第54練 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第54練離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（精練）

刷真題明導(dǎo)向

一、雙空題

I.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,3,6.從這7張卡片中隨機(jī)

抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為久則%。=2）=,石（G=.

【答案】*7

【分析】利用古典概型概率公式求產(chǎn)e=2）,由條件求€分布列，再由期望公式求其期望.

【詳解】從寫有數(shù)字1,223,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C；種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小

值為2的取法有C；+C；C：種，所以產(chǎn)4=2）=冬誓-登，

由已知可得g的取值有L2,3,4,

P4=l）=冬與p（^=2）=—,

C35'35

,p（*3）=與工，^=4）=-^-=—

'，C；35'，35

所以E（＜）=1x-+2x-+3x—+4x-=—

353535357

1612

故答案為：—，萬.

2.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）袋中有4個(gè)紅球〃?個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為

若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為!，一紅一黃的概率為:，則〃「〃=_________,E（力______.

63

【答案】1I

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得〃?，〃的值，再根據(jù)隨機(jī)變量4的分布列即可求出石宿）.

【詳解】^=2）=-^=-^=1^^+4=36,所以〃-〃+4=9,

。加+〃+4。吁“+40

p（—紅—黃）=C=瞿=?=；=巾=3,所以〃=2,則〃L〃=l.

由于尸仁=2）=＞（?）=等=展=.（5=0）咯4=5

oC93o9C9Jo1o

皿\Ic515158

，￡(《)=—x2+—xI+——x0=-+-=—

6918399

故答案為：1;

二、解答題

3.：2（）23?全國?統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃,

若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均

為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率;

（2）求第i次投籃的人是甲的概率;

⑶已知：若隨機(jī)變量Xj服從兩點(diǎn)分布，且p（Xj=i）=i-p（x,=o）=a，i=i2則石記

前"次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為V,求用了）.

【答案】（1）0.6

I(2

(2)ix-

6(514

n

⑶E(y)=2+—

1o3

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出;

（2）設(shè)尸（4）=〃,，由題意可得PR=0.4〃j+0.2,根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出;

（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出.

【詳解】（1）記“第i次投籃的人是甲”為事件A,,“第i次投籃的人是乙”為事件用,

所以，p(以)=尸(42+?(4旦)=44)2((14)+尸(區(qū))尸(用14)

=0.5x(l-0.6)+0.5x0.8=0.6.

（2）設(shè)戶（4）=化，依題可知，=1—?jiǎng)t

尸(A+J=P(AA+J+P(8M+J=P(A)尸(A+J4)+P(4)P(AM4)，

即pM=0.6"+(1-O.8)x(l-/?.)=0.4〃,+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列｛〃+浦，

設(shè)科+1+4=］（0+2），解得2=T，則Pi+L；=

J，JJ'/

又問=1〃「:=!，所以卜一9是首項(xiàng)為!，公比為名的等比數(shù)列,

2JoJ）05

、i

因?yàn)榛?"2十一i=l,2,…,〃,

65J3

1/2[

所以當(dāng)〃￡N"時(shí)'七(丫)=叢+〃2++P?=|X-含-+3=得i_(|+g,

~5

故E（y）=Q(<15.X]+3n

【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)

列的基本知識求解.

4.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，

負(fù)方得。分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

⑵用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6；

⑵分布列見解析，E（X）=13.

【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A氏C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；

（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.

【詳解】（D設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A8,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（XBC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）依題可知，X的可能取值為（）」（）,20,30,所以，

P（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

產(chǎn)（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

尸（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P（X-30）-0.5x0.6x0.2-0.06.

5.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m

以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比

賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)M.

⑴估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）0.4

⑶丙

【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

（3）計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.

【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

(2)設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件A3

----------3

P（X=0）=P（A&AJ=0.6X0.5x0.5=方，

p（x=i）=P（A44）+P（444）+P（aAAJ

Q

=0.4x0.5x0.54-0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

P[X=2）=p（A4d）+P（A4）+

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（X=3）=P（A4A）=0.4X0.5X0.5卷.

