第23章解直角三角形 單元測(cè)試-數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)上冊(cè)

第23章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．若∠A為銳角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，則cosA的值是()A．1B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(1,2)2．下列是有理數(shù)的是()A．tan45°B．sin45°C．cos30°D．sin60°3．西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過一種通過測(cè)定日影長(zhǎng)度來確定時(shí)間的儀器，稱為圭表．如圖是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC高為a.已知，冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長(zhǎng))約為()A．a(chǎn)sin26.5°B.eq\f(a,tan26.5°)C．a(chǎn)cos26.5°D.eq\f(a,cos26.5°)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝eq\f(2,3)，則AC的長(zhǎng)為()A．6B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．9eq\r(5)5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么cos∠EFC的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)6．如圖，過點(diǎn)C(－2，5)的直線AB分別交坐標(biāo)軸于A(0,2)，B兩點(diǎn)，則tan∠OAB＝()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)7．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2\r(5),5)8．如圖，一塊矩形薄木板ABCD斜靠在墻角MON處(OM⊥ON，點(diǎn)A，B，C，D，O,M,N在同一平面內(nèi))，已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α，則點(diǎn)B到ON的距離等于()A．m·cosα＋n·cosαB．m·sinα＋n·cosαC．m·cosα＋n·sinαD．m·sinα＋n·sinα9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，則BC的長(zhǎng)是()A．4eq\r(3)B．4eq\r(7)C．6D．810．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D.設(shè)BD＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)，則x與y滿足的關(guān)系式為()A．x－y2＝3B．2x－y2＝6C．3x－y2＝9D．4x－y2＝12二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．比較大?。簊in48°________cos48°(填“＞”“＜”或“＝”)．12．在△ABC中，sinB＝cos(90°－∠C)＝eq\f(1,2)，則∠A的大小是________．13．如圖，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角α為60°時(shí)，兩梯腳之間的距離BC的長(zhǎng)為2m．周日亮亮幫助媽媽整理換季衣服，先使α為60°，后又調(diào)整α為45°，則梯子頂端A離地面的高度下降了________m．(結(jié)果保留根號(hào))14．如圖，香玲同學(xué)在P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，斜面AB的坡度為1∶eq\r(3).(1)∠PBA＝________；(2)HF的長(zhǎng)為________m.三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計(jì)算：eq\r(（tan60°－1）2)＋|1－cos60°|－2tan45°·sin60°.16．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C＝45°，sinB＝eq\f(1,3)，AD＝1.求BC的長(zhǎng)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，定義：在Rt△ABC中，銳角α的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠α的余切，記作cotα，即cotα＝eq\f(∠α的鄰邊,∠α的對(duì)邊)＝eq\f(AC,BC)，根據(jù)角的余切的定義，解答下列問題：(1)cot30°＝________；(2)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(3,4)，試求cotA的值．18.自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖①所示的坡路進(jìn)行改造．如圖②，改造前的斜坡AB＝200m，坡度為1：eq\r(3)，將斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4.求斜坡CD的長(zhǎng)．(結(jié)果保留根號(hào))五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖①，李鴻章故居位于合肥市淮河路步行街中段，是典型的晚清江淮居民建筑，李鴻章故居內(nèi)大門上常懸掛著巨大的牌匾，圖②中的線段AD就是掛在墻OE上的牌匾的截面圖，某數(shù)學(xué)小組經(jīng)過測(cè)量得到AD＝1米，∠DAE＝37°.從水平面點(diǎn)C處觀測(cè)點(diǎn)D處的仰角∠DCO＝45°，從C處沿CO方向走4步到達(dá)點(diǎn)B處，從點(diǎn)B處觀測(cè)點(diǎn)A處的仰角∠ABO＝53°，現(xiàn)測(cè)得學(xué)生的步長(zhǎng)為0.6米．(1)求點(diǎn)D到OE的距離；(2)求牌匾懸掛高度OA的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4))20．阿蓮?fù)瑢W(xué)在學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，老師告訴她求一個(gè)角的三角函數(shù)值，這個(gè)角應(yīng)該在直角三角形環(huán)境里才好求，但是阿蓮?fù)瑢W(xué)在解題過程中遇到了這樣一個(gè)難題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠BDC＝60°，AD＝2BD，求sin∠ABD的值．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫她解題．六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，且AE∶ED＝7∶5，連接CE并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝eq\f(5,13).(1)求tan∠DCE的值；(2)求eq\f(AF,BF)的值．七、(本題滿分12分)22．