2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．過點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為（

）A． B．C． D．2．已知向量，，若，共線，則（）A． B． C． D．3．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓：的面積為，焦距為，則C的離心率為（）A． B． C． D．4．已知四面體如圖所示，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則（）A． B．C． D．5．已知，且點(diǎn)，，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且M在x軸上的射影為F，若，則C的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．若一束光線從點(diǎn)處出發(fā)，經(jīng)過直線上一點(diǎn)反射后，反射光線與圓交于點(diǎn)，則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)經(jīng)過的最短路線長為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則（）A． B．C． D．10．已知點(diǎn)，直線，圓，則（

）A．直線的一個(gè)方向向量為B．點(diǎn)到直線的距離為C．圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為D．直線被圓截得的弦長為11．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為鈍角的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線與有相同的漸近線，且的焦距為8，則的方程為B．若，則的最小值是C．若內(nèi)切圓的半徑為1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為D．若線段的中垂線過點(diǎn)，則直線的斜率為三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓，圓，則的公切線方程為．（寫出一條即可）13．已知六面體如圖所示，其由一個(gè)三棱錐和一個(gè)正四面體拼接而成，其中，，若為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為．

14．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若和的離心率分別為，，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求的方程；(2)若直線與圓相切，求的方程．16．已知雙曲線，直線與交于兩點(diǎn)．(1)若的方程為，求；(2)若，且，求的斜率．17．如圖，長方體中，，點(diǎn)分別是線段上靠近的四等分點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．18．已知等腰梯形如圖所示，其中，，點(diǎn)在線段上，且，，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，所得圖形如圖所示．(1)證明：；(2)已知點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置）．（?。┤簦c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；（ⅱ）探究：是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長軸長為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線交其“伴隨圓”于點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”．已知橢圓上的點(diǎn)的一個(gè)“伴隨點(diǎn)”為．

(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．（?。┳C明：直線恒過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械闹本€所過的定點(diǎn)為，若在直線上的射影分別為（，為不同的兩點(diǎn)），記，，的面積分別為，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【詳解】由題意可知：直線的斜率，且過點(diǎn)，故直線的方程為，即．故選：B．2．【正確答案】A【詳解】由于，共線，所以，所以.故選：A3．【正確答案】C【詳解】由題意可得：，解得，所以．故選：C．4．【正確答案】D【詳解】由題知，.故選：D5．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題意，

因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，即直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D．6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，且M在x軸上的射影為，將代入雙曲線方程，可得，解得，所以，又，即，化簡可得，設(shè)，則，則，上式可化為，令，則，則，即，解得或（舍），即，所以，則雙曲線的漸近線方程為.故選：C7．【正確答案】C【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即對(duì)稱點(diǎn)，則，因?yàn)榉瓷涔饩€與圓交于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)為靠近的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以光線從點(diǎn)A到點(diǎn)經(jīng)過的最短路線長為．故選：C．8．【正確答案】D【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)Px,y，因?yàn)?，即，整理得．所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分．設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，，，則，可知，所以點(diǎn)的軌跡長度為．故選：D．9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，故C正確；對(duì)于D，，故，故D正確；故選：ACD．10．【正確答案】BC【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑.對(duì)于選項(xiàng)A：若直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，但直線的斜率為，兩者相矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到直線的距離，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閳A心到直線的距離，故直線被圓截得的弦長為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，依題意設(shè)雙曲線（且），即，又的焦距為8，所以，，所以的方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，直線與圓的切點(diǎn)分別為．

則，，，所以，，解得，，連接，則內(nèi)切圓半徑，，，，所以軸，點(diǎn)在第二象限，坐標(biāo)為?2,3，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，兩漸近線可寫成，設(shè)Ax1,y1，則，且，作差可得，整理得，即（*），在中，，則，故，即，將此式代入（*）得，，解得，由直線的傾斜角為鈍角知，則，故D正確．故選：BCD．12．【正確答案】，，（三個(gè)方程寫出一個(gè)即給滿分）【詳解】因?yàn)椋陌霃骄鶠?，則外切，結(jié)合圖像可知，的公切線方程為，，．故，，13．【正確答案】/【詳解】將該幾何體置于棱長為2的正方體中并以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，則異面直線與所成角的余弦值.

故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意不妨設(shè)雙曲線方程為，橢圓方程為，，則，，，則，，又，則，化簡可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，即，解得，則，又，則，所以，，即的取值范圍是.

故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率為，則，解得，故直線的方程為，即．（2）依題意，圓，若直線的斜率不存在，即直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，故圓心到直線的距離，解得，此時(shí)直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或．16．【正確答案】(1)(2)1【詳解】（1）設(shè)，；聯(lián)立得，，則，，故；（2）若，則為線段的中點(diǎn)，故，，而兩式相減可得，，故，得，則直線的斜率為1，此時(shí)直線方程為，即，所以，則，所以存在直線，使得直線的斜率為1.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)n=x,y,z為平面則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量，故點(diǎn)到平面的距離．（2）由，，可得，，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量，記平面與平面的夾角為，故．故平面與平面的夾角的余弦值為．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）存在，【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，而平面，故．?）由題意易知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，（ⅰ）因?yàn)?，則，C1,1,0，B1,0,0，，，，故，，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量，而，記直線與平面所成的角為，則；（ⅱ）由題意，設(shè)，，故，，設(shè)，，則，而，，若平面，則，解得，故當(dāng)重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，平面，此時(shí)．19．【正確答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）因?yàn)闄E圓E:x2a2+y2所以解得所以橢圓的方程為．（2）（?。┳C明：當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx聯(lián)立整理得，則，，，所以，直線的方程為，由橢圓的對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在軸上．當(dāng)時(shí)，，即直線恒過定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，也過．綜上，