2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合A=xx=2n+1,n∈NA．xB．xC．xD．?2．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z1=2+ai,z2=1?iA．-2 B．2 C．0 D．13．不等式x+1x?1A．1<x<2B．1<x<3C．x<3D．x<24．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)一百零八座，則該塔共有A．八層B．十層C．十一層D．十二層5．已知某圓錐的母線長為2，記其側(cè)面積為S，體積為V，則當(dāng)VSA．2B．3C．1D．36．已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π），將fx圖象上所有點(diǎn)向右平移π6ω個(gè)單位長度得到函數(shù)gx的圖象，若A．2B．1C．2D．37．已知圓的圓心為1,?2，且直線3x?4y+14=0與圓相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．x?1B．x?1C．x+1D．x+18．如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)切球?yàn)榍騉，E，F(xiàn)分別是棱ADA．對于任意點(diǎn)G，OD//平面B．直線EF被球O截得的弦長為3C．過直線EF的平面截球O所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為πD．當(dāng)G為AB的中點(diǎn)時(shí)，過E，F(xiàn)，G的平面截該正方體所得截面的面積為2二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列通項(xiàng)公式中，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是A．a(chǎn)n=1+n C．a(chǎn)n=110．已知a>0，b>0.若4a+b=1，則A．14aB．1aC．4a+1b+1的最大值為D．a(chǎn)+1b+1的最大值為11．已知△ABC內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c，則下列說法正確的是A．若sinA>sinB．若acosB=bcosC．若a2+bD．若a=1.5,b=2,A=30第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．若函數(shù)gx=x?1,x>0fx,x<0是奇函數(shù)，則13．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的正視圖的面積是，體積是．14．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于點(diǎn)Mx1,y1，Nx四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)fx（1）函數(shù)fx取得最大值或最小值時(shí)的x組成集合A，將集合A中x∈0,+∞的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為an（2）令bn=π2an?16．某學(xué)習(xí)小組在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．cos2cos2cos2（1）求出這個(gè)常數(shù)；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式，并證明你的結(jié)論．17．在如圖所示的五面體中，四邊形ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC=π2，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2CD=4AB=4，△ADE(1)證明：EF//平面ABCD；(2)證明：BE⊥平面ACF．18．已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的方程；(2)過點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的直線l1,l2，直線l1交雙曲線E于A,B兩點(diǎn)，直線l2交雙曲線E于19．已知函數(shù)fx(1)求fx在x=0(2)當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥1?x?sin(3)證明：當(dāng)a<12時(shí)，fx高三數(shù)學(xué)答案及解析1234567891011CAADACACABDBCABD1．【詳解】設(shè)集合C=xx=4n+3=22n+1+1,n∈N，B=xx=4n+1=22．【詳解】z1z2=2+ai1?i=3.【詳解】不等式x+1x?1>2化為2x?1?x+1x?1<0，即x?3x?1<0,∴x?1x?34．【詳解】設(shè)該塔共有n+4層，則5n+n(n?1)即(n+12)?(n?8)=0，解得n=8或n=?12（舍），即該塔共有n+4=8+4=12層.5．【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，則l=2，?=V=13于是V（當(dāng)且僅當(dāng)r=4?r2此時(shí)l=2，r=2，由線面角的定義得，所求的母線與底面所成角的正弦值為26．【詳解】依題意，gx所以φ?π由于0<φ<π，所以φ=fxx∈0,由于fx在0,所以π6ω+π6≤7．