上海市崇明區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024學(xué)年第一學(xué)期崇明區(qū)高三第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3．答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.已知集合，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，所以，故答案為?.不等式的解為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式后可求原不等式的解.【詳解】不等式的解即為，故原不等式的解為，故答案為：3.若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)實(shí)虛部分別相等可解.【詳解】解:，則所以，，，故答案為：【點(diǎn)睛】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求復(fù)數(shù)，解決的關(guān)鍵是實(shí)虛部分別相等求解；基礎(chǔ)題.4.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】35【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：5.雙曲線的漸近線方程是__________．【答案】【解析】【分析】將雙曲線方程中的1變?yōu)?后可得漸近線方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為即，故答案為：.6.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值是______．【答案】100【解析】【分析】利用基本不等式的變形，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即的最大值為.故答案為：7.已知，如果，那么實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示即可.【詳解】由題意得，則.故答案為：4.8.已知，關(guān)于的方程的解___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式分段求解即可.【詳解】等價(jià)于或，故，故答案為：9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)特征可求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.10.某校四個(gè)植樹(shù)小隊(duì)，在植樹(shù)節(jié)這天種下柏樹(shù)的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】【分析】利用平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分類(lèi)討論求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，得到，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，和均符合題意.故答案為：或.11.已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得關(guān)于的不等式，故可求其取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，所以，故，故答案為：12.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】【分析】求出所有函數(shù)的個(gè)數(shù)，再求出增函數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式可求對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則不同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個(gè)：（1）；（2）；（3）；故所求概率為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14題每題4分，15～16題每題5分）13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定義及基本函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，又是嚴(yán)格增函數(shù)，正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，且，所以不為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)?,+∞，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不具有奇偶性，嚴(yán)格增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，但為周期函數(shù)，不是定義域R上的嚴(yán)格增函數(shù)，錯(cuò)誤.故選：A14.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒(méi)有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選：B.15.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說(shuō)法正確的是（

）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含情況，得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含的情況，結(jié)合A選項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含的情況，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，寫(xiě)出事件和包含的情況，得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：D16.已知數(shù)列，若存在數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱(chēng)數(shù)列是的交錯(cuò)數(shù)列.有下列兩個(gè)命題：①對(duì)任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列；②對(duì)任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）A.①與②都真命題； B.①為真命題，②為假命題；C.①為假命題，②為真命題； D.①與②都是假命題．【答案】A【解析】【分析】對(duì)于①：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為一次函數(shù)形式分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式為指數(shù)型，并舉例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)閿?shù)列、均為等差數(shù)列，設(shè)，則，若，可知當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿足交錯(cuò)數(shù)列；若，可知的符號(hào)不變，不滿足交錯(cuò)數(shù)列；若，可知當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿足交錯(cuò)數(shù)列；綜上所述：對(duì)任意等差數(shù)列、，均不是的交錯(cuò)數(shù)列，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，等比數(shù)列的公比為不妨假設(shè)，，此時(shí)等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯(cuò)數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，同理若，，此時(shí)等比數(shù)列的公比為當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；滿足是的交錯(cuò)數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，綜上所述：對(duì)任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列，故②正確；故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，根據(jù)數(shù)列的特性，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)分析求解是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在直三棱柱中，E、F分別為、的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可得四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）利用相等可得答案.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，則，，又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以，，，所以，，所以為等腰三角形，則，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.18.在中，已知點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，.（1）若，且，求AD的長(zhǎng)；（2）若，，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合角的關(guān)系，利用二倍角的正切公式列式求解即可.（2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，，又，所以即，解?【小問(wèn)2詳解】在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得.19.王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試（滿分100分）成績(jī)分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)將記作第一組，、、、分別記作第二、三、四、五組．已知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)此次考試成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）王老師將測(cè)試成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的試卷進(jìn)行分析，再?gòu)闹羞x2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在內(nèi)的概率；（3）已知第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此計(jì)算第二組和第四組所有學(xué)生成績(jī)的方差．【答案】（1）745（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，根據(jù)組中值可求平均數(shù)；（2）根據(jù)對(duì)立事件可求2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在內(nèi)的概率；（3）根據(jù)分層方差和總體方差的關(guān)系式可求第二組和第四組所有學(xué)生成績(jī)的方差.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得所以平均數(shù)等于【小問(wèn)2詳解】由題意，內(nèi)有8人，內(nèi)有2人，所以被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在內(nèi)的概率為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，由題意，第二組、第四組分別有10人和8人，所以成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的平均數(shù)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組方差是.20.已知橢圓，點(diǎn)、分別是橢圓的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．（1）若直線平行于軸，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)A在y軸左側(cè)，且，求直線l的方程；（3）已知橢圓上的點(diǎn)C滿足，是否存在直線l使得的重心在x軸上？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）3（2）或（3）存在，或或【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓方程求出直線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)后可求；（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得直線方程；（3）就斜率是否存在分類(lèi)討論，若斜率存在，則聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合中心在軸上求出的縱坐標(biāo)，再根據(jù)求出的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程可求斜率.【小問(wèn)1詳解】由題意，、，所以直線的方程是，代入中，得，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則所以，又，所以所以點(diǎn)坐標(biāo)是或，所以直線的方程是或.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入中，得，此時(shí)，設(shè)、、，則，所以中點(diǎn).又的重心在軸上，所以，即，故，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得或當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)、恰為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，滿足題意．綜上所述，存在直線l使得的重心在軸上，其方程為：或或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的直線的存在性問(wèn)題，可直線滿足的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值.21.定義：若曲線和曲線有公共點(diǎn)P，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線在點(diǎn)P處的切線重合，則稱(chēng)與在點(diǎn)P處“一線切”.（1）已知圓與曲線在點(diǎn)處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，，若曲線與曲線在點(diǎn)P處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值；（3）定義在上的函數(shù)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的，都有成立.是否存在點(diǎn)使得曲線和曲線在點(diǎn)處“一線切”？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在點(diǎn)滿足條件，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)圓心到切線的距離為半徑可求的值；（2）設(shè)出公切點(diǎn)，則可得關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)與的方程組，解方程組可求得的值；（3）假設(shè)存