2024-2025學(xué)年吉林省通化市梅河口市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省通化市梅河口市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．不存在2．在長(zhǎng)方體中，若，即向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．已知向量，是平面的兩個(gè)不共線向量，非零向量是直線l的一個(gè)方向向量，則“，，三個(gè)向量共面”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，當(dāng)點(diǎn)到漸近線的距離為時(shí)，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．直線的方向向量，平面的法向量，則C．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則到的距離為D．若，則為鈍角10．已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)直線與直線平行時(shí)，B．當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，C．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線恒過點(diǎn)D．直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是411．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，（

）A．在底面上的軌跡是一條直線B．三棱錐的體積是定值C．若角是直線和平面所成角，則的最大值是D．不存在點(diǎn)，使得三、填空題（本大題共3小題）12．直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．13．已知某組數(shù)據(jù)為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，方差為6，則的值為．14．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，，分別為的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在上（異于的左、右頂點(diǎn)），的重心為G，若直線與的斜率之積為非零常數(shù)，則．四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為45°，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)若直線，且到的距離為，求的方程．16．在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱平面，，為線段AD的中點(diǎn)，為PC上的一點(diǎn)，且．(1)求直線EF與平面所成的角的正弦值；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．17．已知圓．(1)若直線AB方程為與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求．(2)在（1）的前提下，若點(diǎn)Q是圓上的點(diǎn)，求面積的最大值．18．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線PM，PN(1)求橢圓的方程；(2)若，求MN的方程；(3)記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.19．某中學(xué)舉辦科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)，報(bào)名參加科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)的同學(xué)需要通過兩輪選拔.第一輪為筆試，設(shè)有三門考試科目且每門是否通過相互獨(dú)立，至少有兩門通過，則認(rèn)為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場(chǎng)面試.面試合格者代表年級(jí)組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級(jí)甲、乙兩名學(xué)生報(bào)名參加本次競(jìng)技活動(dòng)，假設(shè)筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.(1)求甲能夠代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率；(2)求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率.

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橹本€方程為：，與軸平行，所以直線傾斜角為，故選：C2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以向量在單位正交基底下的坐?biāo)為，故選：A3．【正確答案】B【詳解】由已知雙曲線的焦距，即，所以，解得，即雙曲線方程為，則其漸近線方程為，故選：B.4．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，由于是不共線的向量，故可用作為基底表示出來，即共面，所以“必要性”成立.當(dāng)共面時(shí)，直線l可能在平面內(nèi)，故“充分性”不成立.所以是必要不充分條件.故選：B.5．【正確答案】D【詳解】圓的方程，即為，圓心，易知四邊形PACB的外接圓的直徑為PC，PC的最小值為圓心C到直線的距離，即，則四邊形PACB的外接圓的半徑為，所以四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為.故選：D6．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)可得雙曲線漸近線為，且，所以，即，又，所以，所以.故選：D7．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闄E圓，即，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)得，，因?yàn)?，四邊形的面積，即，設(shè)Mx,y，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，將代入到中得，對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：B.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，所以，，所以，所以，所以，所以，，設(shè)與所成角為，則，整理得，所以外接球的表面積為.故選：A

9．【正確答案】AC【詳解】A：對(duì)于空間向量，若，空間中任意兩個(gè)向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A對(duì)；B：因?yàn)椋?所以與不平行，故不成立，故B錯(cuò)；C：由題設(shè)，，則直線上的單位方向向量為，故，所以到直線的距離，故C對(duì)；D：當(dāng)反向共線時(shí)，也有，但此時(shí)不是鈍角，故D錯(cuò).故選：AC10．【正確答案】ACD【詳解】A：由題意，，則，對(duì)；B：由題意，，則，錯(cuò)；C：直線可化為，聯(lián)立，直線恒過點(diǎn)，對(duì)；D：由題意，直線與負(fù)半軸均有交點(diǎn)，令，則，令，則，易知，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4，對(duì).故選：ACD11．【正確答案】ABC【詳解】A：在上取，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，在和中，且，所以，則，所以，由長(zhǎng)方體性質(zhì)易得，而都在面內(nèi)，所以面，面，故，根據(jù)題設(shè)，易知，，同理可證，由且都在面內(nèi)，所以面，即面，又面面，由，只需在直線，即在底面上的軌跡是一條直線，對(duì)；B：由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征知：面，即面，所以到面的距離恒定不變，即三棱錐的體積是定值，對(duì)；C：由面，易知是直線和平面所成角的平面角，所以，要使該值最大，只需最小，顯然當(dāng)時(shí)最小，而，，且，所以，則，則，，故，對(duì)；D：由面，面，則，若存在，使，又且都在面內(nèi)，此時(shí)面，面，只需，顯然，在面上以為直徑的圓與的交點(diǎn)作為點(diǎn)，滿足，故存在點(diǎn)，使得，錯(cuò).故選：ABC12．【正確答案】【詳解】化直線方程為：，即定點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為.13．【正確答案】65【詳解】因?yàn)閤，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，所以，由，得，則，可得.故65.14．【正確答案】【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)，，則代入中，得①又因?yàn)椋?，即②比較得，，即，，又，即，解得．故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）直線的斜率是，．其方程為：，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為和，則所求三角形面積為：．（2）直線的斜率是，設(shè)其方程為，所以，得或，所以的方程為或．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）連接AC，因?yàn)榈酌媸钦叫?，?cè)棱平面，以為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量為，，，又，，而，，記直線EF與平面所成的角為，則，所以直線EF與平面所成的角的正弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，，，，，即，令，則取，易知平面，取平面的法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17．【正確答案】見詳解【詳解】(1)直線方程為,則圓心到直線的距離,直線與圓相交，(2)圓的圓心,半徑,點(diǎn)到直線的距離,點(diǎn)到直線距離的最大值為,所以面積的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由橢圓C:x2a2+得，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去得，由，得，則．，解得或，