第15章 軸對稱圖形與等腰三角形 單元測試 滬科版數學八年級上冊

第15章綜合素質評價一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．下列四個漢字中是軸對稱圖形的是()2．在平面直角坐標系中，點A(－1，－3)關于y軸對稱的點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列結論中不正確的是()A．角是軸對稱圖形B．對稱圖形的對稱點一定在對稱軸的兩側C．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等D．角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等4．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC與∠ACB的平分線BD，CD交于點D.過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F，則△AEF的周長為()A．12B．13C．14D．155．如圖，在三角形紙片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D(不與B，C重合)是BC上任意一點．將此三角形紙片按如圖所示方式折疊，若EF的長度為a，則△DEF的周長為()A．3aB．3.3aC．3.6aD．3.9a6．如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA＋PC＝BC，則下列選項正確的是()7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝70°，中線CD交角平分線BE于點F，則∠BFC的度數為()A．115°B．125°C．135°D．140°8．如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC上的一個動點(不與點B，C重合)，連接AD，作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB，AC于點E，F，連接ED，FD，則以下結論正確的是()A．∠1＝15°B．DF⊥ACC．CD＝2CFD．∠2＝2∠19．如圖，C為線段AE上一動點(不與點A，E重合)，在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ.下列結論：①AD＝BE；②CP＝CQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°.其中正確的有()A．4個B．3個C．2個D．1個10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為()A．4B．5C．6D．7二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．若點P(m＋2n，－m＋6n)和點Q(2，－6)關于x軸對稱，則m＋n＝________．12．如圖，已知△ABC的面積是S，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝a，則△ABC的周長是________(用含a，S的代數式表示)．13．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則等腰三角形的頂角度數為________．14．如圖，∠AOB＝120°，點P為∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點，則以下結論：①PM＝PN；②OM＋ON＝OP；③四邊形PMON的面積保持不變；④△PMN的周長保持不變．其中正確的是________．(填序號)三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．(1)作出與△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；(2)△ABC內有一點P(a,b)，直接寫出△A1B1C1中與之對應的點P1的坐標．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點D(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)在(1)的條件下，求∠BDC的度數．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，AB＝AC，MB＝MC.求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．

18.(1)如圖①，已知：線段CD與∠AOB，通過作圖求一點P，使PC＝PD，并且點P到∠AOB兩邊的距離相等．(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖②，點O在△ABC的外部，且OB＝OC，點O到∠BAC兩邊的距離相等．問：AB＝AC一定成立嗎？若一定成立，請證明；若不一定成立，請畫圖說明．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求證：△DEF為等腰三角形；(2)當∠A＝50°時，求∠DEF的度數．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分線，交BC于點E.(1)已知△ABC的周長是14，AD的長是3，求△AEC的周長；(2)已知∠B＝30°，求證：點E在線段CD的垂直平分線上．六、(本題滿分12分)21．已知：如圖，A1，A2，A3是∠MON的ON邊上順次三個不同的點，B1，B2，B3是∠MON的OM邊上順次三個不同的點，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3.(1)當∠MB1A2＝45°時，求∠MON的度數；(2)若OM邊上不存在B3點，使得A3B3＝B2A3，求∠MON的最小值．七、(本題滿分12分)22．已知在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC.(1)如圖①，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE________DB(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)如圖②，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由(提示：過點E作EF∥BC，交AC于點F)．(3)當點E在直線AB上時，其余條件不變，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長(請你畫出相應圖形，再求解)．八、(本題滿分14分)23.如圖，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC.過點C作CF⊥DE交DE于點F.(1)如圖①，當點B，E，D在同一條直線上時，①求證：CF＝eq\f(1,2)DE；②求∠BDA的度數．(2)如圖②，連接AF并延長至點G，使AF＝GF，連接GE，GB，試判斷△BEG的形狀，并說明理由．

