷；由不等式性質得，即可對B判斷，利用特殊值可對C、D判斷；詳解】對A：由，所以，故A錯誤；對B：由，所以，故B正確；對C：由，令，則，故C錯誤；對D：由，，令，所以，故D錯誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據正切的和差角公式即可求解.【詳解】，故選：A5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根式性質、指數和對數的運算性可得出所求代數式的值.【詳解】，故A正確.故選：A.6.函數，則（）A.是最小正周期為的奇函數 B.是最小正周期為的偶函數C.是最小正周期為的奇函數 D.是最小正周期為的偶函數【答案】D【解析】【分析】對函數化簡得，然后利用正弦三角函數的性質從而求解.【詳解】對A、C：由題意得，定義域為，所以，所以為偶函數，故A、C錯誤；對B、D：函數的最小正周期為，故B錯誤，D正確，故選：D.7.函數，，的零點分別為，，，則，，，的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數與方程之間的關系，轉化為兩個函數的交點問題，利用數形結合求解即可.【詳解】令，即，令，即，令，即，分別作出，，和的圖象，如圖所示：由圖象可知：，所以.故選：.8.若α，β都是第一象限角，則“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設，且，由和在上單調遞增，可判斷.【詳解】因為α，β都是第一象限角，設，且，因為和在上單調遞增，當時，即，所以，則，所以；反之，當時，即，所以，則，即,所以“”是“”成立的充分必要條件.故選：C9.荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.若甲、乙兩同學當下的知識儲備量均為a，甲同學每天的“進步”率和乙同學每天的“退步”率均為2%.n天后，甲同學的知識儲備量為，乙同學的知識儲備量為，則甲、乙的知識儲備量之比為2時，需要經過的天數約為（）（參考數據：，，）A.15 B.18 C.30 D.35【答案】B【解析】【分析】根據題意列式，結合對數運算，即可求得答案.【詳解】由題意可設經過n天后甲、乙的知識儲備量之比為2，則，則（天），故選：B10.記為非空集合A中的元素個數，定義.若，，且，設實數a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據給定條件可得或，再根據集合中的方程的根的個數，對參數進行分類討論即可求得實數的所有可能取值，即可得出結果.【詳解】由定義得，又，則或，由方程，得或，當時，方程只有一個實數根，而方程有一根為0，則另一根必為0，，此時無實根，因此；當時，必有，方程有兩個不相等的實數根，并且都不是方程的根，顯然方程有兩個相等的實數根，且異于，于是，解得或，當時，方程的根為，滿足題意，當時，方程的根為，滿足題意，因此或，所以，.故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】根據開偶次方被開方數為非負數，結合對數函數的定義域得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.12.能說明“關于的不等式在上恒成立”為假命題的實數的一個取值為_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】將關于的不等式在上恒成立問題轉化為，從而得到的取值范圍，命題為假命題時的取值范圍是真命題時的補集，即可得的取值.【詳解】若不等式在上恒成立，則，解得，所以該命題為假命題時實數的取值范圍是，所以實數的一個取值為.故答案為：（答案不唯一，只要滿足“或”即可）.13.已知函數，若關于x的方程有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據題意及函數和有兩個不同的交點，然后求出相應區(qū)間上的值域，即可求解.【詳解】由題意知，當時，，且單調遞增，當時，，且單調遞增，所以當有兩個不同的實根，即函數和有兩個不同的交點，所以只需即滿足題意，所以的取值范圍為.故答案為：.14.已知，則_________，的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函數的關系將已知式子變形，利用換元法結合二次函數求得最小值.【詳解】，，令，則，函數對稱軸為，又，所以當時，有最小值，所以的最小值為.故答案為：；.15.雙曲函數是一類與三角函數類似的函數，基本的雙曲函數有：雙曲正弦函數，雙曲余弦函數，雙曲正切函數.給出下列四個結論：①函數是偶函數，且最小值為2；②函數是奇函數，且在上單調遞增；③函數在上單調遞增，且值域為；④若直線與函數和的圖象共有三個交點，這三個交點的橫坐標分別為，，，則.其中所有正確結論的序號是________________.【答案】②③④【解析】【分析】利用奇偶函數定義，指數的運算及基本不等式可對①、②判斷；由，可求其值域，即可對③判斷；結合雙曲余弦函數和雙曲正弦函數的性質，奇偶性、單調性、最值等來對④判斷.