如圖，湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處．(1)求湖岸A與碼頭C的距離(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)；(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．(接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì))八、(本題滿分14分)23.閱讀下面的材料：(Ⅰ)銳角三角函數(shù)的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，稱sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)是兩個(gè)銳角∠A，∠B的“正弦”，特殊情況：直角的正弦值為1，即sin90°＝1，也就是sinC＝eq\f(c,c)＝1.由sinA＝eq\f(a,c)，可得c＝eq\f(a,sinA)；由sinB＝eq\f(b,c)，可得c＝eq\f(b,sinB)，而c＝eq\f(c,1)＝eq\f(c,sin90°)＝eq\f(c,sinC)，于是就有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(Ⅱ)其實(shí)，對(duì)于任意的銳角三角形ABC，上述結(jié)論仍然成立，即三角形各邊與對(duì)角的正弦之比相等，稱為“正弦定理”，我們可以利用三角形面積公式證明其正確性．證明：如圖①，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，∴AD＝c·sinB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)ac·sinB.在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,b)，∴AD＝b·sinC.∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)ab·sinC．同理可得S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sin∠BAC.∴eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)bc·sin∠BAC.∴eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)＝eq\f(sin∠BAC,a)，∴eq\f(a,sin∠BAC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).解答下列問題：(1)如圖②，在銳角三角形ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，c＝2，求b；(2)求(1)中△ABC的面積；(3)求(1)中sinA的值．答案一、1.D點(diǎn)撥：∵sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°＝eq\f(1,2).2．A3．B點(diǎn)撥：由題意可得，立柱根部與圭表的冬至線的距離為eq\f(AC,tan∠ABC)＝eq\f(a,tan26.5°).4．C點(diǎn)撥：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·cosB＝9×eq\f(2,3)＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(92－62)＝3eq\r(5).5．A點(diǎn)撥：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝eq\r(52－32)＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3－x.在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝eq\f(4,3)，∴EF＝3－x＝eq\f(5,3)，∴cos∠EFC＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(3,5). 6．B點(diǎn)撥：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，∵C(－2,5)，∴CD＝2，OD＝5.∵A(0，2)，∴OA＝2，∴AD＝OD－OA＝3.在Rt△ACD中，tan∠OAB＝tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(2,3).7．D點(diǎn)撥：如圖，取格點(diǎn)E，連接AE，BE，設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長(zhǎng)為1，則BE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AE＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).∵BE2＋AE2＝2＋8＝10，AB2＝10，∴BE2＋AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°.由題意知∠EBD＝∠CDB＝45°.∴∠APD＝∠CDB＋∠PBD＝45°＋∠PBD，∠ABE＝∠DBE＋∠PBD＝45°＋∠PBD，∴∠APD＝∠ABE.在Rt△ABE中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(2\r(2),\r(10))＝eq\f(2\r(5),5).∴sin∠APD＝eq\f(2\r(5),5).8．C點(diǎn)撥：如圖，作BE⊥OM于點(diǎn)E.∵OM⊥ON，∴∠AEB＝∠AOD＝90°，BE∥ON.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°－∠OAD＝∠ADO＝α.∵eq\f(AE,AB)＝cos∠BAE＝cosα，∴AE＝AB·cosα＝m·cosα.∵eq\f(OA,AD)＝sin∠ADO＝sinα，∴OA＝AD·sinα＝n·sinα，∴OE＝AE＋OA＝m·cosα＋n·sinα.∵BE∥ON，∴點(diǎn)B，點(diǎn)E到ON的距離相等，∴點(diǎn)B到ON的距離等于m·cosα＋n·sinα.9．B點(diǎn)撥：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E.∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°－120°＝60°，∴AE＝AC·cos60°＝4，EC＝AC·sin60°＝4eq\r(3).∵AB＝4，∴BE＝AB＋AE＝8，∴BC＝eq\r(BE2＋EC2)＝eq\r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq\r(7).10．C點(diǎn)撥：如圖，過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE.∵BE的垂直平分線交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x.∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y(tǒng)，AQ⊥BC，∴eq\f(AQ,CQ)＝y(tǒng)，BQ＝CQ＝4，∴AQ＝4y.又∵EM⊥BC，∴AQ∥EM.又∵E為AC的中點(diǎn)，∴MC＝QM＝eq\f(1,2)CQ＝2，EM＝eq\f(1,2)AQ＝2y.∴DM＝8－2－x＝6－x.在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.