第四章-湍流流動

第四章湍流流動1一、關(guān)于湍流流動的基本概念當(dāng)流體在高速流動時，流體質(zhì)點(diǎn)不僅在流動方向上運(yùn)動，而且在垂直于流動方向的方向上存在著運(yùn)動。這造成質(zhì)點(diǎn)的流線和跡線十分復(fù)雜，難以用數(shù)學(xué)式簡單的描述。該流動狀態(tài)稱為湍流。1、臨界雷諾準(zhǔn)數(shù)當(dāng)Re<2000時，流體呈層流，當(dāng)Re>4000時，流體呈湍流。Rec=4000——定義為湍流流動的下限，即臨界雷諾準(zhǔn)數(shù)。2在湍流中任一點(diǎn)的流動參數(shù)（速度、壓力），其大小和方向（速度）隨時間在無規(guī)則的變動。嚴(yán)格的講，湍流中根本不存在穩(wěn)定狀態(tài)。通過取一定時間段中的平均值（時均值）作為其參數(shù)值。X方向上的時均速度定義為：時均壓力定義為：ux，P為瞬時速度及壓力，是時間的函數(shù)。式中：，為時間θ內(nèi)的時均值。2、時均量與脈動量3

瞬時參數(shù)值等于時均值與脈動值之和。如：——脈動速度分量;——脈動壓強(qiáng).根據(jù)以上定義，在時間θ內(nèi)脈動值的平均值應(yīng)為零，即：4同理：脈動值有正、負(fù)之分，其總和為零。通常所指的穩(wěn)態(tài)流動是指平均值不隨時間變化。53、湍流時的連續(xù)性方程對于不可壓縮性流體，其連續(xù)性方程為：∴代入連續(xù)性方程中，有：6

時均速度，瞬時速度，脈動速度分量均符合連續(xù)性方程。經(jīng)過推導(dǎo)整理可得：74.湍流時的微分動量衡算方程

——（1）上式兩邊同乘，有：——（2）又∵X方向的微分動量衡算方程8(1)+(2)得：上式可改寫為：

——（3）

9或改寫為：

——（4）

-——質(zhì)量力——法向應(yīng)力——x方向切向應(yīng)力（作用面垂直于y）——x方向切向應(yīng)力（作用面垂直于z）10對上式各項(xiàng)取時均值：②

①穩(wěn)定流動，時均速度不隨時間變化③11④同理：以上各式代入（4）式有：

12或：（——法向應(yīng)力）（——切向應(yīng)力）（——切向應(yīng)力）——湍流時的x方向動量衡算方程13令：

及

湍流應(yīng)力的定義式動量衡算方程為：

——（5）上述式中的“負(fù)”號表示

的方向相反，即脈動方向相反.14——湍流時，法向、切向應(yīng)力的時均值。

（相當(dāng)于層流時的應(yīng)力值）——脈動速度產(chǎn)生的法向、切向應(yīng)力時均值。

（或附加應(yīng)力時均值）——湍流流動時x方向總法向應(yīng)力?！獪u流粘性產(chǎn)生的附加法向應(yīng)力?！牧鲿r，總時均法向、切向應(yīng)力的平均值。156.渦流粘度與混合長宗旨：為求解上述方程，必須確立雷諾應(yīng)力（脈動速度分量）與時均速度梯度之間的關(guān)系。①湍流的統(tǒng)計(jì)學(xué)說。利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理建立雷諾應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系，這無疑是一條正確的途徑，但到目前為止，統(tǒng)計(jì)學(xué)說還未達(dá)到直接、有效地解決工程實(shí)際問題的階段。②半經(jīng)驗(yàn)半理論的方法。該方法是在理論分析的基礎(chǔ)上，先假設(shè)建立湍流時動量傳遞的機(jī)理及模型，然后結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立雷諾應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系。盡管目前這類方法尚存在某些欠缺，但仍是解決實(shí)際工程問題的一條有效途徑。在這方面普蘭德（Plandtl）提出的混合長概念被普遍應(yīng)用，又稱為普蘭德動量傳遞理論。16（１）渦流粘度（渦流運(yùn)動粘度或表觀運(yùn)動粘度）波希涅斯克（Boussinesg）按照類似于層流時的牛頓粘性定律，建立了雷諾應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系。對于平行湍流而言：總應(yīng)力：

