第2章 簡單事件的概率（5種題型）與測試（原卷版）

第2章簡單事件的概率（5種題型）與測試【知識梳理】一．可能性的大小隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：（1）理論計算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實驗的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進(jìn)行的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲是否公平的計算．（2）實驗估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實驗的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實驗的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬實驗．二．概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系，可以解決一些實際問題．三．概率公式（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．四．游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．五．利用頻率估計概率（1）大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．【考點剖析】一．可能性的大?。ü?小題）1．（2022秋?武義縣期末）按小王、小李、小馬三位同學(xué)的順序從一個不透明的盒子中隨機(jī)抽取一張標(biāo)注“主持人”和兩張空白的紙條，確定一位同學(xué)主持班級“交通安全教育”主題班會．下列說法中正確的是（）A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小馬的可能性最大 D．三人的可能性一樣大2．（2023?寧波模擬）袋子里有8個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．10二．概率的意義（共2小題）3．（2023?舟山三模）如圖，某天氣預(yù)報軟件顯示“舟山市定海區(qū)明天的降水概率為85%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（）A．定海區(qū)明天下雨的可能性較大 B．定海區(qū)明天下雨的可能性較小 C．定海區(qū)明天將有85%的時間下雨 D．定海區(qū)明天將有85%的地區(qū)下雨4．（2022?寧波模擬）一枚正方體骰子六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，若連續(xù)拋擲四次，朝上一面的點數(shù)都為6，則第五次拋擲朝上一面的點數(shù)為6的概率為．三．概率公式（共9小題）5．（2023春?樂清市月考）一枚質(zhì)地均勻的骰子六面分別標(biāo)有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．6．（2023?鹿城區(qū)校級三模）在一個不透明的袋中裝有9個只有顏色不同的球，其中2個白球、3個黃球和4個紅球．從袋中任意摸出一個球，是黃球的概率為（）A． B． C． D．7．（2023?杭州）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝．8．（2023?南湖區(qū)二模）一個不透明的袋子里裝有5個紅球和3個黑球，它們除了顏色外其余都相同．從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為．9．（2023?義烏市模擬）一個布袋里裝有5個黑球、4個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，摸到黑球的概率是．10．（2023?衢州二模）一枚均勻的立方體骰子（六個面的點數(shù)分別是1，2，3，4，5，6），拋擲1次，則朝上一面的點數(shù)大于4的概率是．11．（2023?西湖區(qū)校級二模）一個不透明的袋子里面裝著3個白球和4個黑球，它們除顏色以外，其余全部相同，從袋子里面摸出一個黑球的概率等于．12．（2023?義烏市校級模擬）上海某高校青年志愿者協(xié)會對報名參加2010年上海世博會志愿者選拔活動的學(xué)生進(jìn)行了一次與世博會知識有關(guān)的測試，他們對測試的成績作了適當(dāng)?shù)奶幚?，將成績分成三個等級：一般，良好，優(yōu)秀，并將統(tǒng)計結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）請將兩幅統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（2）一共有名學(xué)生參加了這次測試，如果青年志愿者協(xié)會決定讓成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生參加下一輪的測試，那么有人將參加下輪測試；（3）該校的小亮也參加了這次測試，并且獲得了參加下一輪測試的資格．若學(xué)校最終只能從參加下一輪測試的人中推薦50人成為上海世博會志愿者，則小亮被選中的概率是多少？13．（2023?慈溪市模擬）從甲、乙兩個企業(yè)隨機(jī)抽取部分職工，對某個月月收入情況進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果分別制成扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．（1）在扇形統(tǒng)計圖中，“6千元”所在的扇形的圓心角是；（2）在乙企業(yè)抽取的部分職工中，隨機(jī)選擇一名職工，求該職工月收入超過5千元的概率；（3）若要比較甲、乙兩家企業(yè)抽取的職工的平均工資，小明提出自己的看法：雖然不知道甲企業(yè)抽取職工的人數(shù)，但是可以根據(jù)加權(quán)平均數(shù)計算甲企業(yè)抽取的職工的平均工資，因此可以比較；小明的說法正確嗎？若正確，請比較甲企業(yè)抽取的職工的平均工資與乙企業(yè)抽取的職工的平均工資的多少；若不正確，請說明理由．