2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C． D．2．下列表達(dá)式化簡結(jié)果與相等的是（

）A． B．C． D．3．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件4．設(shè)函數(shù)．已知，且的最小值為，則（）A．1 B．2 C．3 D．45．某學(xué)校高二年級擬舉辦藝術(shù)節(jié)，要求各班級從《黃河大合唱》，《我和我的祖國》，《北京歡迎你》，《我愛你中國》和《我們走在大路上》這五首指定曲目中任選一首作為表演節(jié)目，則高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為（）A． B． C． D．6．如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．若等比數(shù)列滿足，則（）A． B．1012 C． D．10138．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題（本大題共3小題）9．對于直線與圓，下列說法正確的是（）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓不可能相切C．直線被圓截得的弦長的最小值為6D．圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為810．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．有最小值D．存在正整數(shù)，當(dāng)時，總有11．曲線是平面內(nèi)與三個定點(diǎn)和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡．則下列結(jié)論正確的有（）A．曲線關(guān)于軸對稱B．曲線上存在點(diǎn)，使得C．曲線上存在點(diǎn)，使得四邊形的周長為9D．若點(diǎn)在曲線上，則面積的最大值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則．13．寫出與圓和圓都相切的一條直線方程.14．在網(wǎng)絡(luò)加密通信中，為了確保信息安全，常常需要對密鑰進(jìn)行復(fù)雜的生成和更新操作．為生成密鑰序列，現(xiàn)定義一個簡單的加密算法，它的作用是在第輪對密鑰片段進(jìn)行一次變換．具體變換規(guī)則如下：若為奇數(shù)，則將在第輪變換中讓序列的奇數(shù)項的值增加1，偶數(shù)項的值減少；若為偶數(shù)，則將在第輪變換中讓序列的奇數(shù)項的值增加，偶數(shù)項的值減少3.若初始密鑰序列，，則加密序列的所有項之和為．（結(jié)果用含的式子表示）四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項和．若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．16．如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)若，點(diǎn)在內(nèi)，，求．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到其準(zhǔn)線的距離之和的最小值為2.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)是拋物線上不同的三點(diǎn).（?。┤糁本€過點(diǎn)，且交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求的值；（ⅱ）若直線的斜率分別為，且，求直線的斜率的取值范圍.19．若是集合的非空子集，且滿足，則稱為級好集，級好集的個數(shù)記為．其中表示集合中元素的個數(shù)．(1)求；(2)已知是一個級好集，是否存在一個級好集，滿足：中的元素之和中的元素之和？(3)是否存在末位數(shù)是999的？

答案1．【正確答案】D【詳解】因為，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】對于A,,不滿足題意；對于B,,滿足題意；對于C,,不滿足題意；對于D,具體不知.故選：B.3．【正確答案】C【詳解】因是區(qū)間上的連續(xù)曲線，由，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知必；而由不能得出，如設(shè)，顯然，但.故“”是“”的充分不必要條件.故選：C.4．【正確答案】B【詳解】由題意，因，且的最小值為，則，解得.故選：B.5．【正確答案】D【詳解】高二（1）班與高二（2）班分別從這五首曲目中任選一首作為表演節(jié)目的方法數(shù)有種，而要使兩個班抽到不同曲目，可分步完成：先讓高二（1）班選一首有5種方法，再由高二（2）班從余下的4首曲目中選一首，有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理，可知方法數(shù)有種.由古典概型概率公式，可得高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為.故選：D.6．【正確答案】B【詳解】橢圓方程，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，于是，，由得，即，故，．故選：B7．【正確答案】A【詳解】因為等比數(shù)列滿足，所以，設(shè),,,所以，,.故選：A.8．【正確答案】C【詳解】由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；若，當(dāng)時，可知，此時；當(dāng)時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當(dāng)時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.9．【正確答案】BD【詳解】對于A：可變形為，由，得，所以直線過定點(diǎn)2,3，故A不正確；對于B：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為3，由，所以點(diǎn)2,3在圓的內(nèi)部，所以與相交，不會相切，故B正確；對于C：當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時，被截得的弦長最小.此時圓心到直線的距離，所以弦長的弦長最小值為，故C不正確；對于D：圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，故D正確.

