2024-2025學(xué)年重慶市渝北中學(xué)九年級（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年重慶市渝北中學(xué)九年級（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）下列圖形中既是軸對稱，又是中心對稱的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列說法正確的是（）A．兩個負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件 B．“煮熟的鴨子飛了”是隨機(jī)事件 C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件 D．“擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是2”是隨機(jī)事件4．（4分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．a(chǎn)2+2a+3＝a（a+2）+3 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）5．（4分）估算的值應(yīng)在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間6．（4分）如圖，在圖①中，互不重疊的三角形共有4個，互不重疊的三角形共有7個，圖③中互不重疊的三角形共10個（）個．A．13個 B．16個 C．18個 D．20個7．（4分）如圖，點(diǎn)A（2，12）在反比例函數(shù)，AB，AC分別垂直于x軸、y軸，DE，DF分別垂直于x軸、AB于E，若四邊形DEBF為正方形，則這個正方形的面積等于（）A．24 B．18 C．16 D．128．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，O是斜邊AB的中點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，則CF的值為（）A． B． C． D．10．（4分）已知兩個整式A＝a+b，B＝a﹣b，用整式A與整式B求和后得到整式M1＝2a，稱為第一次操作；將第一次操作的結(jié)果M1加上A+2B結(jié)果記為M2，稱為第二次操作；將第二次操作的結(jié)果M2加上2A+3B，結(jié)果記為M3，稱為第三次操作；將第三次操作的結(jié)果M3加上3A+4B，結(jié)果記為M4，稱為第四次操作，…，以此類推．以下四個說法正確的個數(shù)是（）①當(dāng)a＝2b時，則第5次操作的結(jié)果M5＝24a；②當(dāng)b＝25a時，則有M10＝M15；③M1+M2+M3+M4+M5＝60a﹣10b；④當(dāng)a＝4，b＝2024時，Mn＞3n2﹣2024n+2024．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題答案填寫在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11．（4分）計算＝．12．（4分）若x＝0是關(guān)于x的一元二次方程（k+3）x2+4x+k2﹣9＝0的一個根，則k＝．13．（4分）如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象與反比例函數(shù)圖象相交于A，已知A（2，3），則B的坐標(biāo)為．14．（4分）“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校九年級計劃開展“名著共讀”活動．若從中隨機(jī)選取2本名著開展活動，其中有一本是《西游記》的概率是．15．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝2，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，延長AC到點(diǎn)E，連接DE，取DE的中點(diǎn)M、OB的中點(diǎn)N，則MN的長為．16．（4分）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有2個偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．17．（4分）如圖，已知圓O的半徑為3，圓心角∠AOB＝120°，分別以AO，AC為邊作?AODC（1）若點(diǎn)D在圓周上，則BD＝；（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，BD的最大值為．18．（4分）如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，∵14+28＝42，∴1428是“快樂數(shù)”，∵25+34＝59≠53，∴2534不是“快樂數(shù)”．若一個“快樂數(shù)”為；如果一個“快樂數(shù)”能被7整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是．三、解答題（本大題共8個小題，19題8分，其余各題每題10分，共78分），解題時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計算：（1）4a（a﹣b）﹣（2a﹣3b）（3b+2a）；（2）．20．