電路分析基礎(chǔ)第2版課件：電路方程的矩陣形式

電路方程的矩陣形式目錄CATALOG(

)13.1割集13.2關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣13.3回路電流方程的矩陣形式13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式13.5割集電壓方程的矩陣形式13.6狀態(tài)方程13.7應(yīng)用案例——計算機輔助電路分析

(

，★)(

，★)(

)復(fù)雜電路-計算機求解-宜用矩陣形式知

識

圖

譜13.1割集割集定義

割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：

1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個端點)，將圖

分成兩個分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}注意：1.同一割集中每一條支路只能被切割一次。割集的確定123

654n-1基本割集只含有一個樹枝及相應(yīng)連支的割集。割集數(shù)＝n-1Q1、Q2、Q3的支路集合為{1，2，4}、{1，2，3，5}、{2，3，6}。2.屬于同一個割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當一個

割集的所有支路都連接在同一個節(jié)點上，則割集的KCL

方程變?yōu)楣?jié)點上的KCL方程。思考與練習(xí)1.割集必須滿足的條件是什么？

2.如何選擇基本割集？3.割集和節(jié)點的關(guān)系是什么？

4.屬于同一割集的所有支路的電流是否滿足KCL？

13.2關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣和回路矩陣圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：圖的矩陣表示：節(jié)點支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣ajk=

1有向支路k

背離

j節(jié)點。

-1有向支路k指向

j節(jié)點。

0有向支路k

與j

節(jié)點無關(guān)。1.關(guān)聯(lián)矩陣：Aa={ajk}n

b節(jié)點數(shù)支路數(shù)Aa=1234

1234567

支路節(jié)點

111

0

000

0

0

-11100

0000

-1-11

-1

-1

0-1

01-1設(shè)④為參考節(jié)點，劃去第4行。

稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣

(n-1)

b

，表征獨立節(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。也稱關(guān)聯(lián)矩陣。各行不獨立。

關(guān)聯(lián)矩陣1234567①②③④A=123

1234567

支路節(jié)點

111

0

000

0

0

-11100

0000

-1-11(1)KCL的矩陣形式以節(jié)點④為參考節(jié)點n-1個獨立方程矩陣形式的KCL：Aib

=0用關(guān)聯(lián)矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式1234567①②③④(2)KVL的矩陣形式=úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu矩陣形式1234567①②③④1支路k與割集j方向一致。-1支路k與割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定：(1)割集方向與樹支方向相同。Qf={qjk}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)選2、3、6為樹支，連支為1、4、5、7。Q1Q2Q3Qf

=2361457支路割集1001110

0100-1

-10=[1

Ql]

0010

0

1-1QtQlQ1:{1,2,4,5}Q2:{3,4,5}Q3:{5,6,7}基本割集矩陣1234567Q2Q1Q3Q1Q2Q3Q=1234567支路割集1101100

001-1-1

00

000011-1矩陣形式的KCL：矩陣形式的KCL：Qib

=0

(1)KCL的矩陣形式取(2，3，6)為樹，1234567Q2Q1Q3用割集矩陣Q描述的基爾霍夫定律的矩陣形式電路中的(n-1)個樹支電壓可用(n-1)階列向量表示，即(2)KVL的矩陣形式1234567Q2Q1Q3選2、3、6為樹支，連支為1、4、5、7。=[1

Bt]Bf={bjk}l

b基本回路數(shù)支路數(shù)1支路k與回路j關(guān)聯(lián)，方向一致。-1支路k

與回路j關(guān)聯(lián)，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=基本回路矩陣1234567l3

l4l2l11234B=1234567支路回路1-100000

0-111000

0-1101-10

00000111234Bf

=1457236支路回路1000-100

01

0

0

-1

10

0010-1

1-1

0001001BlBt(1)KCL的矩陣形式獨立回路電流矩陣形式的KCL：ib=BTil1234567l3

l4l2l1用回路矩陣B描述的基爾霍夫定律的矩陣形式l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：Bub=0(2)KVL的矩陣形式1234567l3

l4l2l1QQi=0QTut=u

小結(jié)：

ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=01．如何借助樹和割集建立一組獨立的KCL方程？答：先確定一個樹，然后確定一組單連支回路，對所有的單連支