【詳解】因?yàn)橹本€3x?4y+14=0與圓相切，設(shè)圓的半徑為r，則r=3×1?4×所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?128．【詳解】對于A，根據(jù)已知條件圓O為以O(shè)為圓心，半徑R=1的圓；G在棱AB上移動(dòng)，當(dāng)G與點(diǎn)A重合時(shí)，平面EFG即為平面EFA，因?yàn)镈在直線AE上，所以D?平面EFG，所以O(shè)D與平面EFG相交，A錯(cuò)誤；對于B，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則O1,1,1、E1,0,0、F2,2,1則OE=02+?1設(shè)直線OE與直線EF夾角為θ，則cosθ=由此可知sinθ=1?322=12，連結(jié)則在Rt△OEM中，有OMOE=設(shè)直線EF被球O截得的弦長為l，則l=2R對于C，過直線EF的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時(shí)，有OM垂直于過EF的平面，此時(shí)圓的半徑為r=l2=對于D，根據(jù)題意當(dāng)G為AB的中點(diǎn)時(shí)，過E，F(xiàn)，G的平面截該正方體所得截面為正六邊形EGFHNP，∠EAG=90°，在Rt△EAG中，AG=AE=1，所以邊長EG=所以截面面積為S19．【詳解】對于A，由于an+1?a對于B，由于an+1?a對于C，由于a1=14,對于D，由于a1當(dāng)n>2時(shí)，a3=4，an+1又a1<a10．【詳解】A.14a+1b=14a+1b4a+bB.1a+1b=1a+1b4a+bC.4a+1b+1≤4a+1+b+1D.a+1b+1=144a+4b+1≤1411.【詳解】對于A，因?yàn)閟inA>sinBab=sinAsin對于B，由余弦定理得a×a化簡得a=b，故△ABC為等腰三角形，故B正確；對于C，由余弦定理cosC=因?yàn)閍2+b2>c2對于D，若a=1.5,b=2,A=30°，則由正弦定理得因?yàn)锽∈(0,π12．x+1【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，∴g?x又g?x=?gx，即?g∴當(dāng)x<0時(shí)，fx13．1；2【詳解】由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示：該幾何體為直三棱柱，正視圖為等腰直角三角形，且斜邊長上的高為1，斜邊長為2，故該“塹堵”的正視圖的面積是12×2×1=1，體積為14．±【詳解】設(shè)直線MN的斜率為k，則直線MN:y=kx?1；聯(lián)立y=kx?1,y2=4x,，消去y得，k2x2?2k2+2x+k2=0故S△MPF=12x15．（1）f(x)=2[32sin當(dāng)x=2kπ+π2，k∈Z時(shí)，f(x)max=2，當(dāng)x=2kπ?∴A={x|x=kπ+π2,k∈Z}（2）由（1）bn?Tn=2(1?16．（1）cos=2=1+cos30°?3（2）推廣：當(dāng)α+β=30°時(shí)，cos2證明：∵α+β=30°，∴β=30°?α，cos====717．（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，所以AB//CD，又AB?平面CDEF，CD?平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又AB?平面BAEF，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB//EF，又AB?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF//平面ABCD.（2）取AD的中點(diǎn)N，連接NB,NE,AF,BE，依題意易知NE⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，所以NE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以NE⊥AC，又AN=AB=1，AD=DC=2，所以∠ANB=∠NAC=π所以AC⊥BN，又NE∩NB=N，所以AC⊥平面BNE，又BE?平面BNE，所以AC⊥BE，因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADE，AB⊥AE，由（1）有：EF//AB，所以EF⊥AE，在Rt△AEF和Rt△ABE中，tan∠AEB=又∠AEB+∠BFE=π2，所以∠AFE+∠BFE=π因?yàn)锳F∩AC=A，AF,AC?平面ACF，所以BE⊥平面ACF.18．（1）由題意知c=25a2?23b2=1（2）直線l1的方程為y=k1由x23?所以x1所以x0=x所以M?6k因?yàn)閘1⊥l2，所以當(dāng)k≠1且k≠?1時(shí)，kMN所以直線MN的方程為y+2y+2y=?2y=?2y=?2所以y=?2所以直線MN過定點(diǎn)3,0；當(dāng)k=1或k=?1時(shí)，直線MN的方程為x=3，所以直線MN過定點(diǎn)3,0．綜上，直線MN過定點(diǎn)3,0．19.（1）∵f∴f(0)=1，且f'(x)=ex?2ax?cosx，則（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1?x?sinx，即ex?ax2+x?1≥0,當(dāng)x=0時(shí)，ex?a則g'因?yàn)閤>0，所以e當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)>0,，g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，g'(