（10分）在學(xué)習(xí)完直角三角形后，小附進(jìn)行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜邊的中點(diǎn)向兩腰分別引出一條射線，當(dāng)兩條射線互相垂直時，兩交點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)所連線段有什么數(shù)量關(guān)系？請根據(jù)他的思考完成以下作圖與填空．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊中點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作直線DE的垂線，交AC于點(diǎn)F（只保留作圖痕跡）（2）求證：DE＝DF．證明：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，∴，∴∠C＝∠DAC，∴①，又∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BDE+∠ADE＝90°，又∵DE⊥DF，∴∠ADF+∠ADE＝90°，∴②，在△BED和△AFD中，∴△BED≌△AFD（ASA），∴DE＝DF．小附在進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)，只要等腰直角三角形滿足此特征均有此結(jié)論，請你根據(jù)題意完成下面命題：在等腰直角三角形中，與等腰直角三角形兩腰各相交于一點(diǎn)，若兩條射線互相垂直．21．（10分）為了宣傳垃圾分類從我做起活動，我校舉行了垃圾分類相關(guān)知識競賽，為了了解初一、初二兩個年級學(xué)生的掌握情況．現(xiàn)從兩個年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制），過程如下：收集數(shù)據(jù)：初一的20名學(xué)生的垃圾分類相關(guān)知識競賽成績統(tǒng)計（單位：分）6568707677788788888889898989939597979899初二的20名學(xué)生的垃圾分類相關(guān)知識競賽成績統(tǒng)計（單位：分）6972727374747474767678899697979898999999整理數(shù)據(jù)（垃圾分類相關(guān)知識競賽成績得分用x表示）分?jǐn)?shù)年級60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100初一（人數(shù)）24a6初二（人數(shù)）11018分析數(shù)據(jù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）平均分中位數(shù)眾數(shù)方差初一8688.5c10.3初二84.2b7412.1請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個年級的同學(xué)的垃圾分類相關(guān)知識掌握更好一些，請說明你的理由（一條理由即可）；（3）若我校初一、初二兩個年級共有1800名學(xué)生參加了此活動，請估計兩個年級垃圾分類相關(guān)知識競賽成績成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生共有多少人？22．（10分）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，計劃每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108萬元．因地質(zhì)情況不同，甲每合格完成1米橋梁施工成本比乙每合格完成1米的橋梁施工成本多2萬元．（1）分別求出甲，乙每合格完成1米的橋梁施工成本；（2）實(shí)際施工開始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加萬元米．乙每合格完成1米隧道施工成本增加萬元米．若最終每天實(shí)際總成本比計劃多（24+）萬元23．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊上的三等分點(diǎn)（CF＜BF），沿折線A→D→C運(yùn)動，到C點(diǎn)停止運(yùn)動．點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度，△PEF的面積為y．（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)直線y1＝﹣2x+b與該函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)時，b的取值范圍．24．（10分）如圖，車站A在車站B的正西方向，它們之間的距離為100千米，沿北偏東45°方向行駛到達(dá)D處，已知D在A的北偏東60°方向（1）求車站B到目的地D的距離（結(jié)果保留根號）；（2）客車在D處準(zhǔn)備返回時發(fā)生了故障，司機(jī)在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C出發(fā)以35千米每小時的速度沿CD方向前往救援，請通過計算說明救援車能否在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）25．