《數(shù)字信號(hào)處理-基于數(shù)值計(jì)算》課件-第2章

第2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析2.1引言2.2序列的傅立葉變換2.3序列的Z變換2.4Z變換的應(yīng)用

2.1引言

與連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻率域分析相對(duì)應(yīng)，對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)，除了前面介紹的時(shí)域分析方法外，我們也有變換域的分析手段。就像用拉普拉斯變換和傅立葉變換將連續(xù)時(shí)間域函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)換到頻率域成為F(s)或F(jΩ)一樣，我們用Z變換和序列傅立葉變換把離散時(shí)間域的f(n)轉(zhuǎn)換成F(z)或F(ejw)，從而由另一個(gè)角度來(lái)觀察及獲取信號(hào)或系統(tǒng)的內(nèi)在特性。因此，本章是學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。

2.2序列的傅立葉變換

2.2.1DTFT的定義和性質(zhì)

對(duì)于一個(gè)序列x(n)，我們定義如下運(yùn)算：(2.2.1)式中ω是數(shù)字角頻率，它是以采樣頻率fs對(duì)頻率f進(jìn)行歸一化后的重要變量，單位為rad，即(2.2.2)稱式(2.2.1)為序列x(n)的傅立葉正變換(DTFT)，它是一個(gè)級(jí)數(shù)，并且不見(jiàn)得都能收斂，比如x(n)=u(n)時(shí)，級(jí)數(shù)就不收斂。反過(guò)來(lái)，有限長(zhǎng)序列總是收斂的，總有DTFT存在。因此，對(duì)序列做變換時(shí)要有個(gè)約束，即式(2.2.1)成立的充分必要條件是序列x(n)應(yīng)滿足絕對(duì)可和，即(2.2.3)變換運(yùn)算通常也可用簡(jiǎn)便符號(hào)表示為或容易證明(請(qǐng)讀者完成)：X(ejω)是ω的連續(xù)函數(shù)，且是以2π為周期的。為了求出逆變換，對(duì)式(2.2.1)兩邊同乘ejωm并在X(ejω)的主值周期(－π~π)內(nèi)對(duì)ω進(jìn)行積分，即因?yàn)樗允?2.2.4)是序列x(n)的傅立葉逆變換(IDTFT)，簡(jiǎn)記為x(n)=IDTFT{X(ejω)}或一般情況下，除非x(n)是關(guān)于n=0實(shí)偶對(duì)稱，X(ejω)總是實(shí)變量ω的復(fù)函數(shù)，它可以用實(shí)部與虛部表示為

X(ejω)=Re{X(ejω)}+jIm{X(ejω)}也可以用幅度和相位表示為

X(ejω)=|X(ejω)|ejφ(ω)有關(guān)DTFT的性質(zhì)如表2.1.1所示。

【例2.2.1】

證明表2.1.1中的能量公式，即Parseval定理。

證明

【例2.2.2】

求因果序列x(n)=an，n≥0的DTFT，a是實(shí)數(shù)。解按DTFT定義有顯然，無(wú)窮級(jí)數(shù)在|a|≥1情況下將不收斂，上式?jīng)]有意義。而當(dāng)|a|＜1時(shí)是一個(gè)收斂的等比級(jí)數(shù)，其和為寫(xiě)成幅度與相位兩部分：現(xiàn)在用MATLAB程序繪制信號(hào)頻譜圖。程序結(jié)果如圖2.2.1和圖2.2.2所示。如果將序列作為濾波器的單位樣值響應(yīng)，則濾波器頻響具有低通特性。假設(shè)取a=－0.5，其結(jié)果如圖2.2.3所示，我們?cè)俅慰吹降?章提到的(－1)n的譜倒置功效，它將低通濾波器頻響改造成了高通類型。圖2.2.1因果指數(shù)序列x(n)=0.5n圖2.2.2因果指數(shù)序列x(n)=0.5n的頻譜圖2.2.3因果指數(shù)序列x(n)=(－0.5)n的頻譜2.2.2周期序列及其傅立葉級(jí)數(shù)表示

