第10講 圓內(nèi)接四邊形與正多邊形（原卷版）

第10講圓內(nèi)接四邊形與正多邊形【知識(shí)梳理】一．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．二．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【考點(diǎn)剖析】一．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共15小題）1．（2023?蓮都區(qū)一模）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，則∠C＝（）A．20° B．30° C．70° D．110°2．（2023?龍游縣校級(jí)一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°3．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．110° D．120°4．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝70°，則∠C的度數(shù)是．5．（2022秋?慈溪市期末）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A＝130°，則∠C的度數(shù)為．6．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，求AD的長(zhǎng)．7．（2022秋?溫州校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝2∠B，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求證：四邊形AOCD是菱形．8．（2022秋?下城區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，OE⊥AC．（1）證明：∠AOE＝∠D；（2）若AC＝4，求⊙O的半徑長(zhǎng)．9．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，10．（2022秋?東陽(yáng)市期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°11．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD、BD的長(zhǎng)度．12．（2022秋?新昌縣期中）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，（1）證明：圓中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求證：AD+CD＝BD．13．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，圓心O到AC的距離等于．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求∠ADC的度數(shù)．14．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠E＝∠F．（1）求證：DF⊥AE；（2）若C是的中點(diǎn)，設(shè)∠E＝α，∠DBA＝β，用含α的代數(shù)式表示β．15．（2022?龍泉市一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，BC＝CD＝5，AD＝5，E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F．（1）若BF⊥AD，求證：∠ABF＝∠ACB；（2）求四邊形ABCD的面積；（3）若△BCE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng)．二．正多邊形和圓（共15小題）16．（2023?永康市一模）如圖，已知正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2，連接對(duì)角線構(gòu)成另一個(gè)正五邊形FGHIJ，則正五邊形FGHIJ的邊長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．17．（2023?紹興模擬）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（）A．π B． C． D．18．（2022秋?溫州期末）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，邊AB落在x軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．19．（2017秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有．20．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接BD，則∠ABD的度數(shù)是．21．（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對(duì)角線AC，BD，設(shè)AC與BD相交于O．（1）求證：AO＝CD；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說(shuō)明理由．22．（2017秋?溫州期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將它沿AB方向平移1個(gè)單位，得到正六邊形A′B′C′D′E′F′，則陰影部分A′BCDE′F′的面積是（）A．3 B．4 C． D．223．（2021秋?義烏市期末）如圖，在由邊長(zhǎng)相同的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．再選擇一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，符合點(diǎn)C條件的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．424．（2022秋?嘉興期末）如圖，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°25．（2023?舟山一模）某正多邊形的內(nèi)角是它外角的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)為．26．（2022秋?江北區(qū)期末）劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，取的中點(diǎn)G，OG與AB交于點(diǎn)H；連結(jié)AG、BG；依次對(duì)剩余五段弧取中點(diǎn)可得一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為S1，正六邊形的面積為S2，則＝．27．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BF，BD分別交AC于點(diǎn)G，H，若該圓的半徑為12，則線段GH的長(zhǎng)為（）A．6 B． C． D．828．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝．29．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC和AD分別交對(duì)角線BE于點(diǎn)M，N，若△AMN的面積為s，則正五邊形ABCDE的面積為（結(jié)果用含s的代數(shù)式表示）．30．（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，AD，CE，CE交AD于點(diǎn)F．（1）求∠CAD的度數(shù)．（2）已知AB＝2，求DF的長(zhǎng)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，為的兩條弦，連結(jié)，，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若，則為（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，線段是的直徑，、為上兩點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．106．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°8．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形內(nèi)接于，如果，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在上，且經(jīng)過(guò)圓心O，連接，若，則弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，則的度數(shù)是________．12．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，則的大小為_(kāi)_________．

13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連接，若，則的度數(shù)是________．

14．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）圓的內(nèi)接正多邊形中，正多邊形的一條邊所對(duì)的圓心角是，則正多邊形的邊數(shù)是______15．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的中心，以為邊構(gòu)造正五邊形，則___________．

16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則_________．

17．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，將一個(gè)正方形紙片沿虛線對(duì)折兩次，得到圖2，按照?qǐng)D2所示剪去一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，展開(kāi)后得到一個(gè)如圖3所示的正八邊形，將前下的四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形，放在正八邊形內(nèi)部，與重合，為的中點(diǎn)，連接．

（1）圖1中的正方形紙片邊長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)______度，與重合，此時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)_____．18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則______．

三、解答題19．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，連接，若，求的度數(shù)．20．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；21．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，求邊長(zhǎng)為a的正方形的外接圓的半徑長(zhǎng)．

22．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是的直徑，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，射線交點(diǎn)于F，連接，，，，．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)求的長(zhǎng)．23．（2023·浙江杭州·統(tǒng)