【詳解】對①：，定義域為，，所以為偶函數，因為，，所以，當且僅當，即時取等號，故①錯誤；對②：，定義域為，，所以為奇函數，因為在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞增，所以在定義域上單調遞增，故②正確；對③：由，又因為，所以，所以，所以的值域為，故③正確；對④：由①，②知是偶函數且最小值為，是奇函數且在上單調遞增，所以函數與和的圖象共有三個交點，則得，由雙曲余弦函數為偶函數，得，則得，所以，即，得，則，所以，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：根據函數的奇偶性的定義可求得雙曲余弦函數為偶函數，雙曲正弦函數為奇函數，再根據指數函數的單調性從而求得雙曲正弦函數為增函數，結合兩者的奇偶性，單調性即可對④求解.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，然后即可求出，.（2）根據，列出相應的不等式組從而可求解.小問1詳解】當時，，所以或，因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，又，所以，解得：.所以實數的取值范圍為.17.已知函數.（1）畫出函數的圖象，并寫出函數的值域及單調區(qū)間；（2）解不等式；（3）若恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】（1）圖象見解析，值域為，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為（2）（3）【解析】【分析】（1）根據函數，即可畫出對應的圖象，從而求解.（2）利用指數函數的單調性可求解不等式，從而求解（3）由恒成立，即得，結合（1）中結論即可求解.【小問1詳解】由題意知函數，從而可畫出圖象如下：當時，且單調遞減，當時，且單調遞增，所以的值域為，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由，即，可得，即或.所以該不等式的解集為.【小問3詳解】由恒成立，即，又，所以，解得.所以的取值范圍為.18.在平面直角坐標系中，角α和角β的頂點均與坐標原點O重合，始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別與單位圓交于P，Q兩點，若P，Q兩點關于y軸對稱，點P位于第一象限，橫坐標為.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的定義結合兩角和與差的余弦公式可解；（2）利用誘導公式化簡，再結合（1）的結果可求.【小問1詳解】依題意知，點P的坐標為，點Q的坐標為，所以，，，，所以.【小問2詳解】.19.已知函數，其中.從條件①、條件②、條件③中選擇一個條件，解決下列問題.（1）求的值；（2）求的單調遞增區(qū)間；（3）若存在，使得，求實數m的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再分別選擇條件結合正弦函數性質求出.（2）利用（1）的結論，利用正弦函數單調性求出遞增區(qū)間即得.（3）求出相位范圍，再求出時的相位，列出不等式求解即得.【小問1詳解】，選條件①，有，則，即，而，所以.選條件②，有，則，即，而，所以.選條件③，顯然是的周期，設的最小正周期為T，則，于是，即有，而，所以.【小問2詳解】由（1）得，由，得，所以的單調遞增區(qū)間是.【小問3詳解】當時，，當時，，由，，得，解得，所以實數m的取值范圍是.20.2023年9月23日第十九屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會吉祥物是“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物掛件，通過對銷售情況統計發(fā)現：在某個月內（按30天計），每套吉祥物掛件的日銷售價格（單位：元）與第x天的函數關系滿足（k為常數，且），日銷售量（單位：套）與第x天的部分數據如下表所示：x15202530650645650655設該月吉祥物掛件的日銷售收入為（單位：元），已知第15天的日銷售價格為32元.（1）求k的值；（2）根據上表中的數據，若用函數模型來描述該月日銷售量與第x天的變化關系，求函數的解析式；（3）利用（2）中的結論，求的最小值.【答案】（1）（2），，.（3）20280元【解析】【分析】（1）將代入，即可求得答案；（2）結合表格中數據確定m的值，再解方程，即可求得答案；（3）求出的表達式，討論x的取值范圍，結合函數單調性以及基本不等式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，所以，解得.【小問2詳解】根據表中數據以及，可知，當時，取得最小值；根據表中數據可得，，由，得，，，所以，其中，.【小問3詳解】由（1）（2）可知，，，當時，，可知在時隨著x的增大而減小，所以當時的最小值為；當時，，因為，當且僅當時，等號成立，所以當時的最小值為，綜上所述，當時，該月日銷售收入的最小值為20280元.21.設，若非空集合A，B，C同時滿足以下4個條件，則稱A，B，C是“無和劃分”：①；②，，；③，