如果一個(gè)序列具有周期重復(fù)的特征，那么它是不滿足絕對(duì)可和的條件的，也就是說(shuō)沒(méi)有DTFT。但我們可以仿照將連續(xù)的周期信號(hào)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的辦法，把周期的序列也表示成傅立葉級(jí)數(shù)，實(shí)質(zhì)上是表示成復(fù)指數(shù)序列之和，而且這些序列的頻率是原周期序列的基頻的整數(shù)倍。設(shè)x(n)是一個(gè)以N為重復(fù)周期的序列，即滿足x(n)=x(n+kN)，0≤n≤N－1，k是任意整數(shù)。

比如，一個(gè)N=5的周期序列，主周期值｛1，2，－1，3，4｝，它的圖像如圖2.2.4所示。~~~圖2.2.4周期N=5的周期序列現(xiàn)在考察一下復(fù)指數(shù)序列ejω0n。根據(jù)歐拉公式ejω0n=cos(ω0n)+jsin(ω0n)，ejω0n是由數(shù)字頻率為ω0(常數(shù))的正弦序列和余弦序列構(gòu)造的，稱ω0為基頻分量。顯然，k次諧波分量就是ejkω0n=cos(kω0n)+jsin(kω0n)。選ω0=2π/N，且第k次諧波復(fù)指數(shù)序列用υk(n)表示，即~(2.2.5)而第k+N次的諧波為這是與連續(xù)復(fù)指數(shù)信號(hào)顯著不同的特征，它表明了以2π/N為基頻的所有諧波分量中，只有N個(gè)是獨(dú)立的，其他諧波都是它們的重復(fù)，因而可以被替代。因此，在將周期序列展開(kāi)成這些諧波序列的無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，就可以只取k=0，1，2，…，N－1個(gè)獨(dú)立諧波，從而把級(jí)數(shù)化簡(jiǎn)成有限項(xiàng)之和，即等價(jià)于(2.2.6)式(2.2.6)稱為周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，也稱DFS逆變換。式中乘以1/N比例系數(shù)是為了正反變換式的規(guī)范，沒(méi)有其他意思。X(k)是k次諧波的系數(shù)，一般是復(fù)數(shù)形式。~對(duì)式(2.2.6)兩邊同乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期0~N－1里求和：(2.2.7)上式最后一個(gè)累加號(hào)計(jì)算如下：不妨取s=0，有，將符號(hào)m換成k，有(2.2.8)式(2.2.8)就是求周期序列的DFS展開(kāi)系數(shù)公式，亦稱DFS正變換，由它能獲得信號(hào)的頻譜分布結(jié)構(gòu)。值得注意的是，X(k)也是以N為周期的頻率域序列。因?yàn)閪式中，r取整數(shù)。這里我們看到信號(hào)在時(shí)域的周期性和離散性，反映到頻率域就對(duì)稱地表現(xiàn)為頻譜的離散性(諧波)和周期性。這是傅立葉正反變換式的對(duì)稱性質(zhì)的體現(xiàn)。若記WN=e－j(2π/N)，可以把以上DFS的公式簡(jiǎn)寫(xiě)為(2.2.9)2.2.3序列的周期卷積

設(shè)(2.2.10)證明如下：按照兩個(gè)序列的等價(jià)地位，可以得知，根據(jù)DFS與IDFS的對(duì)偶特點(diǎn)，容易證明：

【例2.2.3】圖示如下兩個(gè)N=6點(diǎn)的周期序列的周期卷積過(guò)程。解根據(jù)

，將其中一個(gè)序列左右翻折，并在一個(gè)周期里逐點(diǎn)相乘再累加，然后每右移位一次，就進(jìn)行一遍上述運(yùn)算而得到一個(gè)輸出點(diǎn)值，重復(fù)移位N－1次可得到周期卷積的全部結(jié)果序列。原序列如圖2.2.5所示，過(guò)程見(jiàn)圖2.2.6。圖2.2.5兩個(gè)周期N=6點(diǎn)的原序列圖2.2.6周期卷積過(guò)程

