25學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（人教版）專題05分式（考點清單10個考點清單+22種題型解讀）（原卷版）

專題05分式（考點清單，10個考點清單+22種題型解讀）【清單01】分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分數(shù)線是除號。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉(zhuǎn)化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.【清單02】分式的相關(guān)概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0【清單03】分式的基本性質(zhì)1）分數(shù)的性質(zhì)（特點）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分數(shù)的拓展延伸，分式有與分數(shù)類似的性質(zhì)（特點）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.【清單04】分式的約分與通分1）分式的約分：與分數(shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式。2）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應(yīng)擴大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應(yīng)擴大相同倍數(shù).4）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．【清單05】分式的混合運算分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式【清單06】整數(shù)指數(shù)冪（冪的運算的擴大）1）前面已學(xué)習(xí)：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運算，當m<n時。如：a2÷a3=a2）針對這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當n為正整數(shù)時，a?n=1an3）冪的運算性質(zhì)擴大當a≠0時=1\*GB3①am?an=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=am4）利用負指數(shù)化除為乘，設(shè)m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷an5）科學(xué)記數(shù)法的擴大一般，一個小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點向前移動x位，則原數(shù)相應(yīng)擴大了10x倍。故n【清單07】分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．【清單08】分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．【清單09】增根在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．【清單10】分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．【考點題型一】分式的概念及其基本性質(zhì)1.（23-24八年級上·湖南郴州·期末）若把分式中都擴大3倍，則分式的值（

）A．擴大到原來的3倍 B．不變C．擴大到原來的9倍 D．縮小到原來的2.（23-24八年級上·遼寧大連·期末）下列各式，，，，，，，中，分式共有（

）個．A．5 B．6 C．7 D．83.（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）分式、、的最簡公分母是．4.（23-24八年級上·天津濱海新·期末）寫出一個分子為的分式，且知它在時有意義的分式．【考點題型二】分式的運算5.（24-25八年級上·云南曲靖·期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．6.（24-25八年級上·全國·期末）計算的結(jié)果是．7.（23-24八年級上·廣東惠州·期末）（1）分解因式：（2）計算：8.（24-25八年級上·河北滄州·期末）計算(1)(2)．【考點題型三】分式方程及其應(yīng)用9.（23-24八年級上·湖北荊門·期末）下列方程不是分式方程的為（）A． B． C． D．10.（23-24八年級上·湖南株洲·期末）若關(guān)于的分式方程的解，則11.（24-25八年級上·全國·期末）解方程：(1)(2)12．（22-23八年級上·山東泰安·階段練習(xí)）在某段高速公路修建中，需要打通一條隧道，施工方有兩個工程隊可供選擇，若甲工程隊單獨施工，恰好能在規(guī)定的時間內(nèi)完成，若乙工程隊單獨施工，則需要的天數(shù)是甲工程隊的倍，若甲、乙兩個工程隊合作天，余下的任務(wù)甲工程隊單獨完成仍需要天．(1)甲、乙工程隊單獨完成此項工程各需要多少天?(2)經(jīng)過預(yù)算，甲工程隊每天的施工費用是元，乙工程隊每天的施工費用是元，為了盡可能縮短施工時間，施工方打算讓兩個工程隊合作完成，打通這條隧道的施工費用是多少?【考點題型四】整體通分13.（23-24八年級上·遼寧鞍山·期末）計算：；14.（23-24八年級上·北京昌平·期末）計算：.【考點題型五】先約分，再通分15.（22-23八年級上·北京朝陽·期末）計算：．16.（22-23八年級下·廣東惠州·階段練習(xí)）計算：(1)．(2)．【考點題型六】逐步通分17.計算：．【考點題型七】分組通分18.計算：1x?4-2x?2+2【考點題型八】分離分子19.計算：x+2x+1-x+3x+2+x?5【考點題型九】裂項相消20.計算：＋＋＋…＋.21.已知下面一列等式：；；；；…（1）請你按這些等式左邊的結(jié)構(gòu)特征寫出它的一般性等式：（2）驗證一下你寫出的等式是否成立；（3）利用等式計算：.【考點題型十】巧用分配律22.（23-24八年級·云南文山·期末）先化簡，再求值：，其中．【考點題型十一】巧用乘法公式23.（23-24八年級上·吉林白城·期末）計算：(1)(2)24.（22-23八年級上·河南信陽·期末）計算：(1)；(2)．【考點題型十二】謹防求值中的隱含條件25.（23-24八年級上·湖南岳陽·階段練習(xí)）先化簡，再從的范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)代入求值．26.（23-24八年級上·吉林白山·期末）先化簡，再求值：，其中x從0，1，2中取一個合適的數(shù)求值．【考點題型十三】設(shè)參數(shù)求值27.已知==≠0,求的值.28.（21-22八年級上·山東濰坊·期中）（1）化簡：；（2）已知，且，求的值．【考點題型十四】巧取倒數(shù)求值29.（23-24八年級·云南紅河·期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．30．（21-22八年級上·貴州遵義·期末）若，則的值是（

