第五章 拋體運動 知識要點講義 高一年級下冊物理人教版（2019）必修第二冊

第五章拋體運動

5.1.曲線運動

一、曲線運動

1.定義

物體運動軌跡是曲線的運動。

2.曲線運動的速度

(1)速度的方向：質(zhì)點在某一點的速度方向，是沿曲線在這一點的切線方向。

(2)曲線運動的速度特點

曲線運動中質(zhì)點在某一時刻(或某一位置)的速度方向，就是曲線上這一點的切線方向。

所以曲線運動的速度方向時刻在變化。

3.物體做曲線運動的條件

F合(a)與v不共線，包含三層意思：①vOrO；②F合力0；③F合(a)方向與v方

向不共線

4.曲線運動的性質(zhì)及分類

(1)性質(zhì)：由于速度方向時刻在發(fā)生變化，所以曲線運動一定是變.速運動，加速度一定

不為零，所受合外力一定不為零。

(2)分類：①勻變速曲線運動：加速度恒定；②非勻變速曲線運動：加速度變化。

5.曲線運動的軌跡與速度、合力的關(guān)系

做曲線運動的物體的軌跡與速度方向相切，并向合力方向彎曲，(如圖所示)夾在速度方

向與合力方向之間.

6.合外力與速率變化的關(guān)系

(1)內(nèi)容：當(dāng)合力廠(加速度a)跟物體速度不共線時，此時可以把尸(a)在沿速度的方向

和垂直速度的方向進行分解，如圖a、b所示。其中與速度共線，只能改變速度的大

小，圖a中￡(&)與速度同向，故速度要增大，圖b中￡(團)與速度反向，故速度要減?。?/p>

4(加)與速度垂直，只能改變速度的方向，不能改變速度的大小。

⑵結(jié)論：若合力方向與速度方向的夾角為a,貝ij：

-a為銳角時，速率增大,如圖一

倚力與速率變化的關(guān)系於0為宜角時'速率不變'如圖乙一

■a為鈍角時，速率減小,如圖丙

7.運動的五種類型

軌跡特點加速度特點運動性質(zhì)

加速度為零勻速直線運動

直線加速度不變勻變速直線運動

加速度變化變加速直線運動

加速度不變勻變速曲線運動

曲線

加速度變化變加速曲線運動

二、典例題

例1:下列說法正確的是（）

A.做曲線運動的物體速度方向一定發(fā)生變化

B.速度方向發(fā)生變化的運動一定是曲線運動

C.速度變化的運動一定是曲線運動

D.加速度變化的運動一定是曲線運動

答案A

解析做曲線運動的物體的速度方向時刻發(fā)生變化，故A正確；速度方向發(fā)生變化不是判斷

物體做曲線運動的條件，而是曲線運動的特點，如物體在彈簧作用下的往返運動，物體速度

方向改變，但做直線運動，故B錯誤；速度是矢量，速度的變化包括大小和方向的變化，如

勻變速直線運動，物體速度大小發(fā)生變化，但不是做曲線運動，故C錯誤；做直線運動的物

體加速度也可以變化，如變加速直線運動，故D錯誤.

例2：假設(shè)“嫦娥三號”探月衛(wèi)星在由地球飛向月球時，沿曲線從的點向〃點飛行的過程中,

速度逐漸減小。在此過程中探月衛(wèi)星所受合力方向可能是下列圖中的（）

BCD

答案C

解析由合力方向指向軌跡彎曲的一側(cè)知A、D一定錯誤。由于運動方向是從M點向N點，B

中合力與速度的夾角為銳角，速度增加，C中合力與速度的夾角為鈍角，速度減小，故選C。

例題3：（多選）物體受到幾個力作用而做勻速直線運動，若突然撤去其中的一個力，它可能

做（）

A.勻速直線運動B.勻加速直線運動

C.勻減速直線運動D.勻變速曲線運動

答案BCD

解析剩余幾個力的合力恒定不為零，所以物體不可能做勻速直線運動，選項A錯誤.剩余

的幾個力的合力與撤去的力等值、反向、共線，所以這個合力恒定不變，物體一定做勻變速

運動.若物體的速度方向與此合力方向相同，則物體做勻加速直線運動；若剩余的幾個力的

合力與物體的速度方向相反，則物體做勻減速直線運動；若剩余幾個力的合力與速度不共線，

物體做勻變速曲線運動，選項B、C、D正確.