2.3序列的Z變換

2.3.1Z變換定義

序列x(n)的Z變換定義為(2.3.1)式(2.3.1)中的Z是復(fù)變量，簡(jiǎn)便記號(hào)是X(z)=ZT[x(n)]或。對(duì)比序列的DTFT的公式可以看出，區(qū)別只在于用復(fù)變量z替換了cosω+jsinω這個(gè)復(fù)指數(shù)(隨著ω的改變，取值遍布成復(fù)平面上的單位圓)，使得z的取值不再限制在z平面單位圓上，而擴(kuò)展成任意的。然而，式(2.3.1)是一個(gè)無(wú)窮的z冪級(jí)數(shù)，它的收斂取決于x(n)和z的復(fù)數(shù)值。對(duì)于任意給定的序列x(n)，使得式(2.3.1)收斂的所有z值的集合稱為收斂域(ROC)。如果一個(gè)x(n)找不到這樣的z取值區(qū)域，則它不存在Z變換。一般情況下，每一個(gè)x(n)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的收斂域，是z平面上的一個(gè)環(huán)形區(qū)域，內(nèi)半徑R1≥0，外半徑R2≤∞，如圖2.3.1所示，即

ROC：R1<|z|<R2

(2.3.2)

還有一種Z變換，與上面的定義不同，它是從n=0開(kāi)始構(gòu)造Z冪級(jí)數(shù)的，稱為單邊Z變換。假如被變換的序列是因果的，那么用雙邊Z變換或單邊Z變換，其結(jié)果都一樣。圖2.3.1一般序列的Z變換收斂域

【例2.3.1】

舉例說(shuō)明兩個(gè)不同序列對(duì)應(yīng)相同Z變換式的情況。

解設(shè)x(n)=anu(n)和y(n)=－anu(－n－1)，可以看到，要把級(jí)數(shù)收斂成有理分式形式，Z的范圍必須在ROC：|z|<a里。同理，X(z)的ROC是在半徑a的圓外區(qū)域，Y(z)的ROC則是圓內(nèi)區(qū)域。注意，兩者都不包含圓的邊界。2.3.2逆Z變換

從Z域的X(z)及其對(duì)應(yīng)的ROC反過(guò)來(lái)尋找原序列x(n)的過(guò)程稱為逆Z變換，簡(jiǎn)記為

x(n)=IZT[X(z)]

或

這里直接給出計(jì)算公式：(2.3.3)C為位于ROC里逆時(shí)鐘圍繞原點(diǎn)的閉合路徑。實(shí)際上求逆Z變換都不會(huì)直接用上式，一般常用方法有三種，即部分分式法、長(zhǎng)除法、留數(shù)法。表2.3.1和表2.3.2給出常用的逆z變換表供查閱，讀者也可以參考有關(guān)書(shū)籍。2.3.3Z變換的性質(zhì)與Parseval定理

與DTFT類似，Z變換的算式也是一個(gè)線性變換，因此有著類似的性質(zhì)，不過(guò)由于收斂域ROC的參與，相應(yīng)的性質(zhì)都必須考慮ROC的問(wèn)題，通常各性質(zhì)中ROC都將變小，但某些特殊情況下ROC也許會(huì)擴(kuò)大，這點(diǎn)應(yīng)該引起注意。Z變換算法的主要性質(zhì)如表2.3.3所示，供參考。

需要說(shuō)明的是，當(dāng)x(n)的Z變換X(z)的ROC包含了單位圓|z|=1時(shí)，可以直接將z=cosω+jsinω=ejω

代入X(z)中，就得到序列的DTFT，因此，也有文獻(xiàn)稱DTFT是ZT在單位圓上的變換。

現(xiàn)在推導(dǎo)Z域中的Parseval(帕塞伐爾)定理，由它可以計(jì)算出序列的能量。設(shè)有兩個(gè)序列x(n)和y(n)，則有如下關(guān)系式：(2.3.4)繞原點(diǎn)逆時(shí)針閉合圍線C取在ROC：之上，這就是Parseval定理。推導(dǎo)如下:如果說(shuō)明收斂域交集包含單位圓，令w(n)=x(n)y*(n)，就得到式(2.3.4)左邊，由復(fù)卷積定理知，兩個(gè)時(shí)域序列相乘w(n)=x(n)y*(n)，對(duì)應(yīng)是Z域的一個(gè)復(fù)卷積的過(guò)程，并取z=1，即從而得到式(2.3.4)右邊。由于ROC包含單位圓，選擇C沿單位圓逆時(shí)針一周積分，即v=ejω代入，同時(shí)選取y(n)=x(n)，則有和以及(2.3.5)(2.3.6)

