2025屆高中數(shù)學二輪復習 微專題10　導數(shù)與三角函數(shù)問題（課件）

板塊一函數(shù)與導數(shù)微專題10導數(shù)與三角函數(shù)問題高考定位導數(shù)與三角函數(shù)的交匯問題是高考命題的熱點問題，一般以解答題的形式出現(xiàn)，由于三角函數(shù)無論怎么求導仍是三角函數(shù)，所以此類問題難度較大.【

難點突破

】高考真題(2)若f(x)＋sinx<0，求a的取值范圍.樣題1樣題2當a>1時，h′(x)>0，g′(x)單調(diào)遞增，且g′(0)＝1－a<0，g′(1)＝e＋sin1>0，所以存在x0∈(0，1)使得g′(x0)＝0，當x∈(0，x0)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x∈(x0，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)<g(0)＝0，不合題意；當a＝1時，h′(x)>0，g′(x)單調(diào)遞增，且g′(0)＝0，當x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)>g(0)＝0，符合題意；

樣題3(2)若對任意x∈[0，＋∞)，不等式g(x)≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.g(x)＝sinx－xcosx－ax3，則g′(x)＝x(sinx－3ax)，令h(x)＝sinx－3ax，x∈[0，＋∞)，則h′(x)＝cosx－3a，導數(shù)與三角函數(shù)問題的解法(1)利用三角函數(shù)的有界性：在含參數(shù)的問題中，往往需要分類討論，若能有效地利用三角函數(shù)的有界性，則能快速找到分類討論的依據(jù)，從而實現(xiàn)問題的求解.(2)利用三角函數(shù)的周期性：涉及零點問題時，可根據(jù)三角函數(shù)的周期性分段來研究.規(guī)律方法已知f(x)＝axlnx＋x2，若0<a≤1，求證：f(x)<ex－sinx＋1.訓練不等式f(x)<ex－sinx＋1，即axlnx＋x2<ex－sinx＋1(x>0)，先證當x>0時，sinx<x.令h(x)＝x－sinx，則h′(x)＝1－cosx≥0，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)＝0，則x>sinx.所以ex－x＋1<ex－sinx＋1，故若axlnx＋x2<ex－x＋1成立，則原不等式成立.【精準強化練】1.(2024·大連模擬)已知f(x)＝sin2x＋2cosx.(1)求f(x)在x＝0處的切線方程；由于f(x)＝sin2x＋2cosx，f′(x)＝2cos2x－2sinx，得f′(0)＝2，f(0)＝2，所以f(x)在x＝0處的切線方程為y－2＝2(x－0)，即y＝2x＋2.(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.由于f′(x)＝2cos2x－2sinx，得f′(x)＝2(1－2sin2

x)－2sinx＝－2(2sin2x＋sinx－1)，若f′(x)≤0，則－2(2sin2

x＋sinx－1)≤0，即－2(2sinx－1)(sinx＋1)≤0，由于－1≤sinx≤1，則sinx＋1≥0，

2.已知函數(shù)f(x)＝exsinx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

由已知f(0)＝0，∵f′(x)＝exsinx＋excosx－1，∴f′(0)＝0，∴y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝0.法一設m(x)＝ex－2x(x>0)，則m′(x)＝ex－2，令m′(x)＝ex－2＝0可得x＝ln2.當x∈(0，ln2)時，m′(x)<0，函數(shù)m(x)單調(diào)遞減；當x∈(ln2，＋∞)時，m′(x)>0，函數(shù)m(x)單調(diào)遞增.∴m(x)≥m(ln2)＝2－2ln2>0.∴ex>2x(x>0).法二令g(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，3.(2024·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，x∈[－π，π].(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與最值；法一設F(x)＝xsinx＋cosx－a(x2＋1)，x∈[0，π]，則F′(x)＝xcosx－2ax＝x(cosx－2a)，顯然當a≤1時，取x0＝0，有f(0)＝1≥a(02＋1)＝a，滿足題意；當a>1時，F(xiàn)′(x)≤0，F(xiàn)(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)max＝F(0)＝1－a<0，不滿足題意.綜上，a的取值范圍為(－∞，1].設h(x)＝(x2－1)cosx－2xsinx，x∈[0，π]，則h′(x)＝－(x2＋1)sinx≤0，所以h(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，當x∈[0，π]時，h(x)≤h(0)＝－1<0，g′(x)<0.所以g(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，當x∈[0，π]時，g(x)max＝g(0)＝1，所以a≤1.綜上，a的取值范圍為(－∞，1].設h(x)＝x2＋1－(xsinx＋cosx)，x∈[0，π]，則h′(x)＝2x－xcosx＝x(2－cosx)≥0，則h(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，即x2＋1≥xsinx＋cosx.(2)若n＝1，判斷f(x)零點個數(shù)，并說明理由；n＝1時，f(x)＝x3－xcosx，令f(x)＝x3－xcosx＝0，所以x＝0或x2＝cosx.令g(x)＝x2－cosx，所以g′(x)＝2x＋sinx，因為g(－x)＝x2－cosx＝g(x)，所以g(x)是偶函數(shù).不妨研究x≥0時g(x)單調(diào)性.當x∈[0，π]時，g′(x)＝2x＋sinx≥0，所以g(x)單調(diào)遞增，因為