(3)丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9?85的概率為!，甲獲得9.80的概率為

410

乙獲得9.78的概率為。.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.

O

6.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)在咳酸檢測中,2合1”混采核酸檢測是指：先將人個(gè)人的樣本混合在?起進(jìn)

行I次檢測，如果這2個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測

結(jié)束:如果這A個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢

測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

(I)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

5)三知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為'.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

（II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，旦對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望E（r）與⑴中E（X）的大小.（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）①20次；②分布列見解析；期望為冒；（2）E（Y）＞E（X）.

【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；

②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解;

（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出七（丫），即可得解.

【詳解】（1）①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次;

所以總檢測次數(shù)為20次;

②由題意，X可以取20,30,

P(X=20)=(,p(X=30)=l-^=jy

則X的分布列:

320

TT

（2）由題意，y可以取25,30,

?OC2C34Q5

兩名感染者在同一組的概率為＜=上器坐=-,不在同一組的概率為6=高，

Go。9999

則E（y）=25x￡+30x￡=鬻〉E（X）.

7.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶?路”知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)

先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從

另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答止確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答

正確得20分，否則得0分；3類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確I可答A

類問題的概率為0.8,能止確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（D見解析；（2）B類.

【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類

似，找出先回答3類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2；

P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；

p(y=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知，E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答3問題，記V為小明的累計(jì)得分，則丫的所有可能取值為0,80,100.

p(r=0)=l-0.6=0.4；

p(r=80)=0.6(l-0.8)=0.12；

p(r=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4V57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答8類問題.

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.甲、乙兩人下象棋，勝者得I分，平局得。分，負(fù)者得-1分，共下5局.用4表示甲的得分，則4=3表

示（）

A.甲勝3局負(fù)2局B.甲勝4局負(fù)1局

C.甲勝3局平2局或甲勝3局負(fù)2局D.甲勝4局負(fù)1司或甲勝3局平2局

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，當(dāng)4=3時(shí)，應(yīng)該為3勝2平或4勝1負(fù).

故選：D.

2.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如表所示，則29)=()

8910

P0.36a0.33

A.0.69B.0.67C.0.66D.0.64

【答案】D

【分析】根據(jù)所有事件概率和為1,從而得到?(429).

【詳解】PqN9)=1-尸(9=8)=1-0.36=0.64,

故選：D.

3.一用戶在打電話時(shí)忘了號碼的最后四位數(shù)字，只記得最后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5,于是他隨機(jī)

撥最后四位數(shù)字(兩兩不同)，設(shè)他撥到所要號碼時(shí)已撥的次數(shù)為。，則隨機(jī)變量。的所有可能取值的種數(shù)為

()

A.24B.20C.18D.12

【答案】A

【分析】利用排列問題的運(yùn)算求解即可.

【詳解】由于后四位數(shù)字兩兩不同，旦都大于5,

因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列，故有A：=24種.

故選：A

4.隨機(jī)變量J的分布列如表所示,且〃?+2〃=1.2,則-=()

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.4C.0.2D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及所給條件得到方程組，解得即可.

【詳解】依題意〃?+〃+0.1+0.1=1,又加+2〃=1.2,解得〃=0.4,〃?=0.4.

故選：B

5.已知隨機(jī)變量4=1231(4=,)=(，則~偌=2)=()

\_

A.-B.-C.一D.

9643

【答案】D

【分析】由隨機(jī)變量分布列的性廉求出〃，即可求出尸(4=2).

【詳解】隨機(jī)變量4的分布列為Pq=i)=l(i=1,2,3),

故選：D.

6.隨機(jī)變量J的所有可能的取值為123,4,5,且。代=攵)=成,仔=123,4,5),則。的值為()

A.—B.—C.30D.15

3015

【答案】B

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概率和為1，列出方程即可求解.

