線代復(fù)習(xí)課 歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫(kù)研發(fā)工作室QQ群：928812498

1復(fù)習(xí)主要內(nèi)容:行列式;矩陣;向量組及其線性相關(guān)性;線性方程組;矩陣對(duì)角化;二次型及其有定性.歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫(kù)研發(fā)工作室QQ群：928812498班級(jí)集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級(jí)便宜?。【芙^高價(jià)壟斷?。?！請(qǐng)各班學(xué)委/班長(zhǎng)先聯(lián)系群主哦！湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23一、行列式要求:熟悉行列式的定義,性質(zhì),行列式展開(kāi).會(huì)計(jì)算排列的逆序數(shù),會(huì)確定行列式中某一項(xiàng)的符號(hào)會(huì)用行列式的性質(zhì),展開(kāi)定理計(jì)算行列式例是2階矩陣且，則排列6754231的逆序數(shù)為:六階行列式中,項(xiàng)的符號(hào)為4

例四階方陣，其中

均為四維列向量，且則（）解則51．用行列式的性質(zhì)

行列式計(jì)算方法計(jì)算階行列式：行和相等類(lèi)型.對(duì)低階行列式的計(jì)算,用行列式的性質(zhì)化為上三角行列式.2.行列式按行按列展開(kāi).6二、矩陣要求:熟悉矩陣的定義,運(yùn)算(含分塊運(yùn)算),逆矩陣,矩陣方程,矩陣秩,初等變換.會(huì)矩陣的各種運(yùn)算,會(huì)計(jì)算矩陣的逆,會(huì)解簡(jiǎn)單的矩陣方程;會(huì)求矩陣的秩,會(huì)用初等變換化矩陣為階梯型掌握可逆矩陣的各種關(guān)系特別注意:矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律,消去律.7n階方陣A可逆的一些充分必要條件A可逆當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=n;當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值不等于0;

當(dāng)且僅當(dāng)A的列(行)向量組線性無(wú)關(guān);當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組Ax=0只有零解;當(dāng)且僅當(dāng)A的伴隨矩陣可逆;當(dāng)且僅當(dāng)A與單位矩陣等價(jià)8例A,B為三階方陣,且，其中求

解法:1直接求出矩陣A,再求2直接分解出矩陣因式A-E,由已知分解因式,得9例已知其中求

解法:1直接求出矩陣2左乘矩陣A,化簡(jiǎn)方程,得出同樣的結(jié)論10例初等行變換化矩陣為階梯型11三.向量組的線性相關(guān)性掌握向量組的線性相關(guān),線性無(wú)關(guān),線性組合,線性表示的定義,性質(zhì),判定方法．會(huì)求向量組的秩,向量的最大無(wú)關(guān)組,并用最大無(wú)關(guān)組線性表示其余向量.A的列向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)Ax=0有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)某一向量是其余向量的線性組合,當(dāng)且僅當(dāng)A的秩小于A的列數(shù).A的列向量組線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)Ax=0只有零解，當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有一向量能由其余向量的線性表出,當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于A的列數(shù).12線性組合與線性表示能由向量組線性表示當(dāng)且僅當(dāng)非齊次線性方程組有解向量當(dāng)且僅當(dāng)向量組與向量組等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)向量組與向量組的秩相同.13秩的求法把向量組作為列向量組成矩陣，求矩陣的秩;最大線性無(wú)關(guān)組的求法把向量組作為列向量組成矩陣，化矩陣為階梯型矩陣，每個(gè)階梯上第一個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量組即為其中一個(gè)最大無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組線性表出其余向量把向量組作為列向量組成矩陣，化矩陣為行最簡(jiǎn)型后，觀察得出.14例求向量組,的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用極大無(wú)關(guān)組線性表出其余向量。1.p為何值時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)；2.p為何值時(shí)，向量組線性相關(guān).例15四.線性方程組掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件.非齊次線性方程組有解的充分必要條件.掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu).會(huì)求基礎(chǔ)解系.Ax=0只有零解當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于未知量的個(gè)數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于A的列數(shù).Ax=0有非零解當(dāng)且僅當(dāng)A的秩小于未知量的個(gè)數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)A的秩小于A的列數(shù).16

當(dāng)Ax=0有非零解時(shí),解向量對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算是封閉的.其解空間的維數(shù)等于n-r(A).即基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n-r(A).

Ax=b有解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,且分別得到方程組有唯一解及無(wú)窮多解.

當(dāng)Ax=b有解時(shí),其解之差為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.17線性方程組的解法求的解,化系數(shù)矩陣A為最簡(jiǎn)行階梯型,由系數(shù)矩陣的秩及A的列數(shù)確定基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù),寫(xiě)出基礎(chǔ)解系,得到方程組的通解.求的解,化增廣矩陣為最簡(jiǎn)行階梯型,由增廣矩陣的秩及A的秩確定方程組是否有解,有解時(shí)是唯一解還是無(wú)窮多解.當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí),確定基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù),得到方程組的通解.18當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解，有解？在有解時(shí)求出所有解？19五.相似矩陣熟悉方陣的特征值與特征向量的定義,性質(zhì)及求法;熟悉矩陣對(duì)角化的充分必要條件,會(huì)把方陣對(duì)角化;會(huì)用正交變換化對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣;熟悉相似矩陣保持的矩陣不變性;理解正交矩陣20方陣的特征值與特征向量

有非零解,為屬于特征值的特征向量.則特征值為特征方程的特征向量為的所有非零解.為A特征值,非零向量x的根,屬于特征值21若A有特征值則kA有特征值有特征值A(chǔ)可逆時(shí),有特征值有特征值有特征值進(jìn)一步,可得等的一個(gè)特征值.22相似矩陣相似矩陣有相同的秩,相同的行列式,相同的特征值.但相似矩陣的相同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量通常不同.若A與B相似,則特征值的特征向量分別為且,若的非零解.而23為三階矩陣,為線性無(wú)關(guān)的三維列向量，且，.求，使2.證明相似，并求的特征值；例3.求可逆矩陣P,使為對(duì)角矩陣.

解1.由得B.242.由線性無(wú)關(guān),則矩陣可逆則A與B相似.則A的特征值等于B的特征值.3.求可逆矩陣Q,使則可得25例設(shè)相似,求

解:由A與B相似,則

得方程組,解得.26二次型及其有定性會(huì)準(zhǔn)確寫(xiě)出二次型的矩陣A,會(huì)求二次型的秩與慣性指數(shù),會(huì)用可逆的線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,會(huì)判定二次型的有定性.1.寫(xiě)出二次型的矩陣A,求A的特征值及對(duì)應(yīng)的兩兩正交的單位特征向量;2.配方.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法27二次型的有定性的判定1.定義判定.3.A負(fù)定當(dāng)且僅當(dāng)-A正定,得到負(fù)定的充分必要條件;4.類(lèi)似得到對(duì)稱(chēng)矩陣A