5.2運動的合成和分解

一、一個平面運動的實例

1.蠟塊的位置：如圖所示，蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設(shè)為小玻璃管向右勻速移動的

速度設(shè)為匕，從蠟塊開始運動的時刻開始計時，在某時刻t,蠟塊的位置?？梢杂盟膞、y

兩個坐標表示：x=v*t,y^Vyt.

2.蠟塊運動的速度：大小1，=4屬+方向滿足tan0~~-

3.蠟塊運動的軌跡：y=~x,是一條過原點的直線.

Vx

二、運動的合成與分解

1.合運動與分運動

(1)如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發(fā)生的運動就是合運動，參與的幾個運動

就是分運動.

(2)物體實際運動的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分運動的

位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.

2,合運動與分運動的四個特性

等時性各分運動與合運動同時發(fā)生和結(jié)束，時間相同

等效性各分運動的共同效果與合運動的效果相同

同體性各分運動與合運動是同一物體的運動

獨立性各分運動之間互不相干，彼此獨立，互不影響

3.運動的合成與分解

(1)運動的合成與分解：已知分運動求合運動，叫運動的合成；已知合運動求分運動，叫運

動的分解.

(2)運動合成與分解的法則：合成和分解的對象是位移、速度、加速度，這些量都是矢量,

遵循的是平行四邊形定則.

4.合運動的性質(zhì)判斷

變化：變加速運動

(1)加速度(或合外力)

不變：勻變速運動

共線：直線運動

（2）加速度（或合外力）與速度方向

不共線：曲線運動

5.兩個直線運動的合運動性質(zhì)的判斷

兩個互成角度的分運動合運動的性質(zhì)

兩個勻速直線運動勻速直線運動

一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動勻變速曲線運動

兩個初速度為零的勻加速直線運動勻加速直線運動

如果丫石與a6共線，為勻變速直線運動

兩個初速度不為零的勻變速直線運動如果ya與a備不共線，為勻變速曲線運

動

三'小船渡河問題

1.渡河時間最短問題

當(dāng)船頭方向垂直于河岸時，渡河時間最短，人此時船渡河的位移k系，位移

方向滿足tan仁會.

2.渡河位移最短問題

情況一：K*<Kffl

當(dāng)船頭方向與上游夾角9滿足VMCOS?=『*時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于

河寬,,此時渡河所用時間'=品。,如圖甲所示.

情況二：V^>V（S

當(dāng)船頭方向（即「行方向）與合速度方向垂直時,渡河位移最短,為如圖乙

所示，由圖可知si…十，最短航程為此時船頭指向應(yīng)與上游河岸成勿角，且3"，

四、繩（桿）端速度分解模型

1.模型特點

繩（桿）拉物體或物體拉繩（桿），以及兩物體通過繩（桿）相連，物體運動方向與繩（桿）

不在一條直線上，求解運動過程中它們的速度關(guān)系，都屬于該模型。

2.模型分析

①合運動一繩（桿）拉物體的實際運動速度r

［其一：沿繩（或桿）的分速度以

②分運動一《

I其二：與繩（或桿）垂直的分速度匕

（3）解題原則：根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相等求解。常見實例如下：

五、典例題

例題1.（多選）關(guān)于合運動和分運動，下列說法中正確的有（）

A.物體同時參與幾個運動時的實際運動就是這幾個運動的合運動

B.合運動的時間比分運動的時間長

C,合運動與分運動的位移、速度、加速度的關(guān)系都一定滿足平行四邊形定則

D.合速度一定大于分速度

答案AC

解析物體同時參與幾個運動時，物體的實際運動叫作這幾個運動的合運動，A正確；合運

動與分運動同時進行，具有等時性，B錯誤；位移、速度、加速度都是矢量，故合運動與分

運動的位移、速度、加速度的關(guān)系都滿足平行四邊形定則，C正確；根據(jù)平行四邊形定則可

知，合矢量可能大于分矢量，也可能小于分矢量，即合速度可能小于分速度，D錯誤。

例題2.雨滴由靜止開始下落，遇到水平方向吹來的風(fēng)，下述說法中正確的是（）

①風(fēng)速越大，雨滴下落時間越長②風(fēng)速越大，雨滴著地時速度越大③雨滴下落時間與風(fēng)