【詳解】隨機(jī)變量4的所有可能的取值為123,4,5,且P椿=。=成,(攵=1,2,3,4,5),

a+2a+3a+4。+5。=1,15a=1,.*.。.

故選：B.

7.已知"回0,1),離散型隨機(jī)變量4的分布列如下表，若=則E3)=()

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分機(jī)《工和加>，分類討論，再結(jié)合概率之和為0求出〃，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公

66

式求解即可.

1I(1A511

【詳解】若3〃?。?，即加4：時(shí)，則Pf<-=加+百=三，機(jī)=-二不符合；

26J12

若3〃7>[，即加>」時(shí),p\^-\=加=；，符合，則"1+怖+〃=1,〃=：,

26;乙1、1，4

貝！1E（^）=0x/n+3/??x-^5111

一十一

12212

故選：C

8,設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，則尸(|X-3|=1)=()

【答案】D

【分析】根據(jù)分布列概率之和為1,再根據(jù)X的取值可求得答案.

【詳解】因?yàn)閨X—3|=1,所以X=2或X=4,

所以尸(|X-3|=1)=尸(X=2或X=4)=P(X=2)+P(X=4)=/〃+[=l_；=；.

故選:D.

9.已知隨機(jī)變量X的分布列如表(其中“為常數(shù))，則下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

X0123

p0.20.30.4a

A.。=0.2B.P（X>2）=0.7

C.E（X）=1.5D,D（X）=0.84

【答案】D

【分析】先由0.2+0.3+0.4$a=L求得〃=0」，再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：由0.2+0.3+0.4+。=1,解得。=0.1,

貝lJP（X22）=0.4+0.1=0.5,

E（X）=0x0.2+1x03+2x0.4+3x0.1=1.4,

0（X）=（0-1.4）2x0.2+（1-1.4『x0.3+（2-1.4）2x0.4+（3-1.4）2x0.1=0.84,

故選：D

10.若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則+〃的最小值為（）

X0123

￡_1_

Pab

44

【答案】C

【分析】先利用分布列的性質(zhì)得到的關(guān)系式與范圍，再利用基本不等式即可得解.

【詳解】依題意，得。之01*0,且1+4+1+0=1,即〃

442

1

2從

+IA

所以2(/+/)?(〃+匕)2=8-

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

4

所以/+"的最小值為

O

故選：C.

11.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則石（5X+4）=（）

X024

P0.3a0.5

A.16B.11C.2.2D.2.3

【答案】A

【分析】根據(jù)所有概率之和為1求得。=0.2,再根據(jù)均值的計(jì)算公式可求得E（X）,進(jìn)而根據(jù)

E（5X+4）-5K（X）十4可求解.

【詳解】因?yàn)?.3+。+0.5=1,所以。=0.2.

所以五（X）=0x0.3+2x0.2+4x0.5=2.4,

故E（5X+4）=5E（X）+4=5x2.4+4=16.

故選：A

12.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=l)=0.2,令y=3X-2,則。"=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出P(X=O),貝I］尸(y=-2)=p：x=o).

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸(X=l)=0.2,

所以P(X=0)=]_P(X=l)=l_Q2=0.8,

由y=3X—2,所以P(y=-2)=P(X=0)=0.8.

故選：D

13.隨機(jī)變機(jī)斐的分布列如下表,且E(y)=3,則。(3丫-5)=()

C.40D.45

【答案】D

【分析】由概率和為1列方程求出〃?的值，再由ay)=3可求出。的值，然后由方差公式求出o(y),再由

方差的性質(zhì)可求出結(jié)果.

【詳解】由題意得!+〃?+!=i,得〃?二!，

632

所以E(y)=0x，+2x4+9=3,解得"6,

o23

所以0(y)=(0-3)2x，+(2-3)Y+(6-3)*=5,

623

所以0(3y-5)=32￡)(y)=9x5=45

故選：D.

14.隨機(jī)變量X的分布列為

則力")=()

II93

A.—B.-C.D.

168164

【答案】A

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出口再根據(jù)方差公式可求出結(jié)果.