）A． B． C． D．31.數(shù)學(xué)習(xí)題課中，老師提出如下問題：例：已知且，試求的值，并給出部分解題步驟如下，解：，，，即，(1)補充完整以上解題步驟；(2)已知且．試求的值．【考點題型十五】整體代入求值32．已知實數(shù)a滿足，求的值．33．（22-23八年級上·湖南岳陽·期中）先化簡，再求值，已知，求的值．【考點題型十六】根據(jù)分式方程解的定義求字母的值34.（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知分式方程的解為，則a的值為（

）A．2 B．3 C．7 D．1335．（22-23八年級上·河南周口·期末）已知是分式方程的解，則．36．（22-23八年級上·山東煙臺·期中）已知：是分式方程的解，求a的值．【考點題型十七】根據(jù)分式方程有增根求字母的值37．（23-24八年級上·北京·期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（

）A．或 B． C． D．或38．（24-25八年級上·吉林長春·期中）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．39．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，求的值．【考點題型十八】根據(jù)分式方程無解求字母的值40.（23-24八年級上·廣西柳州·期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．541．（22-23八年級上·山東濱州·期末）關(guān)于的分式方程無解，則的值為．42．（21-22八年級上·湖南邵陽·期末）若分式方程無解，求a的值．【考點題型十九】根據(jù)分式方程有解求字母的取值范圍43．（23-24八年級上·廣西柳州·期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且44．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是．45．（23-24八年級上·湖北十堰·期末）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，求m的取值范圍．【考點題型二十】列分式方程解應(yīng)用題46．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）甲、乙二人做某種機械零件．已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等．若設(shè)乙每小時做個零件，依據(jù)題意可列分式方程為（

）A． B． C． D．47．（23-24八年級上·山東泰安·期末）師傅和徒弟兩人每小時共做40個零件，在相同時間內(nèi)，師傅做了300個零件，徒弟做了100個零件．師傅每小時做了多少個零件？若設(shè)師傅每小時做了個零件，則可列方程為．48．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）廣南到那灑高速公路經(jīng)過兩年多的建設(shè)，于2020年6月30日24時正式通車運營，全長的廣那高速結(jié)束了廣南縣城不通高速公路的歷史．從廣南到那灑還有條全長的普通公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快，由高速公路從廣南到那灑所需要的時間是由普通公路從廣南到那灑所需時間的一半，求該客車由高速公路從廣南到那灑需要幾小時．【考點題型二十一】方案設(shè)計型應(yīng)用題49．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅臨夏州積石山縣發(fā)生級地震．“一方有難，八方支援”，我市某中學(xué)響應(yīng)號召，積極捐款，共募集資金16500元．其中9000元用來購買礦泉水，余下的錢購買了大米．已知購得的礦泉水數(shù)量是大米數(shù)量的2倍，且一袋大米比一箱礦泉水貴20元．(1)求礦泉水和大米的數(shù)量各是多少？(2)現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共5輛，一次性將這批礦泉水和大米全部運往災(zāi)區(qū)．已知每輛甲型貨車最多可裝礦泉水80箱和大米30袋，每輛乙型貨車最多可裝礦泉水50箱和大米40袋．問：安排甲、乙兩種貨車時共有哪幾種方案？（備注：兩種車型都要有）請你幫助設(shè)計出來．50.（21-22八年級上·湖南邵陽·期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的．(1)求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？(2)該社區(qū)擬用12000元資金建A，B兩類攤位共100個，且B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍．請你幫助設(shè)計符合以上條件的修建方案．51．（20-21八年級上·黑龍江黑河·期末）黑河市政府在道路改造過程中，某路段需要鋪設(shè)一條長1000米的下水管道，現(xiàn)有甲乙兩個施工隊具備施工能力，政府工作人員分別到兩個施工隊了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設(shè)10米；信息二：甲工程隊鋪設(shè)480米所用的天數(shù)與