高考數(shù)學(xué)（理科課標(biāo)版）一輪復(fù)習(xí)題組訓(xùn)練第5章第2講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

第二講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用題組1數(shù)量積的定義及長(zhǎng)度、角度問(wèn)題1.[2016全國(guó)卷Ⅲ,3,5分]已知向量BA=(12,32),BC=(32,12),則∠ABC=A.30° B.45° C.60° D.120°2.[2016山東,8,5分][理]已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為()A.4 B.4 C.94 D.3.[2015安徽,8,5分][理]△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1 B.a⊥bC.a·b=1 D.(4a+b)⊥BC4.[2015福建,9,5分][理]已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4AC|AC|,則A.13 B.15 C.19 D.215.[2015重慶,6,5分][理]若非零向量a,b滿足|a|=223|b|,且(ab)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為(A.π4 B.π2 C.3π6.[2017全國(guó)卷Ⅰ,13,5分][理]已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.

7.[2017山東,12,5分][理]已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若3e1e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是.

8.[2017天津,13,5分][理]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λACAB(λ∈R),且AD·AE=4,則λ的值為.

9.[2016浙江,15,4分]已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1,若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是.

題組2平面向量的綜合應(yīng)用10.[2017全國(guó)卷Ⅱ,12,5分][理]已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是()A.2 B.32 C.43 11.[2017浙江,10,4分][理]如圖521,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()圖521A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I312.[2015山東,4,5分][理]已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,則BD·CD=()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.13.[2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5,5分][理]已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若MF1·MF2<0,則yA.(33,33) B.(36,36) C.(223,223)14.[2015湖南,8,5分][理]已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6 B.7 C.8 D.915.[2014天津,8,5分][理]已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AE·AF=1,CE·CF=23,則λ+μ=()A.12 B.23 C.5616.[2015廣東,16,12分][理]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=(22,22),n=(sinx,cosx),x∈(0,π(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m與n的夾角為π3,求x的值A(chǔ)組基礎(chǔ)題1.[2018鄭州一中高三入學(xué)測(cè)試,7]△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,2AO=AB+AC,且|OA|=|AB|,則向量CA在向量CB方向上的投影為()A.12 B.32 C.122.[2017長(zhǎng)沙市五月模擬,8]已知|a|=1,a與b的夾角是π3,(a+2b)·a=3,則|b|的值是()A.3 B.1 C.2 D.23.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考,3]在如圖522所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為線段BC上的點(diǎn),則AE·DE的最小值為圖522()A.12 B.15C.17 D.164.[2018山西省名校第一次聯(lián)考,13]已知向量a=(6,2),b=(1,m),且a⊥b,則|a2b|=.

5.[2018廣東七校聯(lián)考,13]設(shè)向量a,b滿足:|a|=1,|b|=2,a⊥(ab),則a與b的夾角是.

6.[2018合肥市高三調(diào)研性檢測(cè),14]已知a=(2,5t1),b=(t+1,1),若|a+b|=|ab|,則t=.

7.[2018惠州市第一次調(diào)考,15]已知正方形ABCD的中心為O,且其邊長(zhǎng)為1,則(ODOA)·(BA+BC)=.

8.[2017長(zhǎng)春市高三第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè),14]若非零向量a,b滿足|a|=2|b|=|a+b|,則向量a與b夾角的余弦值為.

B組提升題9.[2018河北省衡水市武邑中學(xué)高三三調(diào),10]已知a,b為平面向量,若a+b與a的夾角為π3,a+b與b的夾角為π4,則|a||A.33 B.63 C.510.[2017合肥市高三第三次質(zhì)量檢測(cè),5]已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,則下列關(guān)系可能成立的是()A.(ab)⊥a B.(ab)⊥(a+b)C.(a+b)⊥b D.(a+b)⊥a11.[2018遼寧省五校聯(lián)考,13]已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=3,|b|=4,a·b=12,則x1+y12.[2018湖南省益陽(yáng)市、湘潭市高三聯(lián)考,14]已知非零向量a,b滿足:a·b=0,|a+b|=t|a|,若a+b與ab的夾角為π3,則t的值為13.[2017重慶市七校高三聯(lián)考,14]在平面四邊形ABCD中,已知AC=(1,3),BD=(m,3),則四邊形ABCD的面積的最大值為.