【詳解】由＜+?+〃=1,得〃=：,

244

E(X)=\x-+2x-+3x-=-f

2444

D(X)=(1-4X1+(2,Z)2X1+(3-2)2X1=21.

42444416

故選：A

【答案】A

【分析】由分布列的性質(zhì)和期望的定義求乂匕再根據(jù)方差的定義求。(/.

【詳解】由分布列性質(zhì)，得力＞=}.

又E⑷=?,得2x+3.y=”，可得=

OOOO

1

所以0(9=]X+355

8-x—=—

864

故選：A.

二、多選題

16.隨機(jī)變量x和八其中y=i2X+7,且E(y)=34,若x的分布列如表:

XI234

9

B.E(X)=-

C.m=-D.z:=-

33

【答案】BCD

【分析】先利用均值的性質(zhì)根據(jù)E(y)求出E(x),再根據(jù)分布列求出隨機(jī)變量X的均值和〃什〃的值，聯(lián)

立即可求解.

112

【詳解】根據(jù)分布列可知機(jī)+〃=1-彳-不=鼻①，

O

因?yàn)閥=12X+7,所以E(y)=12E(X)+7=34,解得E(X)=：,

11Q5

又由分布歹I］可得lxw+2x〃?+3x〃+4x方=1,整理得2用+3〃=：②,

①@聯(lián)立解得機(jī)=；,“J,

故選：BCD

17.己知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：

X012

Pa4a5a

下列選項(xiàng)中正確的是()

A.。的值為0.1B.E(X)=0.44C.E(X)=L4D.O(X)=1.4

【答案】AC

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望公式、方差公式計(jì)算可得答案.

【詳解】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：a+4a+5a=1,解得。=0.1,故A正確;

E(X)=OxO,l+lxO.4+2xO.5=1,4,故B錯(cuò)誤，C正確；

D(X)=(0-1.4)2x0.1+(1-1.4)2x0.4+(2-1.4)2x0.5=0.44,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

18.隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-1012

P0.10.1a0.5

則下列說法正確的是（）

A.a=0.2B.P（|X|=l）=0.4C.E（X）=1.2D.O（X）=2.4

【答案】BC

【分析】對于A,根據(jù)所有概率和為1,可求出〃，對于B,由P（|X|=1）=P（X=1）+P（X=-1）求解，對

于C利用期望公式求解，對于D,利用方差公式求解.

【詳解】對于A,由題意得（）.1+0.1+。+（）.5=1,得〃=0.3,所以A錯(cuò)誤，

對于B,P（|X|=1）=P（X=1）+P（X=-1）=034-0.1=0.4,所以B正確，

對于C,E（X）=-1x0.1+0x0.14-1x0.3+2x0.5=1.2,所以C正確，

對于D,D（X）=0.lx（-l-1.2）2+0.1x（0-1.2）2+0.3x（I-1.2）2+0.5x（2-1.2）2=0.96,所以D錯(cuò)誤，

故選：BC

19.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P（X=0）=：,則下列結(jié)論正確的有（）

3

A.P(X=1)=^

33

C.E（2X+l）=-D.D（2X+1）=-

【答案】ABD

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義以及期望，方差的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，p（x=o）=l,所以P（X=1）=；,

故E（X）=：,0（X）=彳乂^=而，因此，E（2X+l）=2E（X）+l=2x：+l=j

D（2X+l）=4D（X）=4x—=^,所以正確的是ABD.

故選：ABD.

20.隨機(jī)變量X的分布列為（）

若E(X)=1,則()

A.n=—B.D(X)=；

4

C.ZX2X+1)=4D.E(2X+1)=3

【答案】ABD

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式得到方程組，求出〃?、打的值，再求出方差，最后利用期望、方差

的性質(zhì)求出42X+1)、O(2X+1),即可判斷.

/〃+〃+—=1

01

【詳解】由題可知，”1,解得加=〃==,故A正確.