故選：BD.10．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，對于A選項，，則等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，A對；對于B選項，不妨取，則,此時，數(shù)列不單調(diào)，B錯；對于C選項，若，則對任意的，，則，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的最小值為；若，由，可得，不妨?。ㄆ渲衳為不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，為的最小項，綜上所述，的最小值，C對；對于D選項，若，不妨取，則當(dāng)時，，即；若，由，可得，取，當(dāng)時，，所以，存在正整數(shù)，當(dāng)時，總有，D對.故選：ACD.11．【正確答案】AD【詳解】設(shè)曲線上任取點(diǎn)，依題意，,代入和，可得.對于A，在方程中，用替代，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對稱，即A正確；對于B，若，則,此時曲線不存在，故B錯誤；對于C，若四邊形的周長為9，因，故得，此時曲線不存在，故C錯誤；對于D，因，故點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)（含邊界），因曲線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，此時,故當(dāng)點(diǎn)為時，的面積最大，為，故D正確.故選：AD.12．【正確答案】【詳解】因為函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則，則，所以，.故答案為.13．【正確答案】（或或，任寫一條即可，答案不唯一）【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為2,1，半徑為，兩圓心距為，故兩圓外切，兩圓圓心所在直線的方程為，即，中點(diǎn)為，切線垂直于直線，且經(jīng)過中點(diǎn)，所以切線的方程為；切線平行于直線，且到直線的距離為，設(shè)平行于直線切線方程為，則或，所以切線的方程分別為.

故（或或，任寫一條即可，答案不唯一）.14．【正確答案】【詳解】因為為偶數(shù),為奇數(shù),所以對于密鑰序列的偶數(shù)項變換規(guī)律為：,所以,則為等差數(shù)列,則在加密序列中：第2項為：,第4項為：,第6項為.所以加密序列的偶數(shù)項之和為.對于密鑰序列的奇數(shù)項變換規(guī)律為：，所以,則為等差數(shù)列，則在加密序列中：第1項為：1,第3項為：,第5項為.所以加密序列的所有奇數(shù)項之和為：.故所以加密序列的所有項之和為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）等比數(shù)列各項均為正數(shù)，可設(shè)其公比為，，解得：（舍）或，.（2）由（1）得：，，，兩式作差得：，，由得：，為遞減數(shù)列，，，即實數(shù)的取值范圍為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，則．證明：，由，得，由，得，因為平面，所以平面．（2）

由（1）可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，則,故，令，得面的一個法向量為，設(shè)二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．17．【正確答案】(1)直角三角形，理由見解析；(2).【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，化簡得，則，而，因此，又，則，所以是直角三角形.（2）由（1）知，在中，，由，得，由，得，則，，于是，在中，，由，得，在中，設(shè)，則，由正弦定理，得，即，整理得，即，解得，所以.18．【正確答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為：，設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，依題意，，所以拋物線的方程為.（2）（i）顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，又，由消去得，，，由，得，整理得，同理得，所以.（ii）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)是拋物線上，所以，所以，所以，

由消去得，則，又，由，得，即，則，解得，由，得，解得或，則所以直線的斜率的取值范圍是.19．【正確答案】(1)(2)存在(3)存在【詳解】（1）元素個數(shù)為1的好集有；元素個數(shù)為2的好集有；元素個數(shù)為3及3以上的4級好集不存在，故.（2）存在.設(shè)，則.則，設(shè)是一個元集合，且最小元素，故存在一個級好集，滿足:中的元素之和中的元素之和.（3）所有級好集可以分為以下3類：()不含元素；()含元素，且不是一元集；().易知()類中的好集即為全體級好集，()類中的好集的個數(shù)為.對于（）類中的好集，記，其中.由知，可