2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六單元圓第22講圓的基本性質(zhì)練習(xí)

第22講圓的基本性質(zhì)重難點(diǎn)垂徑定理及圓周角定理(含推論)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，BE，則下列五個(gè)結(jié)論：①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AOE＝∠C；⑤eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(AEB,\s\up8(︵)).正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(C)A．2B．3C【拓展提問(wèn)1】若AB＝12，DE＝4，則⊙O的半徑為6.5．【拓展提問(wèn)2】若∠C＝60°，AB＝12，則DE的長(zhǎng)度是2eq\r(3)．【拓展提問(wèn)3】若⊙O的半徑為8，將eq\o(AEB,\s\up8(︵))沿AB折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為8eq\r(3)．eq\x(方法指導(dǎo))(1)對(duì)于一圓和一條直線來(lái)說(shuō)，下列五個(gè)條件：①垂直于弦；②過(guò)圓心；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧．如果具備其中兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)，簡(jiǎn)稱為“知二得三”．如例題考查由②過(guò)圓心、③平分弦(不是直徑)這兩個(gè)條件推出其他三個(gè)結(jié)論．(2)運(yùn)用垂徑定理及其推論求線段長(zhǎng)的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．最常用的方法是連接圓心和圓中弦的一個(gè)端點(diǎn)，若弦長(zhǎng)為l，圓心到弦的距離為d，半徑為r，根據(jù)勾股定理有如下公式：eq\f(1,2)l＝eq\r(r2－d2).或在直角三角形中，已知一直角邊與斜邊的關(guān)系，得到角度關(guān)系，再利用三角函數(shù)求解．⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)BC是⊙O的直徑時(shí)，如圖1，連接AP，BP.若∠BAP＝30°，BP＝3，求⊙O的半徑；(2)當(dāng)∠APC＝∠CPB＝60°時(shí)，如圖2，連接AP，BP，PC.①判斷△ABC的形狀：等邊三角形；②試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖1圖2【思路點(diǎn)撥】(1)連接PC，則可得∠BAP＝∠BCP＝30°，在Rt△BCP中求出BC，繼而可得⊙O的半徑．(2)①利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀；②在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得．【自主解答】解：(1)連接PC.∵BC是⊙O的直徑，∴∠BPC＝90°.∵∠BAP＝∠BCP＝30°，BP＝3，∴BC＝6.∴⊙O的半徑為3.(2)②證明：在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等邊三角形．∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APB＝∠ADC，,∠ABP＝∠ACD，,AP＝AD，))∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.eq\x(例題剖析)1．本題源于人教版教材九上P90第14題，考查的核心知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理及其推論．2．在本題的解答過(guò)程中，有兩點(diǎn)必須注意：①由BC是直徑，可連接PC構(gòu)造直角三角形，同時(shí)也得到了同弧所對(duì)的圓周角相等，從而把已知角和已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形內(nèi)；②證明不在同一條直線上的三條線段的數(shù)量關(guān)系最常用的方法是通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明三角形全等．eq\x(例題剖析)1．本題源于人教版教材九上P90第14題，考查的核心知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理及其推論．2．在本題的解答過(guò)程中，有兩點(diǎn)必須注意：①由BC是直徑，可連接PC構(gòu)造直角三角形，同時(shí)也得到了同弧所對(duì)的圓周角相等，從而把已知角和已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形內(nèi)；②證明不在同一條直線上的三條線段的數(shù)量關(guān)系最常用的方法是通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明三角形全等．【拓展提問(wèn)】③若⊙O的半徑為1，當(dāng)點(diǎn)P位于eq\o(AB,\s\up8(︵))的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？并求出最大面積．【自主解答】解：當(dāng)點(diǎn)P為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC的面積最大．理由如下：圖3如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E.過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.∵S△APB＝eq\f(1,2)AB·PE，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CF，∴S四邊形APBC＝eq\f(1,2)AB·(PE＋CF)．當(dāng)點(diǎn)P為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，PE＋CF＝PC，PC為⊙O的直徑，∴此時(shí)四邊形APBC的面積最大．又∵⊙O的半徑為1，∴其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)AB＝eq\r(3).∴S四邊形APBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).考點(diǎn)1圓的有關(guān)概念1．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，則∠AOD＝40°．考點(diǎn)2垂徑定理及其推論2．如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝3，則⊙O的半徑等于(D)A．8B．2C．103．(2018·張家界)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE等于(A)A．8cmB．5cmC．3cm4．(2018·紹興)如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為20米的圓形草坪，A，B是圓上的點(diǎn)，O為圓心，∠AOB＝120°，從A到B只有路eq\o(AB,\s\up8(︵))，一部分市民為走“捷徑”，踩壞了花草，走出了一條小路AB.通過(guò)計(jì)算可知，這些市民其實(shí)僅僅少走了15步．(假設(shè)1步為0.5米，結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，π取3.142)考點(diǎn)3圓心角、弧、弦之間的關(guān)系5．如圖，AB是⊙O的直徑，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，則∠AEO的度數(shù)是(A)A．51°B．56°C．68°D．78°6．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為(D)①∠DOE＝∠AOB；②eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1B．2C．3D．考點(diǎn)4圓周角定理及其推論7．(2018·柳州)如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠A＝60°，∠B＝24°，則∠C的度數(shù)為(D)A．84°B．60°C．36°D．24°8．(2018·赤峰)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)(A，B除外)，∠AOD＝130°，則∠C的度數(shù)是(C)A．50°B．60°C．25°D．30°9．(2018·廣州)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，連接OA，OB，BC.若∠ABC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是(D)A．40°B．50°C．70°D．80°10．(2018·畢節(jié))如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為半圓的三等分點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠ACE的度數(shù)為30°．11．(2017·十堰)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.若AC＝6，BD＝5eq\r(2)，則BC的長(zhǎng)為8．12．(2018·巴中)如圖所示，⊙O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P，連接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝4∶3．考點(diǎn)5圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)13．(2018·蘇州)如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))上的點(diǎn)．若∠BOC＝40°，則∠D的度數(shù)為(B)A．100°B．110°C．120°D．130°14．(2018·曲靖)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠A＝n°，則∠DCE＝n°．15．(分類討論)(2018·安順)已知⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝8cm，則AC的長(zhǎng)為(CA．2eq\r(5)cmB．4eq\r(5)cmC．2eq\r(5)cm或4eq\r(5)cmD．2eq\r(3)cm或4eq\r(3)cm16．(2017·濰坊)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB與DC相交于點(diǎn)G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為(C)A．50°B．60°C．80°D．85°17．(2017·廣安)如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，已知cos∠CDB＝eq\f(4,5)，BD＝5，則OH的長(zhǎng)度為(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,6)C．1D.eq\f(7,6)18．(2018·宜賓)如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G.若eq\f(EF,AE)＝eq\f(3,4)，則eq\f(CG,GB)＝eq\f(\r(5),5).19．(2018·南京)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.(1)求證：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE＝1，求⊙O的半徑．解：(1)證明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°.∴∠GAF＋∠ADF＝90°.∴∠GAF＝∠CDF.∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°.又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD.∴△AFG∽△DFC.(2)連接CG.∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴eq\f(EA,AF)＝eq\f(DA,DF)，即eq\f(EA,DA)＝eq\f(AF,DF).∵△AFG∽△DFC，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AF,DF).∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(EA,DA).∵在正方形ABCD中，D