（10分）如圖1，拋物線y＝x2+bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線OB交于點(diǎn)B（4，4），過點(diǎn)A作直線OB的平行線（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，求△DEF面積的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖2，在（2）問條件下，將原拋物線向右平移1個單位（2）問條件下的點(diǎn)D時，新拋物線與x軸交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），連接GD，點(diǎn)P為新拋物線上一點(diǎn)，使得∠DHN＝2∠DGN，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．26．（10分）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，連接AD，E為AD上一點(diǎn)（1）延長AD到F，使EF＝EC，連接CF、BF①如圖1，若BF＝3，EC＝6；②如圖2，過A作BC的平行線AG，且AG＝AB，點(diǎn)H為GE的中點(diǎn)，連接AH；（2）如圖3，連接BE，若，問CE是否有最小值，請直接寫出CE的最小值；若沒有

2024-2025學(xué)年重慶市渝北中學(xué)九年級（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ACDDCBCADD一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1．（4分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的絕對值是2024．故選：A．2．（4分）下列圖形中既是軸對稱，又是中心對稱的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．既是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：C．3．（4分）下列說法正確的是（）A．兩個負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件 B．“煮熟的鴨子飛了”是隨機(jī)事件 C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件 D．“擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是2”是隨機(jī)事件【解答】解：A、兩個負(fù)數(shù)相乘，故本選項說法錯誤；B、“煮熟的鴨子飛了”是不可能事件，不符合題意；C、射擊運(yùn)動員射擊一次，故本選項說法錯誤；D、“擲一次骰子，說法正確；故選：D．4．（4分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．a(chǎn)2+2a+3＝a（a+2）+3 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【解答】解：A、（a+b）2＝a2+7ab+b2，是整式乘法，故本選項不符合題意；B、a2+6a+3＝a（a+2）+3，右邊不是整式的積的形式，故本選項不符合題意；C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是整式乘法，故本選項不符合題意；D、7a2﹣6ab＝2a（a﹣3b），符合因式分解的定義．故選：D．5．（4分）估算的值應(yīng)在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【解答】解：＝+1，∵5＜＜5，∴5＜+3＜6，故選：C．6．（4分）如圖，在圖①中，互不重疊的三角形共有4個，互不重疊的三角形共有7個，圖③中互不重疊的三角形共10個（）個．A．13個 B．16個 C．18個 D．20個【解答】解：由所給圖形可知，第①個圖形中互不重疊的三角形的個數(shù)為：4＝1×7+1；第②個圖形中互不重疊的三角形的個數(shù)為：7＝6×3+1；第③個圖形中互不重疊的三角形的個數(shù)為：10＝5×3+1；…，所以第n個圖形中互不重疊的三角形的個數(shù)為（8n+1）個．當(dāng)n＝5時，3n+1＝16（個），即第⑤個圖形中互不重疊的三角形的個數(shù)為16個．故選：B．7．（4分）如圖，點(diǎn)A（2，12）在反比例函數(shù)，AB，AC分別垂直于x軸、y軸，DE，DF分別垂直于x軸、AB于E，若四邊形DEBF為正方形，則這個正方形的面積等于（）A．24 B．18 C．16 D．12【解答】解：設(shè)正方形的邊長為m，∵點(diǎn)A（2，12），∴D（2+m，m），∵點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y＝（k≠8）的圖象上，∴m（2+m）＝2×12，解得m＝3或m＝﹣6（舍去），∴這個正方形的面積＝4×7＝16，故選：C．8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，O是斜邊AB的中點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：連接OD，∵AC是⊙O的切線，∴∠ADO＝90，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∵O是斜邊AB的中點(diǎn)，∴AO＝OB，∴AD＝CD，∴OD＝BC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴，AC＝，∴∠AOD＝60°，OD＝1，∴AD＝OD＝，∴圖中陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣△AOD的面積﹣扇形DOF的面積＝×6×1×﹣＝﹣，故選：A．