研究生考試考研數(shù)學(xué)(二302)試卷及解答參考

一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)1、在冊(cè)生人數(shù)少于未在冊(cè)生人數(shù)的某校中，有100名新生和200名在校學(xué)生。學(xué)生由3個(gè)系組成，數(shù)學(xué)系有40名在校學(xué)生，物理系有35名在校學(xué)生?，F(xiàn)要從在校學(xué)生和未在冊(cè)生中各選擇一個(gè)組成學(xué)習(xí)小組，每個(gè)學(xué)習(xí)小組由3到6名學(xué)生組成，則學(xué)習(xí)小組中有一名來(lái)自物理系的在校學(xué)生所占的概率為()。A.第一種可能B.第二種可能C.第三種可能D.第一種可能和第二種可能的和2.設(shè)f(x)=x3-6x2+9x+1.下列說(shuō)法中，正確的是D.對(duì)任意的正整數(shù)n,有(2n)^n=2^n*n!4.級(jí)是否絕對(duì)收斂?A)絕對(duì)收斂B)條件收斂D)收斂但不是絕對(duì)收斂(A)loge-2(B)loge+2(C)elo6、設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f'(x)=f(x),則下列結(jié)論正確的是A.f(x)是周期函數(shù)，周期為任意非零實(shí)數(shù)B.若f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則必存在唯一常數(shù)M,使得f(x)≤M恒成立C.f(x)不可能為單調(diào)函數(shù)D.若f(x)是偶函數(shù)，則必有f'(x)恒等于零7.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2-12x+1,那么f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值8、若函數(shù)f(x)=ax3+*2+cx+d,則其在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程為A.y=-2x+5B.y=-2x+7C.y=-2x9、一元二次方程組x^2+5x+6=0和y^2+(5x+6)-x=0同時(shí)滿足的條件10、下列函數(shù)中，不屬于PERIODFUNCTION是()A.sin(x)B.cos(x)D.eX二、填空題(本大題有6小題，每小題5分，共30分)2.已知函數(shù),則f(x)的最大值為o3.若函數(shù)(f(x)=x3-3x+1),則(f'(x))表示的是函數(shù)(f(x))的o4、若矩陣(A)的行列式為(-2),矩陣(B)的行列式為(3),則矩陣(AB)的行列式為 05、設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在一(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=0,f(b)=0。則根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得 6、設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=ex+(1-x)ex-x2,則f(x)的表達(dá)式為三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分)第一題題目：設(shè)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e在實(shí)數(shù)域上可的導(dǎo)數(shù)。已知f'(x)在x=0處取得極值點(diǎn)，且f'‘(x)在x=0處取得零點(diǎn)，并且f’’(x)的極值點(diǎn)為無(wú)窮大，請(qǐng)結(jié)合這些條件確定多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)，并簡(jiǎn)要分析它們的性質(zhì)。并求出在給定條件滿足時(shí)，a的取值范圍對(duì)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的影響。第二題題目：考慮高階線性微分方程y''+p(t)y''+q(t)y'+r(t)y=0(其中p,q,r是原方程的三個(gè)解，且D為常數(shù)。假設(shè)y?是已知函數(shù)，求該高階方程的通解表達(dá)式。第三題設(shè)函數(shù)(f(x)在定義域((0,○))上可導(dǎo)，并且滿足(f(1.整理已知條件：由題目條件我們知道函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)(f(x))可以表達(dá)為(x2f(x)),并且函數(shù)在(x=1)時(shí)的值為(1)。2.分離變量：為了求(f(x)),我們可以將(dx)和(f(x))分別放在等式的兩邊，得到：3.兩邊積分：兩邊分別積分，左邊積分后為(ln|f(x)|),右邊積分后o第四題題目：計(jì)算二重積分JJD(x2+y2)dxdy,其中D是由曲線y=x2和直線y=4第五題第六題已知直線L?:x-y+1=0,直線L?:2x+4y+10=0,在坐標(biāo)平面直角系中作圖，研究直線L?和L?的位置關(guān)系?！窘狻渴紫?，我們可以通過(guò)公式計(jì)算兩條直線的斜率：●直線L?