答案一、1.A2.D3.B4.C【點撥】由BD，CD是∠ABC與∠ACB的平分線且EF∥BC，易得△BED和△CFD都是等腰三角形，即BE＝ED，CF＝DF，所以△AEF的周長為AE＋EF＋AF＝AB＋AC＝6＋8＝14.5.A【點撥】易知∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°，∴∠FED＝60°，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF＝DF＝a，∴△DEF的周長為3a.6.B7.B【點撥】∵∠BAC＝∠ABC＝70°，∴AC＝BC，∴△ABC為等腰三角形，∠ACB＝180°－2×70°＝40°.∵CD為中線，∴∠BCD＝∠ACD＝eq\f(1,2)∠ACB＝20°，即∠BCF＝20°.∵BE為∠ABC的平分線．∴∠CBF＝eq\f(1,2)∠ABC＝35°，∴∠BFC＝180°－∠CBF－∠BCF＝125°.8.D【點撥】∵EF是AD的垂直平分線，∴EA＝ED，FA＝FD，∴∠EDA＝∠1，∠FAD＝∠FDA，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝∠1＋∠FAD＝∠BAC＝60°.∵∠BED＝∠1＋∠EDA＝2∠1，∠EDC＝∠EDF＋∠2＝∠B＋∠BED，∴60°＋∠2＝60°＋2∠1，∴∠2＝2∠1.9.A【點撥】∵△ABC，△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD.∵∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故①④正確；易知∠ACB＝∠BCQ＝60°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，∴△ACP≌△BCQ，∴CP＝CQ，∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等邊三角形，∴∠QPC＝∠ACB＝60°，∴PQ∥AE，故②③正確，∴正確的有4個．10.D【點撥】如圖，可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為7.二、11.1【點撥】因為點P(m＋2n，－m＋6n)和點Q(2，－6)關于x軸對稱，所以m＋2n＝2，－m＋6n＝6，解得m＝0，n＝1.所以m＋n＝0＋1＝1.12.eq\f(2S,a)【點撥】如圖，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝a，∴△ABC的面積＝S△AOB＋S△AOC＋S△OBC＝eq\f(1,2)×AB×OE＋eq\f(1,2)×AC×OF＋eq\f(1,2)×BC×OD＝eq\f(1,2)×a×(AB＋AC＋BC)＝S，故AB＋AC＋BC＝eq\f(2S,a).13.40°或140°【點撥】①當三角形為銳角三角形時，如圖①，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°－50°＝40°，∴等腰三角形的頂角為40°；②當三角形為鈍角三角形時，如圖②，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°－50°＝40°，∵∠BAD＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴等腰三角形的頂角為140°.故等腰三角形的頂角度數為40°或140°.14.①②③【點撥】如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∠AOP＝60°，在Rt△POE和Rt△POF中，∵OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE＝OF.在△PEM和△PFN中，∵∠MPE＝∠NPF,PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確；易知S△PEM＝S△PFN，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF，且為定值，故③正確；在Rt△OPE中，∵∠POE＝60°，∠PEO＝90°，∴∠OPE＝30°，∴OP＝2OE.∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝OP，故②正確；∵M，N的位置變化，∴MN的長度是變化的，∵PM＝PN，∠MPN＝180°－∠AOB＝60°，∴△PMN是等邊三角形，∴△PMN的周長是變化的，故④錯誤，∴正確的有①②③.三、15.【解】(1)△A1B1C1如圖所示．(2)P1(a，－b)．16.【解】(1)如圖，BD即為所求．(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°.四、17.【證明】∵AB＝AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上．∵MB＝MC，∴點M在線段BC的垂直平分線上．∴直線AM是線段BC的垂直平分線．18.【解】(1)如圖①，點P即為所求．(2)AB＝AC不一定成立．如圖②，作△ABC且AB≠AC，再作∠BAC的平分線AO和邊BC的垂直平分線交于點O，此時OB＝OC，點O到∠BAC兩邊的距離相等．五、19.(1)【證明】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF為等腰三角形．(2)【解】∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∵∠CED是△BDE的外角，∴∠CED＝∠BDE＋∠B，∴∠CEF＋∠DEF＝∠BDE＋∠B，∴∠DEF＝∠B.在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.20.(1)【解】∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，AD＝BD，∵AD＝3，∴AB＝6.∵△ABC的周長為14，∴AC＋BC＝14－AB＝8，∴△AEC的周長＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝8，(2)【證明】由(1)知AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAE＝30°.∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AE＝AE，∴△ADE≌△ACE，∴DE＝CE，∴點E在線段CD的垂直平分線上．六、21.【解】(1)∵OA1＝A1B1＝B1A2，∴∠A1OB1＝∠A1B1O，∠B1A1A2＝∠B1A2A1，∴∠B1A2A1＝∠B1A1A2＝∠A1OB1＋∠A1B1O＝2∠A1OB1，∴∠MB1A2＝∠MON＋∠B1A2O＝3∠MON＝45°，∴∠MON＝15°.(2)∵OM邊上不存在B3點，使得A3B3＝B2A3，∴OM邊上不存在B3點，使得∠A3B2B3＝∠A3B3B2，∴90°≤∠A3B2B3<180°，易得∠B2A3O＝∠B2A2A3＝∠MON＋∠OB2A2＝4∠MON，∴∠A3B2B3＝∠MON＋∠OA3B2＝5∠MON，∴90°≤5∠MON<180°，∴18°≤∠MON<36°，故∠MON的最小值為18°.七、22.【解】(1)＝(2)AE＝DB，理由：過點E作EF∥BC，交AC于點F.∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.又∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∴BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝CE，,∠DEB＝∠ECF，,BE＝FC，))∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，則AE＝DB.(3)如圖，點E在AB的延長線上時，過點E作EF∥BC，交AC的延長線于點F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.又∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝60°，∠ACB＝∠F＝60°，∠DCE＝∠FE