I4

0x/〃+1x—+2〃=1

2

222

D(X)=1X(0-1)+1X(1-1)+1X(2-1)=1,故B正確.

D(2X+1)=4D(X)=2,故C錯(cuò)誤.

￡(2X+1)=2E(X)+1=3,故D正確.

故選：ABD

21.隨機(jī)變量X服從以下概率分布：

A.a=—B.b=-C.E(3X-1)=3D.Q(X)=g

66

【答案】AD

【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，以及均值的計(jì)算公式，建立方程組，可得參數(shù)的值，根據(jù)均值的性

質(zhì)以及方差的計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】由題意，!+a+b+—=1,貝?。荨?〃="!■；

362

貝崎+2〃=』.

6

1

a=-

由方程組%解得:

4+2〃=二b=—

6

227

E(3X-1)=3E(X)-1=2,D(X)=F(X)-E(X)=l+l+^+|

3

故選：AD.

三、填空題

22.已知隨機(jī)變量X的分布列如下:

X01234

P0.10.20.4X0.1

則P(1WXW3)的值為.

【答案】0.8

【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由隨機(jī)變量X的分布歹U可知01+0.2+0.4+x+0.1=l=x=0.2,

所以P(l?X43)=P(X=l)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.4+0.2=0.8,

故答案為：0.8

23.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表:

X0123

1

P

3126

若離散型隨機(jī)變量y=2x+i,則E*)=

【答案】胃23

O

【分析】先求出隨機(jī)變量X=2的概率，再求出E(x),最后根據(jù)性質(zhì)求出￡(y)即可.

【詳解】設(shè)隨機(jī)變量X=2的概率為：X,

貝』十」一十人十」?=I—＞人5

312612

所以￡(X)=1x°+Axl+

12612

由y=2x+i,

所以E(y)=E(2X+l)=2E(X)+l=2x—17+l=2」3

126

故答案為：r23.

O

24.離散型隨機(jī)變最X的分布為:

X0\245

pq0.30.20.20.1

若離散型隨機(jī)變量丫滿足y=2x+i,則下列結(jié)果正確的為.

①E(x)=2；②E(y)=4；③。(X)=2.8：④?！?=14.

【答案】①③

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得。/=0?2,利用期望和方差的公式，求得E(X),O(X)的值，進(jìn)而根據(jù)

r=2x+i,進(jìn)而求得￡(y),o(y)的值，即可求解.

【詳解】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，可得4=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2,

貝I]F(Y)=0x0.2+1x03+2x0.7+4x0.2+5x0.1=?.,

O(X)=(0-2『x0.2+(l-2)2x0.3+(2-2)2x0.2+(4-21x0.2-(5-2)2x0.1=2.8,

所以①③正確；

又由離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,所以七(y)=2E(X)+l=4+l=5,

仇y)=22￡>(X)=4x2.8=11.2,所以②?錯(cuò)誤，

故答案為：①③.

25.從放有6黑3白共9顆珠子的袋子中抓3顆珠子，則白珠救數(shù)的期望為.

【答案】1

【分析】設(shè)所取的三顆珠子中白珠的顆數(shù)為X,由條件確定X的分布列，再由期望公式求期望.

【詳解】設(shè)所取的三顆珠子中白珠的顆數(shù)為X,則X的取值有2,3,

唳=°)=.，?(X力置0P(X=2)=警々，?(X=3)[4,所以隨機(jī)變量

的分布列為

X0123

51531

P

21281414

隨機(jī)變量X的期望5⑶4^+以或?乂於會(huì)小口,

212o14o4

所以白珠顆數(shù)的期望為1,

故答案為：1.

26.設(shè)隨機(jī)變量&的概率分布為電=&）=彖，。為常數(shù)，k=l,2,3,4,貝心二

【答案燃

【分析】由概率之和為1以及數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】由題意知：隨機(jī)變量4的所有可能取值的概率和為1,

17aaa.