速無關(guān)④雨滴著地速度與風(fēng)速無關(guān)

A.①②B.②③

C.③④D.①④

答案B

解析將雨滴的運動在水平方向和豎直方向分解，兩個分運動相互獨立，雨滴下落時間與豎

直高度有關(guān)，與水平方向的風(fēng)速無關(guān)，故①錯誤，③正確.風(fēng)速越大，落地時，雨滴水平方

向分速度越大，合速度也越大，故②正確，④錯誤，故選B.

例題3.如圖所示，在玻璃管的水中有一紅蠟塊正在勻速上升，若紅蠟塊在力點勻速上升的

同時，使玻璃管從48位置水平向右做勻加速直線運動，則紅蠟塊實際運動的軌跡是圖中的

（）

A.直線戶B.曲線。

C.曲線/?D.三條軌跡都有可能

答案B

解析紅蠟塊參與了豎直方向的勻速直線運動和水平方向的勻加速直線運動這兩個分運動，

實際運動的軌跡即是合運動的軌跡.由于它在任意一點的合速度方向是向上或斜向右上的，

而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之間有一定夾角，

故軌跡是曲線.又因為物體做曲線運動的軌跡總向加速度方向偏折（或加速度方向總指向曲

線的凹側(cè)），故選項B正確.

例題4.某質(zhì)點在。％平面上運動。2=0時，質(zhì)點位于y軸上。它在x方向運動的速度一時

間圖像如圖甲所示，它在y方向的位移一時間圖像如圖乙所示，貝卜）

A.質(zhì)點做勻加速直線運動

B.1s末的瞬時速度大小為11m/s

C.2s內(nèi)的位移大小為2而m

D.質(zhì)點沿y軸正方向做勻速直線運動

答案C

解析質(zhì)點在x軸方向做勻變速運動，而在y軸方向上為勻速直線運動，故合運動一定為勻

變速曲線運動，A錯誤；質(zhì)點在x方向的加速度為a=《j=2m/s[質(zhì)點在x方向1s末的

Ax

速度為%=Vo+at=6m/s,質(zhì)點在y方向做勻速直線運動，在y方向的速度為為=~^~^5m/s,

則1s末瞬時速度大小為v=yj\^+vy=y[Mm/s,B錯誤；2s末，質(zhì)點在x方向的位移x

=研+/#=12m,質(zhì)點在y方向的位移y=10m,則2s末位移大小為xo=\Jf+夕

m,C正確；質(zhì)點的運動方向應(yīng)該是合速度的方向，不是y軸的方向，D錯誤。

例題5.質(zhì)量由2kg的物體在光滑水平面上運動，其在相互垂直的x方向和y方向的分速

度14和修隨時間變化的圖像如圖所示，求：

⑴物體所受的合力大??；

⑵物體的初速度大??；

⑶6=4s時物體的位移大??；

(4)6=8s時物體的速度大??；

⑸物體運動的軌跡方程。

2

答案(1)1N(2)3m/s(3)4y[wm(4)5m/s⑸尸金

解析(1)物體在x方向的加速度d=0,

/\Yy-

在y方向的力口速度=.=0.5m/s,

△t

故合加速度為a=y/a：+aj=O.5m/s2

根據(jù)牛頓第二定律得尸合=儂=1No

⑵由題圖可知以)=3m/s,i6o=0,

所以物體的初速度大小為%=?i4+0=3m/so

(3)工1=4s時，必=心右=12m,yi=-ayt?=4m

所以此時物體的位移大小Si=y]6+d=4/_6mo

(4)七2=8s時，心=%=3m/s,口=/,2=4m/s,

所以物體的速度大小為V2=yj必+&=5m/so

11

(5)由x=vxt=3t,/=5斗#=W-，

q

聯(lián)立消去t得y=T7?