回路列KVL方程，就獲得一組獨立的KVL方程。答：先確定一個樹，然后確定一組單樹枝割集，對所有的單樹枝

割集列KCL方程，就獲得一組獨立的KCL方程。2.如何借助樹列寫一組獨立的KVL方程？13-1電路的有向圖如圖所示，(1)節(jié)點⑤為參考寫出其關(guān)聯(lián)矩陣A，(2)以實線為樹枝，虛線為連支，寫出其單連支回路矩陣Bf(3)寫出單樹支割集矩陣Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以節(jié)點⑤為參考節(jié)點，其余4個節(jié)點為獨立節(jié)點的關(guān)聯(lián)矩陣A為應(yīng)用舉例

(2)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單連支回路矩陣Bf為⑤123456789①②③④(3)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單樹支割集

矩陣Qf為⑤123456789①②③④1.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，關(guān)聯(lián)矩陣反映了什么關(guān)聯(lián)性質(zhì)？2.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，回路矩陣反映了什么關(guān)聯(lián)性質(zhì)？

檢驗學(xué)習(xí)結(jié)果3.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，割集矩陣反映了什么關(guān)聯(lián)性質(zhì)？

4.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，用矩陣A、Qf、Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式分別是什么？13.3

回路電流方程的矩陣形式第k條支路(不允許無伴電流源支路)

獨立電流源，其參考方向和支路方向相反。支路電壓、支路電流，取關(guān)聯(lián)參考方向。復(fù)合支路

Zk

獨立電壓源，其參考方向和支路方向相反。

單一元件阻抗(Rk、jωLk、jωCk)。

阻抗上電壓、電流的參考方向與支路方向相同。1?1.無互感、無受控源：

按定義寫開

Zk

支路方程的矩陣形式Z：支路阻抗矩陣=diag[Z1，Z2，...Zb]2.有互感、無受控源：

設(shè)k-j支路有耦合關(guān)系，把有耦合的支路編序在一起

（設(shè)兩個電流都為流入同名端）：仍可統(tǒng)一寫為：Z：對角線上仍為支路阻抗、

非對角線元素為相應(yīng)支路間的ZM。互阻抗前的“±”，電流流入同名端的對應(yīng)取“＋”，反之取“－”。

13.3

回路電流方程的矩陣形式列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：(1)畫有向圖，給支路編號，選樹。(2)寫出支路阻抗矩陣Z(s)和回路矩陣B。按標準復(fù)合支路的規(guī)定寫出支路電壓列向量(4)寫出矩陣形式回路電流方程的復(fù)頻域表達式或(3)求出回路阻抗矩陣。3.含受控源而

Z：支路阻抗矩陣不再是對角陣。非對角線上的元素是與受控電壓源的控制系數(shù)有關(guān)的元素。因支路方程的右端加上受控電壓源，故支路阻抗陣變?yōu)椋?/p>

Zk

kj取回路電流（連支電流）為未知變量?；芈贩匠叹仃囆问?/p>

支路電壓與支路電流的關(guān)系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩陣方程（回路電壓源列相量）Zl（回路阻抗陣）回路電流方程的矩陣形式13-2列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的復(fù)頻域表達式。例：解：12435

(1)畫出有向圖，給支路編號，選樹(1,4)。(2)

應(yīng)用舉例

R1C2L3L5uS4uS5**M++--(3)

計算Z(s)UlS(s)。矩陣形式回路電流方程的復(fù)頻域表達式為R1C2L3L5uS4uS5**M++--12435思考回答

1.什么是復(fù)合支路？

2.矩陣形式回路電流方程的列寫中，若電路中含有無伴電流源，將會有何問題？13.4

節(jié)點電壓方程的矩陣形式KCLAi=0KVLu=Atun元件特性方程VCR

列方程依據(jù)—

元件電流—

支路電流—

受控電流—

支路的復(fù)導(dǎo)納(阻抗)

—

支路電壓—

獨立電壓源—

獨立電流源按復(fù)合支路的規(guī)定，電路中不允許有受控電壓源，也不允許存在“純電壓源支路”。復(fù)合支路規(guī)定了一條支路可以最多包含的元件數(shù)，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。復(fù)合支路Zk

(Yk)+-+-規(guī)定每個支路必須有一個阻抗KCL支路方程：節(jié)點電壓方程的矩陣形式

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS

Yn

.Un

.