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，則CF的值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BD，設(shè)BE交CD于點(diǎn)E，∴∠CBE＝∠DBE，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，∠BOC＝∠BCD＝90°，在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠DBE+∠BFO＝90°，∴∠CEB＝∠BFO，∵∠EFC＝∠BFO，∴∠CEB＝∠EFC，∴CE＝CF，∵EM⊥BD，∠BCD＝90°，∴EM＝EC，設(shè)EM＝EC＝x，則DE＝4﹣x，∵，∴，解得：，∴，故選：D．10．（4分）已知兩個整式A＝a+b，B＝a﹣b，用整式A與整式B求和后得到整式M1＝2a，稱為第一次操作；將第一次操作的結(jié)果M1加上A+2B結(jié)果記為M2，稱為第二次操作；將第二次操作的結(jié)果M2加上2A+3B，結(jié)果記為M3，稱為第三次操作；將第三次操作的結(jié)果M3加上3A+4B，結(jié)果記為M4，稱為第四次操作，…，以此類推．以下四個說法正確的個數(shù)是（）①當(dāng)a＝2b時，則第5次操作的結(jié)果M5＝24a；②當(dāng)b＝25a時，則有M10＝M15；③M1+M2+M3+M4+M5＝60a﹣10b；④當(dāng)a＝4，b＝2024時，Mn＞3n2﹣2024n+2024．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵M(jìn)1＝2a，M4＝M1+A+2B＝7a+a+b+2（a﹣b）＝5a﹣b，M7＝M2+2A+7B＝5a﹣b+2（a+b）+7（a﹣b）＝10a﹣2b，M4＝M2+3A+4B，∴M4＝17a﹣3b．同理：M5＝26a﹣7b，①當(dāng)a＝2b時，M5＝26a﹣7b＝24a，故①正確；②當(dāng)b＝25a時，M10＝（102+1）a﹣（10﹣8）b＝101a﹣9b，M15＝226a﹣14b，∴M10＝101a﹣9×25a＝101a﹣225a＝﹣124a，M15＝226a﹣14×25a＝﹣124a，故②正確；③∵M(jìn)7＝2a，M2＝2a﹣b，M3＝10a﹣2b，M2＝17a﹣3b，M5＝26a﹣4b，∴M1+M2+M4+M4+M5＝3a+5a﹣b+10a﹣2b+17a﹣8b+26a﹣4b＝60a﹣10b，故③正確；④∵M(jìn)n＝（n2+6）a﹣（n﹣1）b＝（n2+4）×4﹣（n﹣1）×2024，∴Mn＝7n2+4﹣2024n+2024＝7n2﹣2024n+2028，∴Mn﹣（3n8﹣2024n+2024）＝4n2﹣2024n+2028﹣（5n2﹣2024n+2024）＝4n3﹣2024n+2028﹣3n2+2024n﹣2024＝n2+4＞0，∴Mn＞3n2﹣2024n+2024，故④正確；由上可知，①、②、③、④都正確，故選：D．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題答案填寫在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11．（4分）計算＝4．【解答】解：＝8+3＝4，故答案為：5．12．（4分）若x＝0是關(guān)于x的一元二次方程（k+3）x2+4x+k2﹣9＝0的一個根，則k＝3．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣2＝0，（k﹣3）（k+6）＝0，可得k﹣3＝4或k+3＝0，解得：k＝2或k＝﹣3，當(dāng)k＝﹣3時，k+2＝0，舍去；則k的值為3．故答案為：7．13．（4分）如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象與反比例函數(shù)圖象相交于A，已知A（2，3），則B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．【解答】解：由條件可知B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；故答案為：（﹣5，﹣3）．14．（4分）“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校九年級計劃開展“名著共讀”活動．若從中隨機(jī)選取2本名著開展活動，其中有一本是《西游記》的概率是．【解答】解：把《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結(jié)果，其中有一本是《西游記》的結(jié)果有：（A，（B，（C，（D，（D，（D，共6種，∴其中有一本是《西游記》的概率是．15．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝2，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，延長AC到點(diǎn)E，連接DE，取DE的中點(diǎn)M、OB的中點(diǎn)N，則MN的長為．【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝2，AC⊥BD，∴，∵N為OB的中點(diǎn)，∴，延長DB到點(diǎn)F，使BF＝OD＝2，如圖：則FN＝DN＝5，∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴DM＝EM，∴MN是△DEF的中位線，∴，∵CE＝AC＝7，∴OE＝CE+OC＝3，在Rt△OEF中，OF＝OB+BF＝4，∴，∴，故答案為：．16．