例題6.小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s,船在靜水中的速度為4m/s。

⑴若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時、何處到達對岸？

⑵要使小船到達正對岸，應(yīng)如何航行？歷時多長？

⑶小船渡河的最短時間為多長？

⑷若水流速度是5m/s,船在靜水中的速度是3m/s,則怎樣渡河才能使船漂向下游的距離

最短？最短距離是多少？

答案見解析

解析(1)小船參與了兩個分運動，即船隨水漂流的運動和船在靜水中的運動。因為分運動

之間具有獨立性和等時性，故小船渡河的時間等于垂直于河岸方向的分運動的時間，即t=

擔(dān)?="s=50s。小船沿水流方向的位移1=2X50m=100m,即船將在正對岸下

咻！4

游100m處靠岸。

⑵要使小船到達正對岸，合速度。應(yīng)垂直于河岸，如圖中所示，則

cose=￡=灣，故6=6?！?，即船的航向與上游河岸成60。，渡河時間力=(=而能F

100A/3

s=3

乙

⑶考慮一般情況，設(shè)船頭與上游河岸成任意角8,如圖乙所示。船渡河的時間取決于垂直

于河岸方向的分速度8,故小船渡河的時間為『品下,當(dāng)『0。,即

船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為tmin=50So

（4）因為V梏=301/5</水=5m/s,所以船不可能垂直于河岸橫渡，不論航向如何，總被水流

沖向下游。如圖丙所示，設(shè)船頭（/陰）與上游河岸成8角，合速度v與下游河岸成a角，可

以看出：a角越大，船漂向下游的距離x‘越短。以/水的矢尖為圓心，以小合的大小為半徑

3

畫圓，當(dāng)合速度卜與圓相切時，a角最大。則cos6=—=~故船頭與上游河岸的夾角8

v水□

=53°,又乙丁=上=且三也代入數(shù)據(jù)解得x'-267m。

d咋咋

例題7.（多選）如圖所示，有一不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C,與質(zhì)量為卬的物體A

連接，4放在傾角為。的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體8連接，連接

物體8的繩最初水平。從當(dāng)前位置開始，使物體8以速度/沿桿勻速向下運動，設(shè)繩的拉力

為T,在此后的運動過程中，下列說法正確的是（）

A.物體力做加速運動B.物體力做勻速運動

C.7小于儂sin6D.廠大于儂sin6

答案AD

解析由題圖可知繩端的速度為3ina,與8的位置有關(guān)，因為8為勻速運動，8下降過

程中a變大，因此物體4做加速運動，廠大于娛in6,故A、D正確，B、C錯誤。

例題8.如圖所示，一根長直輕桿在墻角沿豎直墻與水平地面滑動。當(dāng)桿和墻的夾角

為e時，桿的力端沿墻下滑的速度大小為必，8端沿地面滑動的速度大小為電則%、益的

關(guān)系是（）

A.V\=V2

C.Ui=Kztan9D.%=K?sin9

答案C

解析將A、B兩點的速度分解為沿A8方向與垂直于A8方向的分速度，沿A8方向的速度

分別為功〃和。2〃，由于A8不可伸長，兩點沿AB方向的速度分量應(yīng)相同,則有V]//=V]Cos仇

02〃=O2Sin。，由。1〃=也〃，得0=02tan。，C正確。

5.3.實驗：探究平拋運動的特點

一、拋體運動

1.定義

以一定的初速度將物體拋出，如果物體只受重力的作用，這時的運動叫做拋體運動。

2.分類

豎直上拋運動（豎直下拋運動）、斜拋運動、平拋運動

二、平拋運動

1.定義

沿水平方向的速度將物體拋出，在空氣阻力可以忽略的情況下，物體只受重力作用，

這時的運動叫平拋運動。

2.條件

①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。

3.性質(zhì)

平拋運動是曲線運動，所受合力（重力）恒定，故平拋運動為加速度為g的勻變速曲線

運動。

三、實驗思路

方法一：噴水法

如圖所示，倒置的飲料瓶內(nèi)裝有水，瓶塞內(nèi)插著兩根兩端開口的細管，其中一根彎成水

平，且加上一個很細的噴嘴.水從噴嘴中射出，在空中形成彎曲的細水柱，它顯示了平拋運

動的軌跡.將它描在背后的紙上，進行分析處理.