四．游戲公平性（共3小題）14．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）小亮和小芳都想?yún)⒓訉W(xué)校社團(tuán)組織的暑假實踐活動，但只有一個名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動：將一個材質(zhì)均勻的轉(zhuǎn)盤9等分，分別標(biāo)上1至9九個號碼，隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)，小亮去參加活動；轉(zhuǎn)到3的倍數(shù)，小芳去參加活動；轉(zhuǎn)到其它號碼則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，（1）轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)的概率是多少？（2）你認(rèn)為這個游戲公平嗎？請說明理由．15．（2022秋?蕭山區(qū)月考）有一盒子中裝有6個乒乓球，除顏色外形狀和大小完全一樣，其中3個黑色乒乓球，2個白色乒乓球，1個紅色乒乓球．王海同學(xué)從盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你認(rèn)為王海同學(xué)摸出的球，最有可能是顏色；（2）王海和陳星同學(xué)一起做游戲，王海或陳星從上述盒子中任意摸一球，如果摸到黑球，王海獲勝，否則陳星獲勝．請問這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？16．（2023春?鄞州區(qū)校級月考）如圖是計算機(jī)“掃雷”游戲的畫面，在9×9個小方格的雷區(qū)中，隨機(jī)地埋藏著20顆地雷，每個小方格最多能埋藏1顆地雷．（1）如圖1，小南先踩中一個小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語選擇了右下角的一個方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為C）．二人約定：在C區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個小方格，踩中雷則小南勝，否則小語勝，試問這個游戲公平嗎？請通過計算說明．（2）如圖2，在D，E，F(xiàn)三個黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無地雷），則選擇D，E，F(xiàn)三個區(qū)域踩到雷的概率分別是．五．利用頻率估計概率（共6小題）17．（2022秋?嵊州市期末）在一個暗箱里放有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中紅球只有4個，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏色后放回，通過大量的重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4，由此可以推算出m約為（）A．7 B．3 C．10 D．618．（2022秋?寧波期末）利用六張編號為1，2，3，4，5，6的撲克牌進(jìn)行頻率估計概率的試驗中，同學(xué)小張統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗可能是（）A．抽中的撲克牌編號是3的概率 B．抽中的撲克牌編號是3的倍數(shù)的概率 C．抽中的撲克牌編號大于3的概率 D．抽中的撲克牌編號是偶數(shù)的概率19．（2022秋?桐廬縣期中）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)200名九年級男生，他們的身高x（cm）統(tǒng)計如下：組別（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180人數(shù)10mn42根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.42 B．0.21 C．0.79 D．與m，n的取值有關(guān)20．（2023?溫州模擬）一個密閉不透明的口袋中有質(zhì)地均勻、大小相同的白球若干個，在不允許將球倒出來的情況下，為估計白球的個數(shù)，小華往口袋中放入10個紅球（紅球與白球除顏色不同外，其它都一樣），將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有63次摸到紅球．估計這個口袋中白球的個數(shù)約為個．21．（2022秋?杭州期末）對一批襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：抽取件數(shù)（件）501002005008001000合格頻數(shù)4795188480763949合格頻率0.940.950.940.960.950.95（1）估計任抽一件襯衣是合格品的概率（結(jié)果精確到0.01）．（2）估計出售2000件襯衣，其中次品大約有幾件．22．（2023春?沭陽縣月考）在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球，為了估計袋中紅球的數(shù)量，九（1）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗室分組做摸球試驗：每組先將15個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是這次活動統(tǒng)計匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：摸球的次數(shù)s15030060090012001500摸到紅球的頻數(shù)n1232434877259641200摸到紅球的頻率0.8200.8100.8120.8060.803a（1）a＝．（2）請估計：當(dāng)次數(shù)s很大時，摸到紅球的頻率將會接近（精確到0.01）；請推測：摸到紅球的概率是（精確到0.1）．（3）求口袋中紅球的數(shù)量．【過關(guān)檢測】一、單選題1．一個不透明的布袋里裝有12個白球，3個紅球，5個黃球，除顏色外其他都相同．?dāng)噭蚝笕我饷鲆粋€球，是白球（

