2024-2025學年內蒙古自治區(qū)包頭市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年內蒙古自治區(qū)包頭市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．向量，，若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16]4．已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．96．過點與圓相切的兩條直線夾角為，則（

）A． B． C． D．7．在等比數(shù)列中，，其前項和為，且是和的等差中項，則（

）A． B． C． D．8．直線與直線相交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線經過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（

）A． B．C． D．10．直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內部運動，且滿足，則下列選項正確的是（

）

A．點的軌跡的長度為.B．直線與平面所成的角為定值．C．點到平面的距離的最小值為.D．的最小值為-2．11．已知，，點P滿足，則（

）A．點P在以AB為直徑的圓上 B．面積的最大值為C．存在點P使得 D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線：,:且則的值13．設，，若，則．14．已知為原點，過點的直線與圓相交于兩點，若的面積為2，則直線的方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點坐標分別為，，．（1）求邊上的中線所在的直線的方程；（2）若直線過點，且與直線平行，求直線的方程．16．已知圓經過，兩點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程．17．已知四棱錐是上一點，.(1)若是中點，證明：平面.(2)若平面,求面與面夾角的余弦值.18．已知圓上三點坐標分別為．(1)求該圓的一般方程；(2)求弦BC垂直平分線的方程；(3)求的面積．19．過點作斜率分別為，的直線，，若，則稱直線，是定積直線或定積直線．(1)已知直線：，直線：，試問是否存在點，使得直線，是定積直線？請說明理由．(2)在中，為坐標原點，點與點均在第一象限，且點在二次函數(shù)的圖象上．若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點的坐標．(3)已知直線與是定積直線，設點到直線，的距離分別為，，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，，所以可設，又，，所以，，，所以，，.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】因為，所以，，設與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：B3．【正確答案】C【詳解】將化為，即圓心為，半徑為3，由表示圓上點到原點距離的平方，而圓心到原點的距離為1，又在圓內，所以圓上點到原點距離范圍為，故的取值范圍是.故選：C4．【正確答案】C【詳解】由可得，解得或.當時，：，：，顯然，重合，舍去，故時，.因此“”是“”的充要條件.故選：C5．【正確答案】C【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】化為標準方程為，圓心為(2,1),半徑為1,過點(0,0)與圓相切的兩條直線夾角為，設切線為，點線距離為，則，解得或，故切線為或，故根據(jù)兩直線的夾角公式得，且易知一定為第一象限角，解得.故選:A7．【正確答案】A【詳解】設等比數(shù)列an的公比為，若，則等比數(shù)列an為擺動數(shù)列，這與矛盾，故，根據(jù)題意得，則，解得或（舍）.則.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】直線的方程可化為，由可得，對于直線，由可得，所以，直線過定點，直線過定點，又因為，則，即，則，，所以，，所以，，當，，點不在直線上，所以，點的軌跡是曲線，設可得，由題意可知，直線與曲線有公共點，且圓的圓心為原點，半徑為，所以，，解得，當，時，；當，時，.因此，的取值范圍是.故選：B.9．【正確答案】AC【分析】當直線的斜率不存在時不滿足題意，當直線的斜率存在時，設出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.【詳解】當直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即.由已知得，所以或，所以直線的方程為或.故選：AC.10．【正確答案】BC【分析】建立空間直角坐標系，表示，化簡后得點的軌跡方程，得軌跡長度判斷A；向量法求線面角判斷B，向量法求點到平面距離，結合點的軌跡得最小值判斷C；坐標表示向量數(shù)量積，結合點的軌跡最小值判斷D.【詳解】直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設與相交于點，由，以為原點，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，點在四邊形及其內部運動，設，，由，有，即，所以點的軌跡為平面內，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點的軌跡的長度為，A選項錯誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項正確；，設平面的一個法向量為，則有，令，得，，所以點到平面的距離，，所以時，，所以點到平面的距離的最小值為，C選項正確；，，其幾何意義為點到點距離的平方減12，由，點到點距離最小值為，的最小值為，D選項錯誤.故選BC.【方法總結】空間幾何體中的相關問題，要利用好幾何體本身的結構特征，點線面的位置關系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.11．【正確答案】BCD【分析】設，根據(jù)題意可求得點P的軌跡方程為．再求得以AB為直徑的圓的圓心和半徑即可判斷A；根據(jù)題意求得直線AB的方程，再驗證圓P的圓心在直線AB的方程上，從而得到點P到直線AB的距離為圓P的半徑時，的面積最大，進而求解即可判斷B；根據(jù)，結合在直角三角形中，角對應的直角邊是斜邊的一半，從而即可判斷C；設，則，再結合余弦定理可得，從而即可判斷D．【詳解】設，則，，又，則，化簡得，所以點P的軌跡方程為．對于A，以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，故A錯誤；對于B，依題意可得直線AB的方程為，即，所以圓P的圓心在直線AB的方程上，所以點P到直線AB的距離為圓P的半徑時，的面積最大，所以面積的最大值為，故B正確；對于C，由，在直角三角形中，角對應的直角邊是斜邊的一半，又，則點A在圓P內，所以存在點P使得，此時，故C正確；對于D，設，則，由余弦定理有，所以，所以當，即時，有，故D正確．

故選：BCD．12．【正確答案】0或【詳解】因為所以解得或.故填或.13．【正確答案】9【詳解】由，得，解得，，，．故914．【正確答案】x=1或5x+12y+13=0【詳解】①當直線的斜率不存在時，直線方程為，則圓心到直線的距離為1，所以,故，所以直線滿足題意．②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，故，因為，所以，整理得，解得或．當時，則，解得；當時，則，此方程無解．故直線方程為，即．綜上可得所求直線方程為或．故答案為或．15．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）設的中點為，因為，，所以．因為直線的斜率，所以所求直線的方程為，即．（2）因為直線與直線平行，所以直線的斜率．故的方程為，即．16．【正確答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．【分析】（1）由圓心在直線上，設圓心為（1，t），再由經過，兩點可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圓心和半徑即可得解；（2）根據(jù)題意切線的斜率存在可設直線方程為y＝kx+2，再利用直線和圓相切可得d＝＝2，求得即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，設圓心C的坐標為（1，t），則有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圓心的坐標為（1，0），圓的半徑r＝＝2，則圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）根據(jù)題意，圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4，過點P（0，2）作圓的切線，斜率必定存在，設切線的斜率為k，則切線的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；則有d＝＝2，解可得k＝0或；故切線的方程為y＝2或4x﹣3y+6＝0．17．【正確答案】（1）見詳解；（2）(1)證明：∵,∴四邊形ABCD為平行四邊形．延長交于點G，則,為的中位線.∵B為GE中點，∴BF為中位線，∴BF∥PG，G在CD上，PG?平面，∴BF∥平面.(2)∵AB⊥平面PED,相互垂直，如圖建系，∴，，∴.18．【正確答案】(1)(2)(3)5【詳解】（1）設圓的一般方程為.將，，分別代入方程可得：解得，，.所以圓的一般方程為.（2）先求中點坐標，，，中點坐標為.，則弦垂直平分線的斜率為.根據(jù)點斜式可得弦垂直平分線的方程為，即.（3）.直線的方程為，即.點到直線的距離.所以的面積.19．【正確答案】(1)存在，理由見解析；(2)；(3).【分析】（1）由定積直線的定義運算可求結論；（2）設直線的斜率為，則直線的斜率為，利用定積直線的定義可得或，進而，計算即可；（3）設直線，直線，其中，計算得，利用基本不等式可求的取值范圍.【詳解】（1）存在點，使得，是定積直線，理由如下：由題