2024-2025學(xué)年河北省承德市高新區(qū)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市高新區(qū)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B．1 C． D．02．平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是（）A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合4．已知一條光線從點(diǎn)發(fā)出被直線反射，若反射光線過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．異面不垂直6．若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．27．如圖，在直三棱柱中，為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）

A． B． C． D．8．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3二、多選題（本大題共3小題）9．圓（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱10．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，其中是橢圓的上頂點(diǎn)，為面積是的正三角形，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為8B．橢圓的離心率為C．的長(zhǎng)為D．的面積為11．在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（）A．平面B．C．異面直線，所成的角為D．與平面所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線，，且，則.13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，若在線段的中垂線上，且，則雙曲線的方程為.14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線平面；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓.(1)若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為和.①求四邊形面積的最小值；②當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線的方程.16．如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面.

(1)求證：(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與所成角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)到平面的距離，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線段為垂足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記線段的中點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程.(2)直線與C交于兩點(diǎn)（點(diǎn)不重合）.①求的取值范圍；②若，求.18．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.19．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長(zhǎng)為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)T(2,0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：eq\f(k1,k2)為定值．

答案1．【正確答案】B【詳解】由題意直線過(guò)圓心，則.故選：B2．【正確答案】B【詳解】由題意，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，故根據(jù)橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．【正確答案】A【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率，即，所以或重合.故選：A4．【正確答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，因此反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，方程為，即.故選：A5．【正確答案】C【詳解】以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，，又平面，平面，平面，且，直線與異面垂直．故選：C．6．【正確答案】C【分析】先根據(jù)漸近線方程求得，再由求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線C的離心率為，故選：C7．【正確答案】A【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：A．

8．【正確答案】A【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，所以，設(shè)，因?yàn)?，則在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，從而有，整理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：A.9．【正確答案】ABC【詳解】由圓的方程為，即，即圓心的坐標(biāo)為，A選項(xiàng)，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，而點(diǎn)是圓心，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線過(guò)圓心，B選項(xiàng)正確；C項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線過(guò)圓心，C選項(xiàng)正確；D項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線不過(guò)圓心，D選項(xiàng)不正確；故選：ABC.10．【正確答案】ACD【詳解】由題意：為面積是的正三角形，故且，故；的周長(zhǎng)為，故A正確；橢圓的離心率，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，由知；由余弦定理：，所以，C正確；，故D正確，故選：ACD.11．【正確答案】AC【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.對(duì)于A，因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】由，則，即.故13．【正確答案】【詳解】由過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，若在線段的中垂線上，可知，則，即，又因?yàn)?，得解得，故雙曲線方程為.故答案為.14．【正確答案】①②③【詳解】對(duì)①，如圖所示:因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的交點(diǎn)，連接，所以，而平面，平面，所以直線平面，故①正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，對(duì)②，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，平面，平，故平面，故直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，，，，，，由得，故②正確；對(duì)③，設(shè)，，，則，，由，得，得，由，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)④，由③得到的投影為，故到的距離，面積為，，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，④錯(cuò)．故①②③15．【正確答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）命題等價(jià)于到直線的距離小于，即，解得的取值范圍是.（2）①易知，所以，等號(hào)對(duì)成立，故最小值是；②因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以圓的半徑為，方程為，即，直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，平面，如圖以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

所以，所以，所以，所以.（2）設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得與所成角的余弦值為，則，又，所以，解得（負(fù)值舍去），所以存在滿足條件，所以，依題意可得，設(shè)為平面的法向量，則，設(shè)，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.17．【正確答案】(1)(2)①，②【詳解】（1）設(shè)，則，將代入，可得，即即點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）①由，聯(lián)立整理得：，由，即，化簡(jiǎn)得，故，②當(dāng)時(shí)，，解得，故.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因平面平面，平面平面,由底面是正方形，可知,且平面,則平面，又平面，故；（2）如圖，分別取的中點(diǎn)為，連接.因，則,因平面平面，平面平面,且平面，則平面，又,故可分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，于是，,設(shè)平面的法向量為，則，故可取；因,設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）由（2）建系，則,設(shè)平面的法向量為，則，故可取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1)x2－eq\f(y2,4)＝1(2)證明見(jiàn)詳解【詳解】(1)∵虛軸長(zhǎng)為4，∴2b＝4，即b＝2，∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直線MA的斜率k1