方法二：頻閃照相法

數(shù)碼照相機每秒拍下小球做平拋運動時的十幾幀或幾十幀照片.將照片上不同時刻的小

球的位置連成平滑曲線便得到了小球的運動軌跡.

實驗結(jié)論：平拋運動在水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動。

方案三：對比實驗法

步驟一：探究平拋運動豎直分運動的特點

1.用小錘擊打彈性金屬片后，A球沿水平方向拋出，做平拋運動；

2.同時B球被釋放，做自由落體運動；

3.觀察兩球軌跡，比較落地時間先后；

4.改變小球距地面高度和小錘擊打力度，重復(fù)多次試驗。

實驗現(xiàn)象：兩小球同時落地

實驗結(jié)論：平拋運動在豎直方向的分運動是自由落體運動

步驟二：探究平拋運動水平分運動的特點

如右圖所示的裝置中，斜槽M末端水平。鋼球在斜槽中從某一高度滾下，從末端飛出

后做平拋運動。在裝置中有一個水平放置的可上下調(diào)節(jié)的傾斜擋板N,鋼球飛出后，落到擋

板上。實驗前，先將一張白紙和復(fù)寫紙固定在裝置的背板上。鋼球落到傾斜的擋板上后，就

會擠壓復(fù)寫紙，在白紙上留下印跡。上下調(diào)節(jié)擋板N,通過多次實驗，在白紙上記錄鋼球

所經(jīng)過的多個位置。最后，用平滑曲線把這些印跡連接起來，就得到鋼球做平拋運動的軌跡。

設(shè)計實驗：

①如圖所示安裝實驗裝置，將一張白紙和復(fù)寫紙固定在裝置的背板上，用鉛垂線把木板調(diào)整

到豎直方向并固定;調(diào)節(jié)斜槽M末端水平。

②把小球放在槽口處，用鉛筆記下小球在槽口時球心在木板上的水平投影點0,為坐標原

點，再利用鉛垂線在紙上畫出通過0點的豎直線，即y軸，過0點垂直y軸畫出x軸。

③鋼球在斜槽中從某一高度由靜止?jié)L下，從末端飛出后做平拋運動落到擋板N±,在白紙

上記錄鋼球位置。

④同一高度釋放小球，上下調(diào)節(jié)擋板N,重復(fù)多次實驗，在白紙上記錄鋼球所經(jīng)過的多個

位置。

⑤用平滑曲線把這些印跡連接起來，就得到鋼球做平拋運動的軌跡。

實驗注意事項：

(1)保證斜槽末端的切線必須水平。

(2)木板平面豎直且平行于小球平拋的軌道平面，并使小球的運動靠近木板但不接觸。

(3)坐標原點不在斜槽口的末端，應(yīng)在槽口上方小球球心處。

(4)小球應(yīng)在同一位置無初速自由釋放；釋放的高度要適當(dāng)，使小球以合適的水平初速度拋

出，其軌跡在坐標紙的左上角到右下角間分布，從而減小測量誤差。

例題1.(1)為了探究平拋運動的規(guī)律，老師做了如下兩個演示實驗：

①為了說明平拋運動的豎直分運動是自由落體運動，用如圖甲所示裝置進行實驗。小錘打擊

彈性金屬片，4球水平拋出，同時8球被松開自由下落。關(guān)于該實驗，下列說法正確的有

A

力訕）“7

甲

A.所用兩球的質(zhì)量必須相等

B.只做一次實驗發(fā)現(xiàn)兩球同時落地，即可以得到實驗結(jié)論

C.應(yīng)改變裝置的高度多次實驗

D.本實驗也能說明4球在水平方向上做勻速直線運動

②如圖乙所示，兩個相同的弧形軌道隊/V位于同一豎直面內(nèi)，其中〃軌道的末端與光滑的

水平地面相切。兩個完全相同的小鋼球入。以相同的水平初速度玲同時從軌道"、/V的末

端射出，觀察到夕落地時與。相遇。只改變弧形軌道"的高度，多次重復(fù)實驗，仍能觀察到

相同的現(xiàn)象。這說明：?