的斜率k?為1(因?yàn)槭阶涌梢詫?xiě)成y=x+1)?！裰本€L?的斜率(因?yàn)槭阶涌梢詫?xiě)成o由于k?≠k?,說(shuō)明這兩條直線不是平行線。然后，我們可以計(jì)算它們的截距(即兩條直線分別與y軸的交點(diǎn))并比較。所以直線L?在y軸上的截距為0。y=0+10/4=2.5因此直線L?在y軸上的截距為2.5。既然L?的在y軸上的截距2.5明顯大于L?的在y軸上的截距0,并且斜率k?大于k?,根據(jù)直線斜率和截距所刻畫(huà)的相對(duì)位置，我們可以得出結(jié)論：直線L?在平面直角坐標(biāo)系中的位置會(huì)高于直線L?。進(jìn)一步，由于直線的斜率k?為1是正值，意味著L?是斜率為正的直線，即L?是從第三象限穿過(guò)第一象限斜向上；L?的斜率為負(fù)，小于零，意味著L?是斜率為負(fù)的直線，會(huì)穿過(guò)第二象限，斜著下去穿過(guò)第四象限。所以，很明顯L?不與L?相交。最終，我們可以得出結(jié)論：直線L?與直線L?在坐標(biāo)平面內(nèi)不相交，并且L?位于L?上設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=2x^3-y^3+xy^2,在點(diǎn)(x,y)處滿足約束條件x^2+y^2一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)1、在冊(cè)生人數(shù)少于未在冊(cè)生人數(shù)的某校中，有100名新生和200名在校學(xué)生。學(xué)生由3個(gè)系組成，數(shù)學(xué)系有40名在校學(xué)生，物理系有35名在校學(xué)生?，F(xiàn)要從在校學(xué)生和未在冊(cè)生中各選擇一個(gè)組成學(xué)習(xí)小組，每個(gè)學(xué)習(xí)小組由3到6名學(xué)生組成，則學(xué)習(xí)小組中有一名來(lái)自物理系的在校學(xué)生所占的概率為()。A.第一種可能B.第二種可能C.第三種可能D.第一種可能和第二種可能的和解析：學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100×200+40×35=1400+1400=2800。在其中有物理系在校學(xué)生時(shí)，學(xué)習(xí)小組人員組成的總數(shù)為100+40=1400+1400=2800$。2.設(shè)f(x)=x3-6x2+9x+1.下列說(shuō)法中，正確的是f'(x)=3x2-12x+9=3(x2A.函數(shù)y=x^2在R上單調(diào)遞減解析：對(duì)任意的正整數(shù)n,有(2n)^n=2^n*n!。這是因?yàn)楦鶕?jù)指數(shù)冪的乘法法則，有(a"n=a^(mn),所以(2n)^n=2^(n)=2^n*n!。4.級(jí))是否絕對(duì)收斂?A)絕對(duì)收斂B)條件收斂D)收斂但不是絕對(duì)收斂答案：A)絕對(duì)收斂解析：給定的級(jí)數(shù)是一個(gè)絕對(duì)收斂的調(diào)和級(jí)數(shù)，其中每一項(xiàng)都是正項(xiàng)，并隨(n)的增加而遞減。按照p-級(jí)數(shù)判別法，如果級(jí)數(shù)的每項(xiàng)的正項(xiàng)(an)滿足(an>0,且存在正數(shù)(M)和正整數(shù)(N),使得對(duì)所有(n>N)成立，那么級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。在本例中(p=3>1),由于其中(M)可以取最小的正數(shù)(如(M=1)。因此，級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性可以由蒙哥馬利判別法確定。同時(shí)，由于該級(jí)數(shù)是發(fā)夾級(jí)數(shù)，它也是收斂的。5.設(shè)f(x)=(x2-1)log(x),則f(e)等于(A)loge-2(B)loge+2(C)elo2.將x=e代入導(dǎo)數(shù)公式：3.由于log(e)=1,所以：6、設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f'(x)=f(x),則下列結(jié)論正確的是A.f(x)是周期函數(shù)，周期為任意非零實(shí)數(shù)B.若f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則必存在唯一常數(shù)M,使得f(x)≤M恒成立C.f(x)不可能為單調(diào)函數(shù)D.若f(x)是偶函數(shù)，則必有f'(x)恒等于零解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)題意，已知f'(x)=f(x),即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于其本身，這是一個(gè)特殊的性質(zhì)。對(duì)于選項(xiàng)A,由于周期函數(shù)的定義是存在最小正周期T,使得對(duì)于所有整數(shù)k,都有f(x+T)=f(x),僅憑給出的條件無(wú)法確定f(x)是否為周期函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C,沒(méi)有理由說(shuō)明f(x)一定不是單調(diào)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D,雖然偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但f'(x)不一定恒等于零。