（4分）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有2個偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的和為10．【解答】解：將關(guān)于y的分式方程的兩邊都乘以y﹣2得，3y﹣5+y﹣2＝2y﹣a，解得y＝3﹣，由于分式方程有整數(shù)解，∴a為不是2的偶數(shù)，不等式x﹣a≤3x﹣1的解集為x≥，不等式x﹣3＜的解集為x＜4，由于關(guān)于x的不等式組有且只有2個偶數(shù)解，所以﹣2＜≤0，即2≤a＜7，∵a為不是2的偶數(shù)，∴a＝4或a＝6，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為4+5＝10．故答案為：10．17．（4分）如圖，已知圓O的半徑為3，圓心角∠AOB＝120°，分別以AO，AC為邊作?AODC（1）若點(diǎn)D在圓周上，則BD＝3；（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，BD的最大值為6．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵點(diǎn)D在圓周上，四邊形AODC是平行四邊形，又∵OA＝OD，∴四邊形AODC是菱形，∴AC＝OD＝CD＝OC＝OA＝3，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝120°+60°＝180°，∴B、O、C三點(diǎn)共線，∴BC＝6，且BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴BD＝＝＝4，故答案為：3；（2）如圖，連接OC，連接OF，∵四邊形ACDO是平行四邊形，∴OA∥CD，AC∥OD，∴∠FOD＝∠A，∵OF＝OA，∴四邊形OCDF是平行四邊形，∴DF＝OC，∵以AO，AC為邊作?AODC，∴OD可以看作是AC沿AO方向平移，則點(diǎn)C到點(diǎn)D的距離始終等于點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離，∵點(diǎn)C是⊙O上的定點(diǎn)，點(diǎn)C的軌跡是一個圓，∴點(diǎn)D的軌跡也是一個圓，可以看作是⊙O向AO方向平移AO的長度，F(xiàn)O為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D在BF的延長線上時，BD的值取得最大值，這個點(diǎn)記為點(diǎn)D′，對應(yīng)的點(diǎn)C記為點(diǎn)C′，∵∠AOB＝120°，∴∠FOB＝60°，∵OF＝OB，∴∠OFB＝（180°﹣∠FOB）÷2＝60°，連接D′F，∵FD′＝FO，∴∠FOD′＝∠FD′O＝∠OFB÷2＝30°，∴∠BOD′＝∠FOD′+∠FOB＝90°，∴△BOD′是直角三角形，且∠BD′O＝30°，∴BD′＝7BO＝6，即BD的最大值為6，故答案為：4．18．（4分）如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，∵14+28＝42，∴1428是“快樂數(shù)”，∵25+34＝59≠53，∴2534不是“快樂數(shù)”．若一個“快樂數(shù)”為1538；如果一個“快樂數(shù)”能被7整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是6923．【解答】解：∵15m8是一個“快樂數(shù)”，∴15+10m+8＝50+m，解得：m＝2，∴這個數(shù)為1538；∵自然數(shù)是“快樂數(shù)”，∴10a+b+10c+d＝10b+c，∴，∵1≤a≤9，8≤b≤9，∴﹣17≤c﹣b﹣d≤7，﹣8≤a﹣b+c≤17，∴，∴，∴＝＝＝，∵自然數(shù)能被8整除，∴能被7整除，∴當(dāng)c＝2或7時，能被7整除，①當(dāng)c＝9時，∴b＝a+10＞8；②當(dāng)c＝2時，∵，∴10a+b+10c+d≤99，∴10a+a+c+1+10c+2﹣a≤99，∴10a+1lc≤89，∴10a+22≤89，解得：a≤6.7，∵1≤a≤9，且a為整數(shù)，∴a最大取8，當(dāng)a＝6時，d＝9﹣4＝3，∴＝6923，故答案為：1538，6923．三、解答題（本大題共8個小題，19題8分，其余各題每題10分，共78分），解題時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計算：（1）4a（a﹣b）﹣（2a﹣3b）（3b+2a）；（2）．【解答】解：（1）4a（a﹣b）﹣（2a﹣5b）（3b+2a）＝6a2﹣4ab﹣6a2+9b5＝9b2﹣7ab；（2）＝＝＝．20．（10分）在學(xué)習(xí)完直角三角形后，小附進(jìn)行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜邊的中點(diǎn)向兩腰分別引出一條射線，當(dāng)兩條射線互相垂直時，兩交點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)所連線段有什么數(shù)量關(guān)系？請根據(jù)他的思考完成以下作圖與填空．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊中點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作直線DE的垂線，交AC于點(diǎn)F（只保留作圖痕跡）（2）求證：DE＝DF．