⑵為了進一步研究平拋運動，某同學(xué)用如圖丙所示的裝置進行實驗。

①為了準確地描繪出平拋運動的軌跡，下列要求合理的是0

A.小球每次必須從斜槽上同一位置由靜止釋放

B.斜槽軌道必須光滑

C.斜槽軌道末端必須水平

D.本實驗必需的器材還有刻度尺和停表

②甲同學(xué)按正確的操作完成實驗并描繪出平拋運動的軌跡，以平拋運動的初始位置。為坐標

原點建立萬%坐標系，如圖1所示。從運動軌跡上選取多個點，根據(jù)其坐標值可以驗證軌跡

符合尸ax?的拋物線。若坐標紙中每小方格的邊長為4根據(jù)圖中〃點的坐標值，可以求出

③乙同學(xué)不小心將記錄實驗的坐標紙弄破損，導(dǎo)致平拋運動的初始位置缺失。他選取軌跡中

任意一點。為坐標原點，建立坐標系（x軸沿水平方向、y軸沿豎直方向），如圖2所示。

在軌跡中選取48兩點，坐標紙中每小方格的邊長仍為Z,重力加速度為g。由此可知：小

球從。點運動到A點所用時間右與從4點運動到8點所用時間&的大小關(guān)系為：

*6（選填或“="）；小球平拋運動的初速度/=，小球

平拋運動的初始位置坐標為（）。

④丙同學(xué)將實驗方案做了改變，如圖3所示，他把桌子搬到墻的附近，調(diào)整好儀器，使從斜

槽軌道滾下的小球打在正對的墻上，把白紙和復(fù)寫紙附在墻上，記錄小球的落點。然后等間

距地改變桌子與墻的距離，就可以得到多個落點。如果丙同學(xué)還有一把刻度尺，他是否可以

計算出小球平拋時的初速度？請簡要闡述理由。

答案（1）①C②做平拋運動的物體在水平方向上做勻速直線運動

1

⑵①AC②9③二2而Z-4Z.-L④可以用刻度尺測量落點

0￡

與拋出點之間的豎直距離人測量墻與桌子的水平距離%根據(jù)尸;4

,可得t=

則改變桌子與墻的水平距離X，測量多組X,V值，計算多組初速度，取平

均值即可

解析（1）①本實驗應(yīng)改變裝置高度多次實驗，發(fā)現(xiàn)兩球的下落時間總是相同，進而說明平

拋運動的豎直分運動是自由落體運動，但不能說明水平分運動是勻速直線運動。由自由落體

運動規(guī)律有下落時間與球質(zhì)量無關(guān)，兩球質(zhì)量可以不等。

②小球。在光滑水平面上做勻速直線運動，改變弧形軌道的的高度，。球從不同高度做平拋

運動，落地時均與。相遇說明相同時間內(nèi)兩球運動相同的水平位移，即平拋運動的水平分運

動為勻速直線運動。

⑵①小球每次從斜槽上同一位置由靜止釋放，滑到斜槽末端時的速率一定，保證平拋初速

度不變，描出的是同一軌跡。斜槽軌道不必光滑。末端水平，才能保證小球做平拋運動。本

實驗不需要停表。

②由得a=4,將"點坐標（5Z.,5D代入得a=2=！。根據(jù)*=玲［，

X\uL）□￡Z

③0、44、8間水平方向均為4個格，由可知，&=t2。YAB—yoA=gf,r=A———=

vo=#=272gL。小球豎直方向做自由落體運動，從開始下落，相鄰相等時間內(nèi)豎

直位移之比為1：3：5,而%:加=3：5,因此初始位置坐標為（一44-￡）o

5.4拋體運動的規(guī)律

一、拋體運動

1.定義

以一定的初速度將物體拋出，如果物體只受重力的作用，這時的運動叫做拋體運動。

2.分類

豎直上拋運動(豎直下拋運動)、斜拋運動、平拋運動

二、平拋運動

1.定義

以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。

2.條件

①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。

3.性質(zhì)

平拋運動是加速度為g的勻加速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。

4.處理方法

“化曲為直”，平拋運動可以看作兩個分運動的合運動：一個是水平方向的勻速直線運動,

一個是豎直方向的自由落體運動。

5.規(guī)律

(3)軌跡

由水平方向解出t=5，代入得了=京矛2,平拋運動的軌跡是一條拋物線.