即nn5+級+百十吩，

由等比數(shù)列的求和公式，W1+±+±+±=2L_HLJ=I5,

22；2324「I16

2

所以3=1,得。=]

1615

故答案為：2

27.北京市某銀行營業(yè)點(diǎn)在銀行大廳懸掛著不同營業(yè)時(shí)間段服務(wù)窗口個(gè)數(shù)的提示牌，如圖所示.設(shè)某人到

達(dá)銀行的時(shí)間是隨機(jī)的，記其到達(dá)銀行時(shí)服務(wù)窗口的個(gè)數(shù)為X,則￡（X）=.

服務(wù)商口提示

9:00/0:00

10:00-11:30tttt

ll:30J4:00ttt

14:00-16:00

16:00-17:00fl

【答案】3.5625

【分析】列出隨機(jī)變量的分布列求解.

【詳解】由題意銀行營業(yè)時(shí)長為8小時(shí)，可得到達(dá)銀行時(shí)服務(wù)窗口的個(gè)數(shù)X的分布列為

則E（X）=5x-+4x^-+3xA+4xl+2x-=3.5625.

8161648

故答案為：3.5625

28.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

p0.20.3a（）.1

則D(2X+7)=.

【答案】3.36

【分析】利用分布列的性質(zhì)求出a,然后求解期望與方差即可.

【詳解】解：由題意可得0.2+0.3+a+0.1=l,解得a=0.4,

???E（X）=lx0.2+2x0.3+3x0.4+4x0.1=2.4,

AD（X）=（1-2.4『*0.2+（2-2.4）2x0.3+（3-2.4）2x0.4+（4-2.4）2x0.1=0.84,

???D（2X+7）=22-D（X）=4x0.84=3.36.

故答案為：3.36.

29.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X-1012

P0.10.20.30.4

則隨機(jī)變量r=x2的數(shù)學(xué)期望七位)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意求出犬的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知，X?的取值為0,1,4,

貝lJP(X2=0)=().2,

P(X2=1)=P(X=±1)=0.3+0.1=0.4,

P(X2=4)=P(X=2)=0.4,

X2014

P0.20.40.4

E(r)=￡：(x2)=0x0.2+1x04+4x0.4=2.

故答案為：2.

四、解答題

30.某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:

X45678910

P0.020.050.060.08mm0.21

(1)求用的值.

⑵求此射手“射擊一次命中的環(huán)數(shù)48”的概率.

【答案】⑴利=0.29

(2)0.5

【分析】(1)根據(jù)分布列中的概率和為1可構(gòu)造方程求得結(jié)果；

(2)由分布列中對應(yīng)的概率，結(jié)合對立事件概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1).0.02+0.05+0.06+0.08+2m+0.21=1,.\m=0.29.

(2)此射手“射擊一次命中的環(huán)數(shù)48"的概率〃=1-0.21-，〃=1-0.21-0.29=0.5.

31.一盒中裝有大小和質(zhì)地相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從該盒中任取2球，記隨機(jī)變量X表示從該盒

中取出的紅球個(gè)數(shù).

⑴求隨機(jī)變量X的分布列：

(2)求隨機(jī)變量X的期望和方差.

【答案】(1)見解析

⑵期望為三4方差為白9

【分析】(1)先寫出隨機(jī)變量X的所有可能取值，分別求概率，即可得到隨機(jī)變量X的分布列;

(2)由⑴所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出隨機(jī)變量X的期望和方差.

【詳解】(1)由題可知，隨機(jī)變量X可能的取值有01，2,

所以蛆=。)喈磊P(XT=詈哈P(X=2)喑*,

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

(2)由⑴的分布列得E(X)=0x.+lx/+2x.=g

11Vz1Ky。

4丫19

D(Y)=4+2

(°4)*5)1025

32.每年9月第三個(gè)公休日是全國科普日.某校為迎接2023年全國科普日，組織了科普知識競答活動(dòng)，要求每

位參賽選手從4道“生態(tài)環(huán)保題”和2道“智慧生活題”中任選3道作答（每道題被選中的概率相等），設(shè)隨機(jī)變

量X表示某選手所選3道題中“智慧生活題”的個(gè)數(shù).