只有選項(xiàng)B,由于函數(shù)單調(diào)遞增且導(dǎo)數(shù)存在并與函數(shù)值相等，說(shuō)明函數(shù)的增長(zhǎng)是有界的，即存在一個(gè)上限M滿足題意要求。因此正確答案為B。7.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2-12x+1,那么f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值首先，我們需要找到函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1=1f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+1=在這些點(diǎn)中，最大值為33(在x=2處取得)。A.y=-2x+5B.y=-2x+7C.y=-2x+6D.y=-2x+4然后將點(diǎn)P(1,3)代入得a+b+c+d=3。又因?yàn)榍芯€斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，所以有t'D)=arzbe.解這個(gè)方程組可以得到a=-2,b-4,05,所以原函數(shù)為fO=23+4x^2+5x+d。將點(diǎn)P(1,3)代入得d=0所以切線方程為y=-2(x-1)+3,即y=-2x+5。9、一元二次方程組x^2+5x+6=0和y^2+(5x+6)-x=0同時(shí)滿足的條件首先，我們將第二個(gè)方程重寫(xiě)為y^2+5x+6-x=0,即y^2+4x+6=0。對(duì)于一元二次方程x^2+5x+6=0,我們可以使用因式分解的方法來(lái)解這個(gè)方現(xiàn)在我們考慮y的值。由于x=-2或x=-3,我們可以將x的值代入y^2+4x+6=0來(lái)找到相應(yīng)的y值。首先代入x=-2:由于這是一個(gè)平方數(shù)，我們可以得到y(tǒng)=-√2或y=√2。然后我們代入x=-3:對(duì)應(yīng)于以上結(jié)果。所以，正確答案是C。A.sin(x)B.cos(x)D.eX答案：D●A、B、C項(xiàng)都是周期函數(shù)，其周期分別為2π。解析：首先求出g(x)的值域，然后根據(jù)f(x)和g(x)的關(guān)系得到h(x)的值域。由于g(x)的值域?yàn)?0,+的),所以h(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。將g(x)代入f(x)中，·因此,在(0,+～)上,f(x)是減函數(shù);在(-～,の上,f(x)也是減函數(shù)●常數(shù)項(xiàng)1的導(dǎo)數(shù)為0因此，f(x)=3x2-3。f(x)表示的是函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x處的瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)。4、若矩陣(A)的行列式為(-2),矩陣(B)的行列式為(3),則矩陣(AB)的行列式為 答案：(-6)解析：根據(jù)矩陣乘法的行列式性質(zhì)，我們有(det(AB)=det(A)·det(B)。所以，5、設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在一(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=0,f(b)=0。則根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0拉格朗日中值定理是微積分中的一個(gè)重要定理，它表明如果在區(qū)間(a,b)上定義了一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且在該區(qū)間內(nèi)除了可能在端點(diǎn)處外處處可導(dǎo)，如果f(a)=f(b),那么在本題中，給定函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在一(a,b)上可導(dǎo)，并且滿足f(a)=0,f(b)=0。根據(jù)拉格朗日中值定理，可以確定存在某個(gè)ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0。這就是題目的答案。因此，填空處應(yīng)填寫(xiě)：0。本題考查的是微分方程的求解問(wèn)題。已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們需要求出原函數(shù)。noticingthat形如(1-x)e-x2的導(dǎo)數(shù)就是e-x2。因此，我們可以積分f(x)來(lái)得到f(x)=?f'(x)dx其中C是積分常數(shù)。三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分)第一題題目：設(shè)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e在實(shí)數(shù)域上可的導(dǎo)數(shù)。