14.[2017武漢市五月模擬,16]如圖523,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且AE=λAB,AF=μAC,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1.若線段EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則|MN|的最小值為.

圖52315.[2017大連市雙基測(cè)試,17]已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足cos2Bcos2Csin2A=sinAsinB.(1)求角C;(2)向量m=(sinA,cosB),n=(cosx,sinx),若函數(shù)f(x)=m·n的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱,求角A,答案1.A由兩向量的夾角公式,可得cos∠ABC=BA·BC|BA|·|BC|=12×2.B由n⊥(tm+n)可得n·(tm+n)=0,即tm·n+n2=0,所以t=n2m·n=n2|m|·|n|cos<m,n>3.D因?yàn)锳B=2a,AC=2a+b,所以a=12AB,b=ACAB=BC,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以|b|=2,a·b=12AB·BC=1,故a,b不垂直,4a+b=2AB+BC=AB+AC,故(4a+b)·BC=(BC=2+2=0,所以(4a+b)⊥BC,故選D.4.A依題意,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB所在的直線為x軸,AC所在的直線為y軸建立如圖D523所示的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(1,4),B(1t,0),C(0,t),所以PB·PC=(1t1,4)·(1,t4)=(1t1)×(1)4×(t4)=171t4t≤1721t×4t=13(當(dāng)且僅當(dāng)1t=4t,即圖D5235.A由條件,得(ab)·(3a+2b)=3a22b2a·b=0,即a·b=3a22b2.又|a|=223|b|,所以a·b=3·(223|b|)22b2=23b2,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=6.23易知|a+2b|=|a|2+4a·7.33因?yàn)?3e1-e2)·(e18.311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(ACAB)=13AB+23AC.又AB·AC=3×2×12=3,所以AD·AE=(13AB+23AC)·(AB+λAC)=13AB2+(13λ23)AB·AC+23λAC2=3解法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,不妨假設(shè)點(diǎn)C在第一象限,則A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=λACAB,得E(λ3,3λ),則AD·AE=(53,233)·(λ3,3λ)=53(λ3)+233×39.7由a·b=1,|a|=1,|b|=2可得兩向量的夾角為60°,建立平面直角坐標(biāo)系,可設(shè)a=(1,0),b=(1,3),e=(cosθ,sinθ),則|a·e|+|b·e|=|cosθ|+|cosθ+3sinθ|≤|cosθ|+|cosθ|+3|sinθ|=3|sinθ|+2|cosθ|≤7,所以|a·e|+|b·e|的最大值為7.10.B圖D524如圖D524,以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,3),B(1,0),C(1,0),設(shè)P(x,y),則PA=(x,3y),PB=(1x,y),PC=(1x,y),所以PA·(PB+PC)=(x,3y)·(2x,2y)=2x2+2(y32)232,所以當(dāng)x=0,y=32時(shí),PA·(PB+PC)取得最小值,最小值為11.C如圖D525所示,圖D525四邊形ABCE是正方形,F為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn),易得AO<AF,而∠AFB=90°,∴∠AOB與∠COD為鈍角,∠AOD與∠BOC為銳角.根據(jù)題意,I1I2=OA·OBOB·OC=OB·(OAOC)=OB·CA=|OB|·|CA|·cos∠AOB<0,∴I1<I2,同理得,I2>I3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,∴OB<BG=GD<OD,而OA<AF=FC<OC,∴|OA|·|OB|<|OC|·|OD|,而cos∠AOB=cos∠COD<0,∴OA·OB>OC·OD,即I1>I3.