=Jn

節(jié)點導(dǎo)納矩陣獨立電源引起的流入節(jié)點的電流列向量

AY

.U

.-AIS=0

.+AYUS13-3列出圖示電路的節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向圖，選參考節(jié)點；(2)寫關(guān)聯(lián)矩陣A、獨立電源列相量和支路導(dǎo)納矩陣；應(yīng)用舉例

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AISjωL11jωL21R31R41R51jωC6Y=diag[,,,,,]

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jωL11-jωL11-R41-jωL11jωL11+jωL21+jωC6-jωL21-R41-jωL21R41+R51+jωL21L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①1.畫有向圖，給支路和節(jié)點編號，選出參考節(jié)點。2.寫出關(guān)聯(lián)矩陣A3.寫支路導(dǎo)納矩陣Y5.寫出矩陣形式節(jié)點電壓方程的表達式4.寫列向量小結(jié)列寫節(jié)點電壓方程矩陣形式的步驟如下：

Yn

.Un

.

=Jn

1.節(jié)點電壓方程的矩陣形式的一般步驟是什么？

2.矩陣形式節(jié)點電壓方程的列寫中，若電路中含有無伴（無串聯(lián)電阻）電壓源，將會有何問題？想想練練？13.5

割集電壓方程的矩陣形式取割集(樹支)電壓為未知變量。割集方程矩陣形式

Yt割集導(dǎo)納陣元件特性：

-

-標準支路

Yt

.Ut

.

=Jt

割集電壓法是節(jié)點電壓法的推廣。元件特性方程VCR

規(guī)定每個支路必須有一個阻抗例：應(yīng)用舉例

13-4以運算形式寫出如圖所示電路的割集電壓方程的矩陣形式。設(shè)L3、L4、C5的初始條件為零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)選1、2、3為樹支，3個單樹支割集如虛線所示，樹支電壓Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集電壓，它們的方向也是割集的方向。基本割集矩陣Qf

為:iS2R2R1L4L3C5iS1解：f電壓源和電流源列向量分別為（運算法）：支路導(dǎo)納矩陣為：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS131245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1則割集電壓方程的矩陣形式為：應(yīng)用舉例

例：解：13-5按給出的有向圖和樹(實線)，列寫圖示電路的割集電壓方程。gmu2iS1R1R2u2+-C2L3R5L6124356選3、4、6為樹支，3個樹支電壓Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集電壓，它們的方向也是割集的方向。電路中沒有獨立電壓源，為0向量。電壓源和電流源列向量分別為：gmu2iS1R1R4u2+-C2L3R5L6124356gmu2iS1R1R2u2+-C2L3R5L6124356則割集電壓方程的矩陣形式為：由此可得：(1)兩個割集互導(dǎo)中的公共支路若同時與兩個割集同(或反)方向，該支路電導(dǎo)取正號，反之取負號。

因為每一樹支只能出現(xiàn)在本割集中，所以割集互導(dǎo)不可能包含樹支，全部由連支構(gòu)成。任一連支若是某兩單樹支割集的共有支路，則該兩樹支必包含在這個連支的單連支回路中，則：當沿著樹繞行，兩個樹支方向相同時其割集互導(dǎo)為正，反之為負。

(2)當電壓源正極性對著該割集方向時取正號，反之取負號。檢驗學(xué)習(xí)結(jié)果

1.列寫割集電壓方程的矩陣形式的步驟是什么？2.節(jié)點電壓方程和割集電壓方程有何區(qū)別和聯(lián)系？13.6狀態(tài)方程——分析動態(tài)電路的另一種方法狀態(tài)變量和狀態(tài)方程原因1：方程列寫上的需要usR1CL1L2R2is-+uCiL2iL1iR+-iC原因2：容易描述多輸入多輸出系統(tǒng)13.6狀態(tài)方程——分析動態(tài)電路的另一種方法1.狀態(tài)變量：描述電路的一組最少數(shù)目獨立變量，如果某一時刻這組變量已知，且自此時刻以后電路的輸入(激勵)已知，則可以確定此時刻以后任何時刻電路的響應(yīng)。狀態(tài)變量和狀態(tài)方程稱這一組最少數(shù)目的變量為狀態(tài)變量。[y(t)]t

