2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量初步6.1.2向量的加法訓練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6-第六章6.16.1.2請同學們仔細完成[練案24]A級基礎鞏固一、選擇題1．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于(C)A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))[解析]原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up6(→))．2．下列等式中不正確的是(C)A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC．|a＋b|＝|a|＋|b| D．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))[解析]當a與b方向不同時，|a＋b|≠|a|＋|b|．3．若a、b為非零向量，則下列說法中不正確的是(B)A．若向量a與b方向相反，且|a|＞|b|，則向量a＋b與a的方向相同B．若向量a與b方向相反，且|a|＜|b|，則向量a＋b與a的方向相同C．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與a的方向相同D．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與b的方向相同[解析]∵a與b方向相反，且|a|＜|b|時，a＋b與a的方向相反，a＋b與b的方向相同，故B不正確．4．a、b、a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則(C)A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不對[解析]由向量加法的平行四邊形法則知，若a＋b平分a與b的夾角，則四邊形是菱形，因此|a|＝|b|．5．(多選題)如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則(AC)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0[解析]∵D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，∴DE∥AC，DF∥BC．∴四邊形DECF是平行四邊形．∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))．又eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，故選A正確；同理對于選項B，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))，故選B錯誤；對于選項C，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝0，故C正確；對于選項D，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))．故D錯誤．二、填空題6．如圖所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝__eq\o(OC,\s\up6(→))__．[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))．7．依據(jù)下圖填空：b＋c＝__a__;a＋d＝__f__；b＋c＋d＝__f__;f＋e＝__b__；e＋g＝__δ__．[解析]由向量加法的多邊形法則可知．8．已知|a|＝3，|b|＝5，則向量a＋b模長的最大值是__8__．[解析]∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，∴|a＋b|的最大值為8．三、解答題9．如圖所示，求：(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；(4)c＋f＋B．[解析](1)a＋d＝d＋a＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))．(2)c＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))．(4)c＋f＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))．10．如圖，在△ABC中，O為重心，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))．(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))．(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．a、b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則(A)A．a∥b，且a與b方向相同 B．a、b是共線向量C．a＝－b D．a、b無論什么關系均可[解析]當兩個非零向量a與b不共線時，a＋b的方向與a、b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|；向量a與b同向時，a＋b的方向與a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a與b反向且|a|＜|b|時，a＋b的方向與b的方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．2．如圖，正六邊ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(B)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]連接CF，取CF中點O，連接OE，CE．則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))．3．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD肯定是(D)A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四邊形[解析]在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形．4．(多選題)設a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是任一非零向量，則在下列結論中，正確的為(AC)A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|[解析]因為a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.所以AC正確．二、填空題5．如圖所示，已知在矩形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝C．則|a＋b＋c|＝__8eq\r(3)__．[解析]a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))．延長BC至E，使CE＝BC，連接DE，由于eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，CE綊AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，∴|a＋b＋c|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8eq\r(3)，故答案為8eq\r(3)．6．在靜水中劃船的速度是20m/min，水流速度是10m/min，假如船從岸邊動身，徑直沿垂直于水流的方向到達對岸，則船行進的方向與對岸水平線夾角的正切值為__eq\r(3)__．[解析]如圖，設eq\o(AB,\s\up6(→))為水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))為劃船的速度，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，其中eq\o(AC,\s\up6(→))為船垂直到達對岸的速度，即為船速與水速的和速度，在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝20，∴tan∠ABC＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|2－|\o(AB,\s\up6(→))|2)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(202－102),10)＝eq\r(3)，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝eq\r(3)．三、解答題7．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC．求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))．因為eq\o(PB,\s\up6(→))和eq\o(QC,\s\up6(→))大小相等、方向相反，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))．8．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O且|eq\o(AB,\s\up