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2025屆上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)2.在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類(lèi)別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè),這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.83.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.的展開(kāi)式中有理項(xiàng)有()A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng)5.若單位向量,夾角為,,且,則實(shí)數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-16.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.7.我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶(1202-1261)在《數(shù)書(shū)九章》(1247)一書(shū)中提出“三斜求積術(shù)”,即:以少?gòu)V求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí);一為從隅,開(kāi)平方得積.其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng),,求三角形面積,即.若的面積,,,則等于()A. B. C.或 D.或8.已知,,分別是三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊,,則()A. B. C. D.9.已知空間兩不同直線(xiàn)、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于10.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.11.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③12.已知雙曲線(xiàn)()的漸近線(xiàn)方程為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2,則14.二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)____,含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.15.過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為,,則的最小值是______.16.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(為常數(shù))(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知圓M:及定點(diǎn),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B在上,點(diǎn)G在上,且滿(mǎn)足,,點(diǎn)G的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),與直線(xiàn)和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.19.(12分)已知x∈R,設(shè),,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時(shí)x的取值范圍;(2)設(shè)△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.20.(12分)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn),的交點(diǎn)分別為、(、異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的最小值.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿(mǎn)足不等式,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo),請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線(xiàn)方程分析,2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸,問(wèn)是否能夠滿(mǎn)足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.2、B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個(gè),所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.4、B【解析】
由二項(xiàng)展開(kāi)式定理求出通項(xiàng),求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時(shí),為有理項(xiàng),共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的特征,熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用向量模的運(yùn)算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算,求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
將,,,代入,解得,再分類(lèi)討論,利用余弦弦定理求,再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知,,,代入,得,即,解得,當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史的理解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
原式由正弦定理化簡(jiǎn)得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因?yàn)椋源肷鲜交?jiǎn)得.由于,所以.又,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.9、C【解析】因答案A中的直線(xiàn)可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線(xiàn)也成立,故不正確;答案C中的直線(xiàn)可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線(xiàn)也有可能垂直于直線(xiàn),故不正確.應(yīng)選答案C.10、C【解析】
對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時(shí)有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然當(dāng)時(shí)有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí),∴,,,…,均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴,,∴對(duì)應(yīng)極值,,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題11、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.一般地,經(jīng)過(guò)恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.12、A【解析】
根據(jù)雙曲線(xiàn)方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線(xiàn)方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)(),所以,又因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14、【解析】
將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng),令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為,令,解得,因此,展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
由切線(xiàn)的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線(xiàn)的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因?yàn)榱?,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在以直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.16、【解析】
計(jì)算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),由題意知,為增函數(shù)等價(jià)于在區(qū)間恒成立,利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,令,得,或,所以,隨的變化情況如下表:遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.(Ⅱ)由題意得在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立.,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意得到GB是線(xiàn)段的中垂線(xiàn),從而為定值,根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,即可求出曲線(xiàn)C的方程;(2)聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且是線(xiàn)段的中垂線(xiàn),,又,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓方程為(),則,,,所以曲線(xiàn)C的方程為.(2)設(shè)直線(xiàn)l:(),由消去y,可得.因?yàn)橹本€(xiàn)l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,.①又由可得;同理可得.由原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為和,可得.②將①代入②得,當(dāng)時(shí),,綜上,面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交問(wèn)題,軌跡通過(guò)已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡,直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可,屬于一般性題目.19、(1);(2)【解析】
(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時(shí),,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因?yàn)椋?,所以?在中,由余弦定理,得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的面積,因此的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.20、(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.(2)解法1:設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程,求得,再把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:設(shè)直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,分別代入曲線(xiàn),的極坐標(biāo)方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,即,則曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,即,又因?yàn)榍€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,即,根據(jù),代入即可求解曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1:設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,則直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),),把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,,,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.解法2:設(shè)直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為),代入曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,得,,把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程得:,,即,,曲線(xiàn)的參,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小
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