2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.1-3.1.2變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的概念課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十三)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均改變率是()A．1 B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.]2．已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均改變率為eq\r(3)，則下面敘述正確的是()A．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,6)B．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)C．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\r(3)D．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\f(\r(3),3)B[函數(shù)f(x)從x1到x2的平均改變率就是割線AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，選B．]3．若質(zhì)點(diǎn)A根據(jù)規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．6 B．18C．54 D．81B[因?yàn)閑q\f(Δs,Δt)＝eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝eq\f(18Δt＋3Δt2,Δt)＝18＋3Δt，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝18.]4．已知物體作自由落體運(yùn)動(dòng)的位移方程為s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)，當(dāng)Δt趨于0時(shí)，v趨近于9.8m/s，則9.8m/s是()A．物體從0s到1s這段時(shí)間的平均速度B．物體從1s到(1＋Δt)s這段時(shí)間的平均速度C．物體在t＝1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度D．物體在t＝Δts這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度C[由瞬時(shí)速度的定義可知選C．]5．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0旁邊有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC[因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(a＋bΔx)＝a.]二、填空題6．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在[－2，1]上的平均改變率為_(kāi)_________；函數(shù)f(x)在[－2，3]上的平均改變率為_(kāi)_________．eq\f(2,3)eq\f(4,5)[從題圖中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函數(shù)f(x)在[－2,1]上的平均改變率為eq\f(f1－f－2,1－－2)＝eq\f(1－－1,3)＝eq\f(2,3)，函數(shù)f(x)在[－2,3]上平均改變率為eq\f(f3－f－2,3－－2)＝eq\f(3－－1,5)＝eq\f(4,5).]7．國(guó)家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前對(duì)甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測(cè)結(jié)果如圖所示．治污效果更好的企業(yè)是(其中W表示排污量)__________．甲企業(yè)[eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(Wt1－Wt2,Δt)，在相同的時(shí)間內(nèi)，由圖可知甲企業(yè)的排污量削減的多，∴甲企業(yè)的治污效果更好．]8．對(duì)于函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))[設(shè)導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是(x0，f(x0))，則f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由題意知f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，從而y0＝eq\f(1,4).]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均改變率eq\f(Δy,Δx)；(2)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均改變率eq\f(Δy,Δx).[解]f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×xeq\o\al(2,1)＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)當(dāng)x1＝4，Δx＝1時(shí)，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)當(dāng)x1＝4，Δx＝0.1時(shí)，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.10．蜥蜴的體溫與陽(yáng)光的照耀有關(guān)，已知關(guān)系式為T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15，其中T(t)(單位：℃)為蜥蜴的體溫，t(單位：min)為太陽(yáng)落山后的時(shí)間．(1)從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫下降了多少？(2)從t＝0到t＝10，蜥蜴體溫的平均改變率是多少？它代表什么實(shí)際意義？(3)求T′(5)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義．[解](1)T(10)－T(0)＝eq\f(120,10＋5)＋15－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15))＝－16，即從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫下降了16℃(2)從t＝0到t＝10,蜥蜴的體溫的平均改變率是eq\f(T10－T0,10－0)＝eq\f(－16,10)＝－1.6℃/min，它表示從t＝0到t＝10這段時(shí)間內(nèi)，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6℃(3)因?yàn)閑q\f(T5＋Δt－T5,Δt)＝eq\f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,5＋5)＋15)),Δt)＝－eq\f(12,10＋Δt)，所以當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，－eq\f(12,10＋Δt)趨近于－1.2，即T′(5)＝－1.2，它表示當(dāng)t＝5時(shí)，蜥蜴體溫的下降速度為1.2℃1．函數(shù)y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx>0)之間的平均改變率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均改變率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系是()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不確定A[k1＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝eq\f(2x0Δx－Δx2,Δx)＝2x0－Δx，因?yàn)棣>0，所以k1>k2.]2．設(shè)函數(shù)f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)存在，則eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝()A．－2f′(2) B．2C．－eq\f(1,2)f′(2) D．eq\f(1,2)f′(2)C[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)存在，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(2)．]3．如圖所示，水波的半徑以1m/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為5m時(shí)，水波面的圓面積的膨脹率是__________m2/s.10π[圓的半徑r與時(shí)間t的關(guān)系為r＝tm，則圓的面積y＝πr2＝πt2，當(dāng)r＝5m時(shí)，t＝5s，Δy＝π(5＋Δt)2－π×52＝π(Δt)2＋10πΔt，eq\f(Δy,Δt)＝πΔt＋10π，所以y′|t＝5＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(πΔt＋10π)＝10π.]4．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿意eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，則f′(0)等于________．－1[f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f(0)＝0，又eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx－0)＝－1，∴f′(0)＝－1.]5．若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移：m，時(shí)間：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②)).求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．[解](1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間改變量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移改變量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0的瞬時(shí)速度．∵物體在t＝0旁邊的平均改變率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時(shí)改變率為eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時(shí)的瞬