2.4

Z變換的應(yīng)用

2.4.1離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

設(shè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，那么系統(tǒng)輸出端對(duì)輸入為單位樣值δ(n)的響應(yīng)，稱為離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)(或單位樣值響應(yīng))。對(duì)h(n)進(jìn)行DTFT可得到H(ejω)，一般稱之為系統(tǒng)傳輸函數(shù)或頻率響應(yīng)，它表征了離散系統(tǒng)的頻率特性。若對(duì)h(n)進(jìn)行Z變換后得到H(z)，通常稱H(z)為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了離散系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。如果系統(tǒng)用如下N階差分方程式描述：(2.4.1)對(duì)式(2.4.1)兩邊進(jìn)行Z變換，可得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的一般表示式：(2.4.2)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是h(n)絕對(duì)可和，即,意味著具備了H(ejω)，也就是說(shuō)H(z)的收斂域ROC應(yīng)包含單位圓|z|=1。此外，如果穩(wěn)定系統(tǒng)同時(shí)還是因果的，即h(n)是因果穩(wěn)定序列，那么，其變換式H(z)的收斂域ROC將是Z全平面挖除半徑小于1的圓盤(pán)后的區(qū)域，即ROC：|z|>R，0<R<1。2.4.2系統(tǒng)的零極點(diǎn)及頻率響應(yīng)特性

式(2.4.2)表明系統(tǒng)函數(shù)是兩個(gè)1/z的多項(xiàng)式之比，可以分解成因子形式，從而定義出系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，為此改寫(xiě)式(2.4.2)如下：(2.4.3)式(2.4.3)中A=b0/a0，它影響傳輸函數(shù)的幅度大小。顯然，z=cj都將使得H(z)=0，稱之為H(z)的零點(diǎn)，而z=di都將使得H(z)=∞，稱之為H(z)的極點(diǎn)。影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cj和極點(diǎn)di的分布。在頻率特性上，系統(tǒng)極點(diǎn)附近出現(xiàn)很高的峰值幅度響應(yīng)，而零點(diǎn)附近則讓系統(tǒng)幅度響應(yīng)接近最小。

【例2.4.1】

分析一階離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置和頻率響應(yīng)特性：

y(n)－py(n－1)=x(n)

解兩邊Z變換，因果系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=pnu(n)。當(dāng)0<|p|<1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的極點(diǎn)z=p在單位圓內(nèi)部，零點(diǎn)z=0位于原點(diǎn)。假設(shè)p=0.8，用MATLAB分析，程序如下：

b=[1]；%給出分子多項(xiàng)式系數(shù)，按減冪排列

a=[1,-0.8];

%給出分母多項(xiàng)式系數(shù)，按減冪排列

[z,p,A]=tf2zp(b，a)；%多項(xiàng)式之比轉(zhuǎn)換成因子形式，得到零極點(diǎn)和增益A

[H,w]=freqz(b,a);

%求出系統(tǒng)頻率特性

Ha=abs(H)；%求幅頻特性

Hb=angle(H)；%求相頻特性

[h,n]=impz(b,a,30)；%求單位脈沖響應(yīng)，30個(gè)點(diǎn)

figure(1)；

subplot(1，2，1)；%繪圖

stem(n,h);xlabel(′n′);ylabel(′h(n)′)；

subplot(1，2，2)；

zplane(b,a)；%自動(dòng)繪零極點(diǎn)圖

figure(2)；

subplot(2，1，1)；%繪幅頻特性圖

plot(w/pi,Ha);xlabel(′w/π′);ylabel(′H(w)′);

subplot(2，1，2)；%繪相頻特性圖

plot(w/pi,(Hb.*180)./pi);xlabel(′w/π′)；ylabel(′φ(w)Deg′);

系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和零極點(diǎn)圖如圖2.4.1所示。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性如圖2.4.2所示。從零極點(diǎn)圖中可見(jiàn)，當(dāng)沿單位圓使頻率ω接近0和2π，即正實(shí)軸的極點(diǎn)0.8附近時(shí)，系統(tǒng)幅度就增大。