2024-2025學年新教材高中數學第三章函數3.1.3第1課時函數的奇偶性1課時作業(yè)含解析新人教B版必修第一冊

PAGEPAGE4課時作業(yè)25函數的奇偶性(1)時間：45分鐘分值：100分eq\a\vs4\al(一、選擇題每小題6分，共計36分)1．下列說法中，不正確的是(B)A．圖像關于原點成中心對稱的函數肯定是奇函數B．奇函數的圖像肯定經過原點C．偶函數的圖像若不經過原點，則它與x軸交點的個數肯定是偶數D．圖像關于y軸成軸對稱的函數肯定是偶函數解析：由奇、偶函數圖像的性質可知，A、C、D正確．而對于B，若奇函數在x＝0處無定義，則其圖像不過原點，故B不正確．選B.2．下列函數中，既是奇函數又是偶函數的為(D)A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝0(x∈R)解析：選項A不是偶函數也不是奇函數，選項A不正確；選項B、C不是偶函數．故選D.3．已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)等于(A)A．－2 B．0C．1 D．2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.4．已知函數y＝f(x)為偶函數，其圖像與x軸有四個交點，則方程f(x)＝0的全部實根之和是(A)A．0 B．1C．2 D．4解析：由于偶函數的圖像關于y軸對稱，所以偶函數的圖像與x軸的交點也關于y軸對稱，因此，四個交點中，有兩個在x軸的負半軸上，另兩個在x軸的正半軸上，所以四個實根的和為0.5．f(x)是定義在R上的奇函數，下列結論中，不正確的是(D)A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(－x)·f(x)≤0D.eq\f(fx,f－x)＝－1解析：∵f(x)為R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故A，B，C正確．當x＝0時，由題意知f(0)＝0，故D錯誤．6．設函數f(x)是奇函數，在(0，＋∞)上是增函數，且有f(－3)＝0，則xf(x)<0的解集是(D)A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}解析：依據已知條件，可畫出f(x)的大致圖像，如圖，從圖中可得xf(x)<0的解集為{x|－3<x<0或0<x<3}．故選D.eq\a\vs4\al(二、填空題每小題8分，共計24分)7．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于－26.解析：∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，則g(x)為奇函數．∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.8．函數f(x)在R上為奇函數，且x>0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當x<0時，f(x)＝－eq\r(－x)－1.解析：∵f(x)為奇函數，x>0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴當x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即x<0時，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.9．定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區(qū)間[0，＋∞)的圖像與f(x)的圖像重合，設a>b>0，給出下列不等式，其中成立的是①③.①f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)；②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)；③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)．解析：由已知得g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數，依據偶函數的定義知g(x)在區(qū)間(－∞，0]上為減函數，則f(b)>f(－a)，g(a)>g(b)＝g(－b)，所以f(b)＋g(a)>f(－a)＋g(－b)，即f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)．因為a>0>－b，則f(a)>f(－b)，又g(－b)<g(－a)，所以f(a)＋g(－a)>f(－b)＋g(－b)，即f(a)－f(－b)>g(－b)－g(－a)＝g(b)－g(－a)．三、解答題共計40分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟10．(10分)設定義在[－2,2]上的奇函數f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(m)＋f(m－1)>0，求實數m的取值范圍．解：由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上為減函數且f(x)在[－2,2]上為奇函數，∴f(x)在[－2,2]上為減函數，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)，))解得－1≤m<eq\f(1,2).因此實數m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).11．(15分)定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上的圖像如圖所示．(1)補全f(x)的圖像；(2)解不等式xf(x)>0.解：(1)描出點(1,1)，(2,0)關于原點的對稱點(－1，－1)，(－2,0)，則可得f(x)的圖像如圖所示．(2)結合函數f(x)的圖像，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．12．(15分)定義在R上的函數f(x)，對隨意的實數x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0.又f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求證：f(x)為奇函數；(2)求證：f(x)在R上是減函數；(3)求函數f(x)在[－3,3]上的值域．解：(1)證明：定義在R上的函數f(x)，對隨意的實數x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝0，令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數．(2)證明：令x＋y＝x1，y＝x2且x1>x2，x＝x1－x2>0，當x