證明：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，∴，∴∠C＝∠DAC，∴①∠B＝∠DAC，又∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BDE+∠ADE＝90°，又∵DE⊥DF，∴∠ADF+∠ADE＝90°，∴②∠BDE＝∠ADF，在△BED和△AFD中，∴△BED≌△AFD（ASA），∴DE＝DF．小附在進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)，只要等腰直角三角形滿足此特征均有此結(jié)論，請你根據(jù)題意完成下面命題：在等腰直角三角形中，與等腰直角三角形兩腰各相交于一點(diǎn)，若兩條射線互相垂直兩交點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)所連線段相等．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，（2）證明：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，∴，∴∠C＝∠DAC，∴∠B＝∠DAC，又∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BDE+∠ADE＝90°，又∵DE⊥DF，∴∠ADF+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BED和△AFD中，，∴△BED≌△AFD（ASA），∴DE＝DF，小附在進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)，只要等腰直角三角形滿足此特征均有此結(jié)論，如果由斜邊的中點(diǎn)向兩腰分別引出一條射線，若兩條射線互相垂直．故答案為：∠B＝∠DAC，∠BDE＝∠ADF，兩交點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)所連線段相等．21．（10分）為了宣傳垃圾分類從我做起活動，我校舉行了垃圾分類相關(guān)知識競賽，為了了解初一、初二兩個年級學(xué)生的掌握情況．現(xiàn)從兩個年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制），過程如下：收集數(shù)據(jù)：初一的20名學(xué)生的垃圾分類相關(guān)知識競賽成績統(tǒng)計（單位：分）6568707677788788888889898989939597979899初二的20名學(xué)生的垃圾分類相關(guān)知識競賽成績統(tǒng)計（單位：分）6972727374747474767678899697979898999999整理數(shù)據(jù)（垃圾分類相關(guān)知識競賽成績得分用x表示）分?jǐn)?shù)年級60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100初一（人數(shù)）24a6初二（人數(shù)）11018分析數(shù)據(jù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）平均分中位數(shù)眾數(shù)方差初一8688.5c10.3初二84.2b7412.1請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：a＝8，b＝77，c＝89；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個年級的同學(xué)的垃圾分類相關(guān)知識掌握更好一些，請說明你的理由（一條理由即可）；（3）若我校初一、初二兩個年級共有1800名學(xué)生參加了此活動，請估計兩個年級垃圾分類相關(guān)知識競賽成績成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生共有多少人？【解答】解：（1）由初一的20名同學(xué)的競賽成績統(tǒng)計知a＝8，眾數(shù)c＝89，由初二的20名同學(xué)的競賽成績統(tǒng)計知其中位數(shù)b＝＝77，故答案為：8；77；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我認(rèn)為初一的同學(xué)的垃圾分類相關(guān)知識掌握更好一些，其平均水平高（答案不唯一）；（3）1800×＝630（人），答：估計兩個年級成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生共有630人．22．（10分）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，計劃每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108萬元．因地質(zhì)情況不同，甲每合格完成1米橋梁施工成本比乙每合格完成1米的橋梁施工成本多2萬元．（1）分別求出甲，乙每合格完成1米的橋梁施工成本；（2）實(shí)際施工開始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加萬元米．乙每合格完成1米隧道施工成本增加萬元米．若最終每天實(shí)際總成本比計劃多（24+）萬元【解答】解：（1）設(shè)乙每合格完成1米的橋梁施工成本為x萬元，則甲每合格完成1米的橋梁施工成本為（x+4）萬元，根據(jù)題意得：6x+6（x+8）＝108，解得：x＝8，∴x+2＝2+2＝10．答：甲每合格完成1米的橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成6米的橋梁施工成本為8萬元；（2）根據(jù)題意得：（10+a）（6+a）（6+a，整理得：4a2﹣156a﹣3456＝0，解得：a6＝36，a2＝﹣（不符合題意．