已知f'(x)在x=0處取得極值點(diǎn)，且f'‘(x)在x=0處取得零點(diǎn)，并且f'’(x)的極值點(diǎn)為無(wú)窮大，請(qǐng)結(jié)合這些條件確定多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)，并簡(jiǎn)要分析它們的性質(zhì)。并求出在給定條件滿足時(shí)，a的取值范圍對(duì)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的影響。答案：本題主要考察多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。根據(jù)題意，我們可以得已知f'(x)在x=0處取得極值點(diǎn)，那么我們可以得到f'‘(x)在x=0處取值為零。又因?yàn)閒'‘(x)的極值點(diǎn)為無(wú)窮大，這意味著f'’(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上先遞增然后遞減。由此我們可以推斷出多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)域上有兩個(gè)拐點(diǎn)，其中一個(gè)拐點(diǎn)位于原點(diǎn)處。這意味著多項(xiàng)式函數(shù)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分析可位置關(guān)系也會(huì)發(fā)生改變。具體地，當(dāng)a取較小值時(shí)，零點(diǎn)數(shù)量可能增加；當(dāng)a取較大我們可以進(jìn)一步確定零點(diǎn)的具體位置和數(shù)量。結(jié)合這些分析我們可以得到參數(shù)a對(duì)多系數(shù)a,b,c,d的取值所以我們?cè)诖藘H給出了基本的分析和推斷具體數(shù)值需要通過(guò)求對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)證明過(guò)程細(xì)節(jié)部分需根據(jù)具體的計(jì)算和推理來(lái)完善題目：考慮高階線性微分方程y''+p(t)y''+q(t)y+r(t)y=0(其中p,q,r是原方程的三個(gè)解，且D為常數(shù)。假設(shè)y?是已答案：已知高階線性微分方程y''+p(t)y''+q(t)y'+r(t)y=0。給定條件是方程有三個(gè)解y?,y2,和y?且這三個(gè)解對(duì)應(yīng)的三個(gè)輔助方程可以通過(guò)同樣的函數(shù)Φk'(t)表達(dá)。由于已知y?是已知函數(shù)，我們可以設(shè)y?和y?是方程的兩個(gè)未知解。我們y=C?y?+C2y2+C?y3數(shù)φ'可與方程解的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，即每個(gè)解都滿足該輔助方程的條件。因此，我們可以通過(guò)求解輔助方程來(lái)進(jìn)一步理解原方程的解的性質(zhì)和通解表達(dá)式。具體的求解過(guò)程涉及復(fù)雜的微積分運(yùn)算和微分方程理論的應(yīng)用，需要根據(jù)具體的題目條件進(jìn)行具體的分析和計(jì)算。這個(gè)高階方程的通解會(huì)涉及更多的數(shù)學(xué)計(jì)算技巧，需要進(jìn)一步拓展解決該題的完整步驟。因此在這里無(wú)法直接給出詳細(xì)的完整解答過(guò)程。此題的求解不僅需要運(yùn)用到基礎(chǔ)的理論知識(shí)，還需有一定的實(shí)踐能力和邏輯推理能力來(lái)完成。注意：由于該題的解答涉及到復(fù)雜和詳盡的計(jì)算過(guò)程，具體計(jì)算細(xì)節(jié)在這里無(wú)法詳細(xì)展開(kāi)展示。第三題設(shè)函數(shù)(f(x)在定義域((0,○))上可導(dǎo)，并且滿足(f(x)=x2f(x))1.整理已知條件：由題目條件我們知道函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)f(x))可以表達(dá)為(x2f(x)),2.分離變量：為了求(f(x)),我們可以將(dx)和(f(x))分別放在等式的兩邊，得到：3.兩邊積分：兩邊分別積分，左邊積分后為(1n|f(x)|),右邊積分后4.求常數(shù)(0):利用(f(1)=1),可以求出常數(shù)(0)。由于(f(x))在(x=)的時(shí)候值為正數(shù)，因此可以認(rèn)為(f(x))在整個(gè)定義域上都是正題目：計(jì)算二重積分JJD(x2+y2)dxdy,其中D是由曲線y=x2和直線y=4首先確定平面區(qū)域D的范圍。根據(jù)給定的曲線方程，我們知道y的取值范圍為0到4。因此，我們首先沿y軸方向進(jìn)行積分，然后在給定的范圍內(nèi)對(duì)x進(jìn)行積分。根據(jù)第一步，確定x的取值范圍。由于區(qū)域D由曲線y=x2和直線y=4圍成，所以x的取值范圍為-2≤x≤2。這是因?yàn)閷=4代入y=x2得到x的兩個(gè)解為±2。第二步，計(jì)算二重積分。根據(jù)二重積分的計(jì)算法則和幾何意義，有：JD(x2+y2)dxdy等于被積函數(shù)在兩個(gè)區(qū)域邊界值之間計(jì)算的面積的差的和。使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行