二、11.＞12.120°13．(eq\r(3)－eq\r(2))點(diǎn)撥：當(dāng)α為60°時(shí)，抽象出幾何圖形，如圖①，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由題意易得△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝2m，∴AD＝AB·sinB＝2sin60°＝eq\r(3)(m)．當(dāng)α為45°時(shí)，抽象出幾何圖形，如圖②，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由題意易得△ABC是等腰直角三角形，∵AB＝2m，∴AE＝AB·sinB＝2sin45°＝eq\r(2)(m)．∴梯子頂端離地面的高度下降了(eq\r(3)－eq\r(2))m.14．(1)90°(2)(10＋10eq\r(3))點(diǎn)撥：(1)由題意得∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，PC∥HF，∴∠CPB＝∠PBH＝60°.∵斜面AB的坡度為1∶eq\r(3)，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).即在Rt△ABF中，tan∠ABF＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABF＝30°，∴∠PBA＝180°－∠ABF－∠PBH＝90°.(2)在Rt△PBH中，PB＝20m，∠PBH＝60°，∴BH＝PB·cos60°＝20×eq\f(1,2)＝10(m)．∵∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，∴∠APB＝∠CPB－∠CPA＝45°.∵∠PBA＝90°，∴AB＝PB·tan45°＝20m.在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴BF＝AB·cos30°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m)，∴HF＝HB＋BF＝(10＋10eq\r(3))m.三、15.解：eq\r(（tan60°－1）2)＋|1－cos60°|－2tan45°·sin60°＝eq\r(3)－1＋1－eq\f(1,2)－2×1×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2).16．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，AD＝1，∴AB＝3.∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(2)＋1.四、17.解：(1)eq\r(3)(2)∵tanA＝eq\f(3,4)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴cotA＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,3).18．解：∵∠AEB＝90°，斜坡AB的坡度為1：eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABE＝30°.∵AB＝200m，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝100m.∵AC＝20m，∴CE＝100－20＝80(m)．∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為1：4，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(1,4)，即eq\f(80,DE)＝eq\f(1,4)，解得DE＝320m，∴CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(802＋3202)＝80eq\r(17)(m)．答：斜坡CD的長(zhǎng)為80eq\r(17)m.五、19.解：(1)如圖，過D作DF⊥OE于F，在Rt△ADF中，∵AD＝1米，∠DAE＝37°，∴DF＝ADsin37°≈0.6米．∴點(diǎn)D到OE的距離約為0.6米．(2)如圖，過D作DH⊥OC于H，則四邊形DHOF是矩形，∴DF＝OH，DH＝OF.在Rt△ADF中，∠DAF＝37°，AD＝1米，∴AF＝ADcos37°≈0.8米．由題可得BC＝4×0.6＝2.4(米)．在Rt△ABO中，∠ABO＝53°，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝37°.∵tan∠BAO＝tan37°＝eq\f(OB,OA)≈eq\f(3,4)，∴OB≈eq\f(3,4)OA.在Rt△CDH中，∠DCH＝45°，∴CH＝DH＝FO＝AF＋OA≈0.8＋OA，∴CO＝CH＋OH≈0.8＋OA＋0.6＝1.4＋OA.又CO＝BC＋BO≈2.4＋eq\f(3,4)OA，∴1.4＋OA≈eq\f(3,4)OA＋2.4，解得OA≈4米，即牌匾懸掛高度OA的長(zhǎng)約是4米．20．解：過A點(diǎn)作AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∴∠AED＝∠C＝90°，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴cos∠BDC＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,2).設(shè)CD＝a，則BD＝2a，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC＝eq\r(3)a.∵AD＝2BD，∴AD＝4a，∴AC＝5a，在Rt△ACB中，由勾股定理可得AB＝2eq\r(7)a.在Rt△BDC中，sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(eq\r(3),2)．又∠BDC＝∠ADE，∴sin∠ADE＝sin∠BDC.在Rt△ADE中，sin∠ADE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(eq\r(3),2)，∴AE＝2eq\r(3)a.在Rt△ABE中，sin∠ABD＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(eq\r(21),7)．六、21.解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(5,13)，∴CD＝5，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(132－52)＝12.∵AE：ED＝7：5，∴ED＝12×eq\f(5,7＋5)＝5，∴在Rt△CDE中，tan∠DCE＝eq\f(ED,CD)＝1.(2)過點(diǎn)D作DG∥CF交AB于點(diǎn)G，∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC－CD＝3.∵DG∥CF，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(BG,FG)＝eq\f(3,5)，eq\f(AF,FG)＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(7,5)，∴AF＝eq\f(7,5)FG.設(shè)BG＝3x，則FG＝5x，AF＝7x，∴BF＝FG＋BG＝8x，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(7,8).七、22.解：(1)如圖，延長(zhǎng)CB到D，則CD⊥AD于點(diǎn)D，由題意易得∠N