）A． B． C． D．2．下列事件是隨機(jī)事件的是（

）A．拋出的籃球會下落 B．沒有水分，種子發(fā)芽C．購買一張彩票會中獎 D．自然狀態(tài)下，水會往低處流3．某娛樂設(shè)施每次能夠容納4人一組進(jìn)場游玩，甲、乙、丙、丁排隊等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中間隔著2人，丙排在乙后面，中間隔著1人，丁排在丙后面，中間隔著1人，丁后面也有若干人．下列說法：①如果甲和乙同一組，那么丙和丁也同一組；②如果甲和乙不同一組，那么丙和丁也不同一組；③如果丙和丁同一組，那么甲和乙也同一組；④如果丙和丁不同一組，那么甲和乙也不同一組．正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．44．三名初三學(xué)生坐在僅有的三個座位上，起身后重新就座，恰好有兩名同學(xué)沒有坐回原座位的概率為（）A． B． C． D．5．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠06．某科研小組，為了考查某河野生魚的數(shù)量，從中捕撈200條，作上標(biāo)記后，放回河里，經(jīng)過一段時間，再從中捕撈300條，發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記的魚有15條，則估計該河中野生魚有(

)A．8000條 B．4000條

C．2000條 D．1000條7．小宏和小倩拋硬幣游戲，規(guī)定：將一枚硬幣連拋三次，若三次國徽都朝上則小宏勝，若三次中只有一次國徽朝上則小倩勝，你認(rèn)為這種游戲公平嗎（）A．公平 B．小倩勝的可能大 C．小宏勝的可能大 D．以上答案都錯8．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．隨時打開電視機(jī)，正在播新聞B．優(yōu)秀射擊運動員射擊一次，命中靶心C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)4點朝上D．長度分別是3cm，5cm，6cm的三根木條首尾相接，組成一個三角形9．設(shè)a,b是兩個任意獨立的一位正整數(shù),則點（a,b）在拋物線y=ax2-bx上方的概率是()A． B． C． D．10．定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖所示，直線l：經(jīng)過點M（0，），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1=d（0＜d＜1），當(dāng)d為（）時，這組拋物線中存在美麗拋物線．A．或 B．或 C．或 D．二、填空題11．從﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4這9個數(shù)中任意選一個數(shù)作為m的值，使關(guān)于x的分式方程：＝3的解是負(fù)數(shù)，且使關(guān)于x的函數(shù)y＝圖象在每個象限y隨x的增大而增大的概率為_____．12．小明在操場上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個不規(guī)則的封閉圖形ABC．為了知道它的面積，小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個半徑為1米的圓，在不遠(yuǎn)處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下：依此估計此封閉圖形ABC的面積是_____m2．13．三名運動員參加定點投籃比賽，原定出場順序是：甲第一個出場，乙第二個出場，丙第三個出場，由于某種原因，要求這三名運動員用抽簽方式重新確定出場順序，則抽簽后每個運動員的出場順序都發(fā)生變化的概率為________．14．已知有意義，那么點在平面直角坐標(biāo)系中的第__________象限．15．反比例函數(shù)的圖象在_____象限．16．A，B，C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B，C兩人中的某一人，以后每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人．三次傳球后，球恰好在A手中的概率是________．17．從,0,1,2,3這五個數(shù)中，隨機(jī)取出一個數(shù)，記為，那么使關(guān)于的方程有解，且使關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率為___________．18．拋擲兩枚分別標(biāo)有1，2，3，4的四面體骰子，寫出這個實驗中的一個隨機(jī)事件是__________；寫出這個實驗中的一個必然事件是_______．19．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20801002004008001000射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環(huán)以上”的概率約是_______.（精確到0.01）三、解答題20．某校積極開展“陽光體育”活動，共開設(shè)了跳繩、足球、籃球、跑步四種運動項目．解學(xué)生最喜愛哪一種項目，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并繪制了如下的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．你根據(jù)圖中的信息回答下列問題：(1)求本次被調(diào)查中，珙抽取了多少名學(xué)生？(2)通過計算補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；(3)該校共有名學(xué)生，請估計全校最喜愛籃球的人數(shù)比最喜愛足球的人數(shù)多多少？21．某校興趣小組就“最想去的漳州5個最美鄉(xiāng)村”隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生.要求每位同學(xué)選擇且只能選擇一個最想去的最美鄉(xiāng)村.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出的尚不完整統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，其中x、y是滿足x<y的正整數(shù).

最美鄉(xiāng)村意向統(tǒng)計表

最美鄉(xiāng)村人數(shù)A：龍海埭美村10B：華安官畬村11C：長泰山重村4xD：南靖塔下村9E：東山澳角村3y最美鄉(xiāng)村意向扇形統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求x、y的值；(2)若該校有1200名學(xué)生，請估計“最想去華安官畬村”的學(xué)生人數(shù).22．中國古代在數(shù)學(xué)方面的成就輝煌，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等都是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備采用抽簽的方式確定學(xué)習(xí)內(nèi)容，將書目制成編號為A，B，C，D的4張卡片（如圖所示，卡片除編號和書目外，其余完全相同），現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好：(1)若從4張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到《九章算術(shù)》的概率為_