t0確定[x(t0)][e(t)]

t

t0

已知輸出變量:uL,iC,uR,iR。選uC，

iL

為

狀態(tài)變量。解：由uL(0+)=7ViC(0+)=-1.5AiR(0+)=1.5AuR(0+)=3V例

RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

RuLCe(t)+-3ViLiCuR+-+-+-LiR2

推廣至任一時刻t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-

uC(t1)/R

iR(t1)=uC(t1)/R

可由

可見當t=t1時uC

，

iL

和t

t1后的輸入e(t)為已知，就可以確定t1及t1以后任何時刻系統(tǒng)的響應(yīng)。問題：如何求出t1時刻的狀態(tài)變量。2.狀態(tài)方程求解狀態(tài)變量的方程。設(shè)選uC

,iL

為狀態(tài)變量列微分方程改寫為稱為狀態(tài)方程。RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

用狀態(tài)變量和激勵所描述的電路的一階微分方程組。矩陣形式狀態(tài)方程的特點：（1）是一階微分方程組；（2）左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；（3）右端僅含狀態(tài)變量和輸入量。[x]=[x1

x2

xn]T式中：

一般形式：

\n

n\n

mn1m13.輸出方程特點：(1)代數(shù)方程；

(2)用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量。一般形式：uL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/R

iR(t)=uC(t)/R

電路中的輸出量可由狀態(tài)變量和激勵表示RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2

[y]=[C][x]+[D][v]

RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR選uC,iL為狀態(tài)變量，列微分方程。整理得：狀態(tài)方程1.直觀法13-6電路圖如圖所示，選uC，iL為狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程。解：例：應(yīng)用舉例狀態(tài)方程的列寫矩陣形式：(4)把狀態(tài)方程整理成標準形式。對于簡單的網(wǎng)絡(luò)，用直觀法比較容易，列寫狀態(tài)方程的步驟為：(1)選擇獨立的uC和iL作為狀態(tài)變量；(2)對只接有一個電容的節(jié)點列寫KCL方程；

對只包含一個電感的回路列KVL方程；(3)列寫其他必要的方程，消去方程中的非狀態(tài)變量；直觀編寫法的缺點：1)編寫方程不系統(tǒng)，不利于計算機計算。

2)對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的非狀態(tài)變量的消除很麻煩。RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2.拓撲法

在樹支中

在連支中(3)對包含電容的單樹支割集列寫KCL方程；(4)對包含電感的單連支回路列寫KVL方程；(1)線性電路以iL，uC為狀態(tài)變量。(2)每個元件抽象為一條支路，選一個樹使

基本思想CRtuS+-RlLiS常態(tài)樹（特有樹）(5)列寫其他必要的方程，消去非狀態(tài)變量；(6)整理并寫出矩陣形式。13-7列寫如下圖所示電路的狀態(tài)方程。解：例：+_1F+_+__uSiSuiLiC1

1

對圖示的兩個樹支，按基本割集列寫KCL方程對圖示的兩個連支，按基本回路列KVL方程應(yīng)用舉例

整理得：矩陣形式狀態(tài)方程為：檢驗學(xué)習(xí)結(jié)果

1.狀態(tài)方程系統(tǒng)列寫法的步驟是什么？

2.如何選取特有樹？13.7應(yīng)用案例——計算機輔助電路分析

電路的矩陣表示

用計算機程序分析電路時，應(yīng)根據(jù)電路圖寫出這些電路數(shù)據(jù)，在程序運行時，從鍵盤將這些數(shù)據(jù)輸入計算機，或者將這些數(shù)據(jù)先存入到某個數(shù)據(jù)文件(例如D.DAT)中，讓計算機從這個文件中自動讀入這些數(shù)據(jù)。13-11用DCAP程序?qū)D13-21所示電路進行分析。-----電壓，電流和功率-----節(jié)點電壓V1=8.000V2=1.000V3=3.000各支路吸收功率之和P=.0000解：例：應(yīng)用舉例