式中：——稱為流體的湍流運(yùn)動粘度（簡稱：渦流粘度）或表觀運(yùn)動粘度。

17①渦流黏度與牛頓黏性定律中的動力黏度所表達(dá)的含義相同，但本質(zhì)不同。②渦流黏度不是流體的物性，而是與流道中流體所處的位置、流速及邊壁的粗糙度等因素有關(guān)的，是表示湍流中流體脈動程度的一個參數(shù)。隨時間和空間的變化很大，甚至有數(shù)量級的差別。除壁面附近外，渦流黏度遠(yuǎn)大于分子黏度。說明：③目前還沒有純理論能求算出來，而只能根據(jù)時均速度分布圖，由實(shí)驗(yàn)確定。按照普蘭德混合長的概念可以較好解釋其意義。18（２）普蘭德混合長（Plandtlmixinglength）普蘭德從湍流擴(kuò)散與氣體分子擴(kuò)散作用之間的類比提出了混合長理論。湍流動量傳遞理論有三點(diǎn)假設(shè)，普蘭德混合長是其中的一條假設(shè)。定義：所謂普蘭德混合長l，是指湍流流體中的流體微團(tuán)保持原來x方向上的時均速度（動量）原樣不變時所脈動的距離。①Plandtlmixinglength19設(shè)想某一瞬時，位于A點(diǎn)的流體微團(tuán)，以y方向的脈動速度向上脈動，經(jīng)過一段距離后到達(dá)B點(diǎn)，如果此時該流體微團(tuán)仍保持x方向上的時均速度不變，則這個脈動距離稱為普蘭德混合長。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由A脈動到達(dá)B點(diǎn)，由于其保持原速度不變，與B點(diǎn)所在的流體質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一個速度差，即：該速度差可看作是B點(diǎn)處的湍流脈動速度分量u’x

。20所以，一般而言u’xu’y的乘積為“負(fù)”。同理，在C點(diǎn)處較高速度的流體微團(tuán)脈動至較低速度的D點(diǎn)處時，也有－

u’xu’y

。如圖所示：A點(diǎn)在x方向上的時均速度（動量）總是小于B點(diǎn)處的，因此當(dāng)A點(diǎn)處流體微團(tuán)沿y方向向上脈動（脈動速度為u’y），經(jīng)過一個混合長到達(dá)B點(diǎn)時，由于其仍保持原來的速度不變，將使B點(diǎn)處的流體微團(tuán)產(chǎn)生一個向左的脈動速度－u’x。21

普蘭德混合長在某種程度上與氣體分子的平均自由程概念相類似，但兩者之間有著本質(zhì)的不同。氣體分子自由程是由氣體分子的熱運(yùn)動引起的，是分子尺度上的微觀運(yùn)動，且不受流體運(yùn)動狀態(tài)的影響；而混合長是由湍流運(yùn)動引起來的流體微團(tuán)脈動，是微團(tuán)尺度上的微觀運(yùn)動，與分子尺度相比是宏觀上的運(yùn)動。其大小不超過流道的尺寸。22在一般情況下u’x與u’y總存在如下關(guān)系式：其中：C1為比例常數(shù)?；蛴捎趛方向上的脈動速度u’y是由x方向上的脈動度造成的，且x方向在B,D之間形成“空缺”的體積等于上、下兩層流體（y方向）填補(bǔ)來的流體體積，從動量的角度來看，二者動量相當(dāng)，所以二者的脈動速度也相當(dāng)。即u’y與u’x具有相同的數(shù)量級。②關(guān)于數(shù)量級的問題：23③普蘭德的第三點(diǎn)設(shè)想如圖所示：流體微團(tuán)在y方向上產(chǎn)生脈動速度u’y時，必然使流體微團(tuán)在x方向上也產(chǎn)生脈動速度u’x

。普蘭德認(rèn)為：這個u’y的大小應(yīng)該正比于y層流體和（y－l’）層或（y+l’）層流體層在x方向上的時均速度差：即：24也可以寫成：式中：C2為比例系數(shù)。寫成等式為：25④普蘭德混合長根據(jù)上述三點(diǎn)設(shè)想，可以得出普蘭德動量傳遞理論的表達(dá)式：∵∴26由于普蘭德混合長l比渦流粘度ve好估計(jì)得多，所以湍流應(yīng)力變得易于計(jì)算。l的大小至少應(yīng)不大于流道的尺寸，所以的大小有一個大致的范圍。大量的實(shí)驗(yàn)證明，在管道中，湍流速度分布下的普蘭德混合長與速度無關(guān)，只取決于位置，有如下的關(guān)系式：此稱為普蘭德混合長。式中：或其中：y為離開壁面的距離；K為通用常數(shù)，等于0.4。即：27（3）湍流粘度與普蘭德混合長之間的關(guān)系在此處看成力，其方向與的符號有關(guān)。（渦流粘度式）∵對于一維流動又∵——(1)——（2）28如圖所示，A點(diǎn)微團(tuán)脈動至B點(diǎn)時，為“正”，，A點(diǎn)微團(tuán)受到的剪應(yīng)力與x同向?yàn)檎枺籄點(diǎn)微團(tuán)脈動至C點(diǎn)時：為“