（4）兩個重要推論

①做平拋（或類平拋）運動的物體在任一時刻，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為心位移與

水平方向的夾角為。，則tan，=2tana。

②做平拋（或類平拋）運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移

的中點，則x=2施。

（5）常用結(jié)論

①飛行時間：他,取決于下落高度A,與初速度的無關(guān)。

①水平射程：x=vot=由初速度的和下落高度方共同決定，與其他因素?zé)o關(guān)。

③落地速度：v=7/+誦+2的,以e表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有tan。

=三="皿，所以落地速度只與初速度的和下落高度/?有關(guān)。

vx%

④速度改變量：物體在任意相等時間內(nèi)的速度改變量A△力相同，方向恒為豎直向下，

如圖所示。

三、一般的拋體運動

物體拋出的速度的沿斜上方或斜下方時，物體做斜拋運動（設(shè)的與水平方向夾角為9）,

如圖所示.

1.水平方向：物體做勻速直線運動，初速度K,=VoCOS夕.

2.豎直方向：物體做豎直上拋或豎直下拋運動，初速度匕=%sin〃.

3.斜上拋運動

⑴任意時刻t物體的速度：vv=v^cosOvy=vosinO-gt

2

(2)任意時刻t物體的位置：x=vQtcos0y=vQtsinO-^gt

⑶射程：x1n2。

g

22

v()sin0

(4)射高：y=U------

2g

⑸飛行時間：f=2汕吆

g

四'與斜面結(jié)合的平拋運動問題

1.順著斜面拋

如圖所示，物體從斜面上某一點水平拋出以后，又重新落在斜面上，此時平拋運動物體

的合位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角.分解位移，構(gòu)建位移三角形。結(jié)論有：

(1)速度方向與斜面夾角恒定：tan(0+R=2tan。，所以a不變

2v?tan

(2)運動時間：x=vot,y=^-gr=>t=^

2g

2

(3)末速度y大?。簓=Jv；+3>=v0>/l+4tan0

(4)A、B之間的距離s：s=^^=2%tan。

cos。geos。

2.對著斜面拋

如圖所示，做平拋運動的物體垂直打在斜面上，此時物體的合速度與豎直方向的夾角等于斜

面的傾角.分解速度，構(gòu)建速度三角形。結(jié)論有：

(1)速度方向與斜面垂直.

⑵水平分速度與豎直分速度的關(guān)系：tan<=￥=舞

vygI

⑶運動時間右湍行

3.與弧面相關(guān)的平拋運動

分解位移，構(gòu)建幾何三角形。豎直方向：h=切,水平方向：R±\lR2-h2=V0t

五、類平拋運動

1.受力特點

物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直.

2.運動特點

在初速度。o方向上做勻速直線運動，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動.加

速度片穿

3.類平拋運動的求解方法

(1)常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即

沿合外力的方向)的勻加速直線運動.

(2)特殊分解法：可以過拋出點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將加速度。分解為處、ay,初速

度磯)分解為％、vy,然后分別在x、y方向列方程求解.

例：如圖所示的光滑斜面長為/、寬為6、傾角為一物塊(可看成質(zhì)點)沿斜面左上方頂

點"水平射入，恰好從底端。點離開斜面，試求：(重力加速度為㈤

⑴物塊由戶運動到。所用的時間t;

⑵物塊由。點水平射入時的初速度3;

⑶物塊離開。點時速度的大小K

宏索”/21eg/gsin0/（爐+4?）gsin萬

答案（叫外加。⑵叭I21（3、21

解析⑴沿斜面向下的方向有〃?gsin8=加〃，/=%尸

聯(lián)立解得‘“

（2）沿水平方向有b=v°f

?_2_/八Msin°

（3）物塊離開Q點時的速度大小

六、平拋運動中的臨界、極值問題

例：如圖所示，排球場總長為18m,設(shè)球網(wǎng)高度為2m,運動員站在離網(wǎng)3m的線上（圖中

虛線所示）正對網(wǎng)前跳起將球水平擊出。（不計空氣阻力，g取lOm/s?）

⑴設(shè)擊球點在3m線正上方高度為2.5m處，試問擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不