運行DCAP程序，讀入圖(b)所示電路數(shù)據(jù)，選擇菜單中的功能代碼2，可得到各節(jié)點電壓，各支路電壓、電流和吸收功率：小結(jié)：看看記記一、割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個端點)

，將圖分成兩個分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。

3.這種由一條樹支及相應(yīng)的連支構(gòu)成的割集稱為單樹支割集或基本割集。

對于一個具有n個節(jié)點，b條支路的連通圖G，獨立割集的數(shù)目等于樹支

數(shù)，為(n－1)。123

654二、關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣ajk=

1有向支路k

背離

j節(jié)點。

-1有向支路k指向

j節(jié)點。

0有向支路k

與j

節(jié)點無關(guān)。1.關(guān)聯(lián)矩陣：Aa={ajk}n

b節(jié)點數(shù)支路數(shù)643521①②④③Aa=1234

123456

支節(jié)

100

-101

-1

-11000

0100

-1-1

00

-11

10設(shè)④為參考節(jié)點，劃去第4行。

-1-11000A=123

123456

支節(jié)

100-101

0100

-1-1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣

(n-1)

b

，表征獨立節(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。也稱關(guān)聯(lián)矩陣。各行不獨立。

1支路k與割集j方向一致。-1支路k與割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定：(1)割集方向與樹支方向相同。2.基本割集矩陣：Qf={qjk}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。Q1Q2Q3Qf

=456123支路割集100-1-10

01011

-1=[1

Ql]

0010

-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6543.基本回路矩陣：選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。B1B2B3Bf

=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101

-1BlBt123

654l3l2l1Bf

={bjk}l

b基本回路數(shù)支路數(shù)1支路k與回路j關(guān)聯(lián)，方向一致。-1支路k

與回路j關(guān)聯(lián)，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=B1:{1,4,5}B2:{2,4,5,6}B3:{3,5,6}QQi=0QTut=u

小結(jié)：

ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=01．如何借助樹和割集建立一組獨立的KCL方程？答：先確定一個樹，然后確定一組單連支回路，對所有的單連支

回路列KVL方程，就獲得一組獨立的KVL方程。答：先確定一個樹，然后確定一組單樹枝割集，對所有的單樹枝

割集列KCL方程，就獲得一組獨立的KCL方程。2.如何借助樹列寫一組獨立的KVL方程？三、回路電流方程的矩陣形式四、節(jié)點電壓方程的矩陣形式1.根據(jù)已知電路，畫出有向圖，寫出關(guān)聯(lián)矩陣A；2.寫支路導(dǎo)納矩陣Y，電源列向量

.

=AIS

.-AYUS

Yn=AYAT；1.根據(jù)已知電路，畫出有向圖，寫出回路矩陣B；2.寫出支路阻抗矩陣Z，電源列向量4.列出回路方程；；。3.求出回路阻抗矩陣；3.求出節(jié)點導(dǎo)納矩陣

4.用矩陣乘法求得節(jié)點方程。

Yn

.Un

.

=Jn

五、割集分析法線性電路以iL,uC為狀態(tài)變量，列寫步驟：六、狀態(tài)方程的列寫

1.選擇一個樹，也稱為特有樹，包含電容和電壓源，

而不包含電感和電流源；

2.對包含電容的單樹支割集列寫KCL方程；

3.對包含電感的單連支割集列寫KVL方程；

4.列寫其他必要的方程，消去非狀態(tài)變量；

5.整理并寫出矩陣形式。

Yt=QYQT；3.求出割集導(dǎo)納矩陣

4.用矩陣乘法求得割集方程。

.

=QIS

.-QYUS

Yt

.Ut

.

=Jt

1.選定一個樹，寫出Q；2.寫支路導(dǎo)納矩陣Y，電源列向量；能力檢測題1．圖(a)以節(jié)點4為參考節(jié)點，圖(b)以節(jié)點5為參考節(jié)點，寫出13-1圖所示有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣A。(a)123456解：(b)123456782．下圖所示有向圖，若選支路1、2、3為樹支，寫出基本回路矩陣和基本割集矩陣。(a)456123解：(b)1234563．電路如下圖所示，列出矩陣形式的回路電流方程。R1R2-+1①②