答：a的值為36．23．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊上的三等分點(diǎn)（CF＜BF），沿折線A→D→C運(yùn)動，到C點(diǎn)停止運(yùn)動．點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度，△PEF的面積為y．（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)直線y1＝﹣2x+b與該函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)時，b的取值范圍．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，∵點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊上的三等分點(diǎn)（CF＜BF），∴，，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，則AP＝2x，即7＜x≤3，此時DP＝6﹣4x，∴△PEF的面積＝＝2x+4；當(dāng)點(diǎn)P在CD上時，即3＜x≤5時，則DP＝2x﹣6，∴△PEF的面積＝＝﹣4x+22；∴（2）函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)3≤x≤3時，y隨著x的增大而增大，y隨著x的增大而減??；（3）當(dāng)直線y1＝﹣8x+b經(jīng)過點(diǎn)（5，2）時，則b＝12，當(dāng)直線y4＝﹣2x+b經(jīng)過點(diǎn)（3，10）時，則b＝16，結(jié)合圖象可知，直線y2＝﹣2x+b與該函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)時，b的取值范圍是12≤b＜16．24．（10分）如圖，車站A在車站B的正西方向，它們之間的距離為100千米，沿北偏東45°方向行駛到達(dá)D處，已知D在A的北偏東60°方向（1）求車站B到目的地D的距離（結(jié)果保留根號）；（2）客車在D處準(zhǔn)備返回時發(fā)生了故障，司機(jī)在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C出發(fā)以35千米每小時的速度沿CD方向前往救援，請通過計算說明救援車能否在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，則∠DHB＝90°，設(shè)BH＝DH＝x千米，則AH＝（100+x）千米，在Rt△ADH中，tan∠DAH＝，即7x＝（100+x），解得x＝5050，∴BD＝DH＝（50）千米；答：車站B到目的地D的距離為（50+50；（2）由題意得AD＝2DH＝（100100）千米，∴應(yīng)急車所用時間＝＝≈4.55（小時），在Rt△CDH中，∠CHD＝90°，∴sin∠DCH＝＝，∴CD＝DH＝，∴救援車所用時間＝＝≈4.50（小時），∵4.55＞4.50，∴能到達(dá)，答：救援車能在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．25．（10分）如圖1，拋物線y＝x2+bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線OB交于點(diǎn)B（4，4），過點(diǎn)A作直線OB的平行線（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，求△DEF面積的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖2，在（2）問條件下，將原拋物線向右平移1個單位（2）問條件下的點(diǎn)D時，新拋物線與x軸交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），連接GD，點(diǎn)P為新拋物線上一點(diǎn)，使得∠DHN＝2∠DGN，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx與直線OB交于點(diǎn)B（4，7），∴16+4b＝4，解得b＝﹣6，∴拋物線為y＝x2﹣3x；（2）設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，∵y＝kx過點(diǎn)B（4，4），∴4k＝2，解得k＝1，∴直線OB的解析式為y＝x，∵OB∥AC，設(shè)直線AC的解析式為y＝x+n，當(dāng)y＝0時，x3﹣3x＝0，解得x7＝0，x2＝5，∴A（3，0），∴2+n＝0，解得n＝﹣3，設(shè)D（m，m6﹣3m），則E（m，如圖，過點(diǎn)F作FW⊥DE交DE于點(diǎn)W，由平移的性質(zhì)可知EQ＝3，∵EF⊥AC，∴EF⊥OB，即∠EFQ＝∠OEF＝90°，∵∠BOA＝45°，DE⊥x軸交直線OB于點(diǎn)E，∴∠OED＝45°，∴∠FED＝∠OEF﹣∠OED＝45°，即△EFQ為等腰直角三角形，∴FW＝EQ＝，∴S△DEF＝DE×FW＝2+4m）×＝﹣2+8≤3，∴當(dāng)m＝2時，△DEF面積的最大值為5，﹣2）；（3）設(shè)原拋物線向右平移e個單位，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣e）2﹣7（x﹣e），∵平移后的拋物線解析式過點(diǎn)D（2，﹣2），∴（