觸網(wǎng)也不越界？

⑵若擊球點在3m線正上方的高度小于某個值，那么無論擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就

是越界，試求這個高度。

答案（1）3師m/s<v<12y[2m/s（2）2.13m

解析（1）如圖甲所示，設(shè)球剛好擦網(wǎng)而過，則擊球點到擦網(wǎng)點的水平位移》=3m,豎直位

移yi=/?2—力i=（2.5—2）m=0.5m,根據(jù)位移關(guān)系x=”,y—^gi1,可得代入數(shù)

據(jù)可得s=3回m/s,即所求擊球速度的下限。設(shè)球剛好打在邊界線上，則擊球點到落地

點的水平位移戈2=12m,豎直位移＞2=〃2=2.5m,代入上面的速度公式v=.勢可求得

02=12小m/s,即所求擊球速度的上限。欲使球既不觸網(wǎng)也不越界，則擊球速度v應(yīng)滿足

3y[\0m/s<o<12吸m/s?

甲

(2)設(shè)擊球點高度為心時，球恰好既觸網(wǎng)又壓線，如圖乙所示。

乙

設(shè)此時排球的初速度為。，擊球點到觸網(wǎng)點的水平位移X3=3m,豎直位移》=/73—肌=(人3

—2)m,代入速度公式。=.)^宗;可得兀三］；同理對壓線點有X4=12m,丫4=/?3,

代入速度公式。=^^可得兩式聯(lián)立解得自72.13m,即當(dāng)擊球高度小于2.13

m時，無論球被水平擊出的速度多大，球不是觸網(wǎng)，就是越界。

例：一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖所示。水平臺面的長和寬分別為Z■，和￡2)中間球

網(wǎng)高度為人發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒

乓球，發(fā)射點距臺面高度為3仇不計空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速

率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則V的最大取

值范圍是()

6h

(4L1+⑶g

6h

答案D

解析設(shè)以速率。?發(fā)射乒乓球，經(jīng)過時間外剛好落到球網(wǎng)正中間。則豎直方向上有3〃一/7

=上*①，水平方向上有9=0四②。由①@兩式可得設(shè)以速率。2發(fā)射乒

乓球，經(jīng)過時間攵剛好落到球網(wǎng)右側(cè)臺面的兩角處，在豎直方向有3/J=余4③，在水平方

+L]=V2t2④。由③④兩式可得^2=2（4L個"）g,則。的最大取值

范圍為V]<V<V29故D正確。

七、經(jīng)典習(xí)題

1.（多選）如圖所示，從半徑為R=1m的半圓PQ上的P點水平拋出一個可視為質(zhì)點的小球,

經(jīng)，=0.4s小球落到半圓上。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭取10m/s2,據(jù)此判斷小球的初速度

可能為（）

B.2m/s

C.3m/sD.4m/s

答案AD

解析由//=%尸，可得力=0.8m<lm,如圖所示，小球落點有兩種可能，若小球落在左側(cè)，

,o4

由幾何關(guān)系得平拋運動水平距離為0.4m,初速度。（）=於m/s=1m/s;若小球落在右側(cè)，平

拋運動的水平距離為1.6m,初速度。（）=羔m/s=4m/s,A、D正確。

2.某同學(xué)練習(xí)定點投籃，籃球從同一位置出手，兩次均垂直撞在豎直籃板上，其運動軌跡

如圖所示，不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

A.第1次擊中籃板時的速度小

B.兩次擊中籃板時的速度相等

C.球在空中運動過程中第1次速度變化快

D.球在空中運動過程中第2次速度變化快

答案A

解析將籃球的運動反過來看，則籃球兩次做平拋運動，由于第1次平拋運動的高度更大，

由〃=*產(chǎn)得/=、席，所以第1次運動的時間更長，由于兩次的水平位移相等，則時間越

長的水平初速度越小，故第1次擊中籃板時的速度小，故A正確，B錯誤；球在空中運動

過程中速度變化快慢即為加速度，由于球只受重力作用，加速度為重力加速度，則兩次速度

變化快慢相同，故C、D錯誤。

3.有A、8兩小球，8的質(zhì)量為A的兩倍，現(xiàn)將它們以相同速率沿同一方向拋出，不計空氣

阻力，如圖所示，①