⑴求該選手恰好選中一道“智慈生活題”的概率；

⑵求隨機(jī)變量X的分布列及方差D（X）.

【答案】⑴|;

、2

⑵隨機(jī)變量x的分布列見解析，Q（X）=M.

【分析】（1）設(shè)該選手恰好選中一道“智慧生活題”為事件A,利用古典概型求解即可.

（2）由題意可知4=0」,2；求出概率可得到4的分布列，再由方差公式即可求得方差.

【詳解】（1）設(shè)該選手恰好選中一道“智慧生活題”為事件A,則選中2道“生態(tài)環(huán)保題”，

GC=3

則P（A）=

C5

（2）由題意可知X=0」,2；

C31

則p（x=o）寶=7

P（X=I）=等=|，

尸（X=2）=等+

所以4的分布列為:

I3i

歲的期望E（X）=OX1+1X￡+2X9=1,

D（X）=（0-I）2X1+（1-1）2X|+（2-1）2X1=|.

33.在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點(diǎn)大

學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試.已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過亞試的概率分別為p,

復(fù)試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過第試的概率為上.

12

⑴求〃的值；

（2）設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過復(fù)試的人數(shù)為X,求隨機(jī)變最X的分布列.

2

【答案】（l）P=：

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合對立事件的概率，列式計(jì)算，可得答案.

（2）確定隨機(jī)變量X的取值，求得每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可得分布列.

【詳解】（1）因?yàn)榧祝?，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為

（\\（1A17

所以（1_5卜0_5卜（1_〃）=f，則〃=；.

（2）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.

P（x=o）*

D/v1\1（.n（.2}（.1）1（.2\（.\}J“21

''2I2八3八2）2II2八2>133

P（X=3）=-x-x—=—,

',2236

'7123612

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

15\_

P

123126

34.某高校在今年的自主招生考試中制定了如下的規(guī)則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3

道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進(jìn)入面試.已知考生甲能正確完成6

道試題中的4道題，另外2道題不能完成.

⑴求考生甲能通過筆試進(jìn)入面試的概率；

（2）記所抽取的三道題中考生甲能正確完成的題數(shù)為4，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

4

【答案】（1）W

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2

【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可

【詳解】（1）考生從6道備選試題中一次性抽取3道題所包含的基本事件總數(shù)為C：=20,考生甲能通過筆

試進(jìn)入面試所包含的基本事件個(gè)數(shù)為C：+C；C；=16,

所以考生甲至少正確完成2道題的概率為卷=：；

（2）隨機(jī)變量4的所有可能取值為1,2,3,

罟="（。=2）=罟=|,尸值=3）=

貝"（4=1）=

或5

所以4的分布列為:

35.某網(wǎng)約車司機(jī)統(tǒng)計(jì)了自己一天中出車一次的總路程X（單位：km）的可能取值是20,22,24,26,28,

30,它們出現(xiàn)的概率依次是次1,0.2,0.3,0.1,t,2t.

（1）求X的分布列，并求X的均值和方差:

⑵若網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下：起步價(jià)為5元，行駛路程不超過3km時(shí)，收費(fèi)5元，行駛路程超過3km時(shí)，則

按每超出1km（不足1km也按1km計(jì)程）收費(fèi)3兀計(jì)費(fèi).試計(jì)算此人一大中出車一次收入的均值和方差.

【答案】⑴分布列見解析，￡（X）=25,Z）（X）=10.6；

⑵均值為71元，方差為95.4.

【分析】（1）利用概率和為1求出，的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；

（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則y=3（X-3）+5=3X-4,然后利用期望方差的性質(zhì)可算出

答案.

【詳解】（1）由題意，得0.1+0.2+0.3+0.1+/+2f=l..\/=0.1.

???X的分布列為

X202224262830

P0.10.20.30.10.10.2

???E(X)=20x0.1+