∴I3<I1<I2,故選C.12.D在菱形ABCD中,BA=CD,BD=BA+BC,所以BD·CD=(BA+BC)·CD=BA·CD+BC·CD=a2+a×a×cos60°=a2+12a2=32a2.13.A由題意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨設(shè)F1(3,0),F2(3,0),所以MF1=(3x0,y0),MF2=(3x0,y0),所以MF1·MF2=x023+y02=14.B解法一因?yàn)锳,B,C均在單位圓上,AC為直徑,故PA+PC=2PO=(4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|≤2|PO|+|PB|,又|PB|≤|PO|+1=3,所以|PA+PB+PC|≤4+3=7,故其最大值為7,故選B.解法二因?yàn)锳,B,C均在單位圓上,AC為直徑,不妨設(shè)A(cosx,sinx),B(cos(x+α),sin(x+α))(α≠kπ,k∈Z),C(cosx,sinx),PA+PB+PC=(cos(x+α)6,sin(x+α)),|PA+PB+PC|=[cos(x+C如圖D526所示,圖D526以菱形ABCD的兩條對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,不妨設(shè)A(0,1),B(3,0),C(0,1),D(3,0),由題意得CE=(1λ)·CB=(3λ3,λ1),CF=(1μ)CD=(33μ,μ1).因?yàn)镃E·CF=23,所以3(λ1)·(1μ)+(λ1)(μ1)=23,即(λ1)(μ1)=因?yàn)锳E=AC+CE=(3λ3,λ+1),AF=AC+CF=(33μ,μ+1),AE·AF=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由(λ-1)(μ-16.(1)因?yàn)閙⊥n,所以m·n=0.故22sinx22cosx=0,所以tanx=(2)因?yàn)閙與n的夾角為π3,所以cos<m,n>=m·n|m||n|=22又x∈(0,π2),所以xπ4∈(π4,π4),所以xπ4=π6,即x=A組基礎(chǔ)題1.D依題意知,圓心O為BC的中點(diǎn),即BC是△ABC的外接圓的直徑,AC⊥AB.又AO=OB=AB=1,因此∠ABC=60°,∠ACB=30°,|CA|=3,CA在CB方向上的投影為|CA|cos30°=3×32=322.D(a+2b)·a=a2+2a·b=1+2×1×12|b|=3,解得|b|=2,故選D3.B以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,建立如圖D527所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,4),D(2,4),設(shè)E(x,0)(0≤x≤2),所以AE·DE=(x,4)·(x2,4)=x22x+16=(x1)2+15,于是當(dāng)x=1,即E為BC的中點(diǎn)時(shí),AE·DE取得最小值15,故選B.圖D5274.45由a=(6,2),b=(1,m),且a⊥b,得62m=0,所以m=3,所以a2b=(4,8),所以|a2b|=16+64=80=45.5.60°因?yàn)閍⊥(ab),所以a·(ab)=0,故|a|2|a||b|·cos<a,b>=0,解得cos<a,b>=12,故a與b的夾角為606.1因?yàn)閍=(2,5t1),b=(t+1,1),所以a+b=(t+3,5t2),ab=(1t,5t),因?yàn)閨a+b|=|ab|,所以(t+3)2+(5t2)2=(1t)2+(5t)2,解得t=1.7.1(ODOA)·(BA+BC)=AD·BD=1×2×cos45°=1.8.14設(shè)向量a與b的夾角為θ,由題意得|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,則2a·b+|b|2=0,即2|a||b|·cosθ=|b|2,故cosθ=1圖D528B組提升題9.B如圖D528所示,在平行四邊形ABCD中,AB=a,AD=b,AC=a+b,∠BAC=π3,∠DAC=π4,所以在△ABC中,由正弦定理得|a||b|10.C|a|=2,|b|=1,設(shè)向量a,b的夾角為θ,若(ab)⊥a,則(ab)·a=a2a·b=42cosθ=0,解得cosθ=2,顯然θ不存在,故A不成立;若(ab)⊥(a+b),則(ab)·(a+b)=a2b2=41=3≠0,故B不成立;若(a+b)⊥b,則(a+b)·b=b2+a·b=1+2cosθ=0,解得cosθ=12,即θ=2π3,故C成立;若(a+b)⊥a,則(a+b)·a=a2+a·b=4+2cosθ=0,解得cosθ=2,顯然θ不存在,故D不成立.11.34因?yàn)閨a|=3,|b|=4,a·b=12,所以向量a,b的夾角為180°,即a=34b,又a=(x1,y1),b=(x2,y2),所以x112.233因?yàn)榉橇阆蛄縜,b滿足a·b=0,所以(ab)2=(a+b)2,即|a+b|=|ab|.又|a+b|=t|a|,所以|a+b|=|ab|=t|a|.因?yàn)閍+b與ab的夾角為π3,所以(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=cosπ3又|a+b|=t|a|,兩邊平方,得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+(2-t2)|a|22=t2|由題意,得t>0,所以t=2313.15設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)