專(zhuān)題32 最值模型之將軍遛馬模型與將軍過(guò)橋（造橋）模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題32最值模型之將軍遛馬模型與將軍過(guò)橋（造橋）模型將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，本專(zhuān)題就將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋）再也不是問(wèn)題！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.將軍遛馬模型 2模型2.將軍造橋（過(guò)橋）模型 6 12模型1.將軍遛馬模型將軍遛馬模型：已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定，在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)（圖1-2）；圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！逷Q為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ?！逜E∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE?！郟A+QB=QE+QB，根據(jù)對(duì)稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。例1．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為_(kāi)_______例2．（2023·安徽合肥·?？既＃┰谶呴L(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，連接、，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．例3．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2例4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，是對(duì)角線上兩點(diǎn)點(diǎn)靠近點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，的長(zhǎng)為．模型2.將軍造橋（過(guò)橋）模型將軍造橋（過(guò)橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。?。圖2-1圖2-2將軍造橋（過(guò)橋）模型：如圖2-2，過(guò)A點(diǎn)作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，∵M(jìn)N為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為_(kāi)_____．

例2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為_(kāi)_______．

例3．（2024·陜西西安·二模）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線上兩動(dòng)點(diǎn)，且，將點(diǎn)沿的方向平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，連接、．(1)①四邊形的形狀為_(kāi)____________；②連接、，當(dāng)點(diǎn)，，共線時(shí)，的值為_(kāi)____________．(2)自古以來(lái)，黃河就享有“母親河”的美譽(yù)，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存的搖籃．如圖2，某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在支流1的左上方有一村莊，支流2的右下方有一開(kāi)發(fā)區(qū)，為促進(jìn)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展，經(jīng)政府決定在支流1和支流2上分別修建一座橋梁、（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河岸垂直），你能幫助政府計(jì)算一下由村莊到開(kāi)發(fā)區(qū)理論上的最短路程嗎？（即和的最小值）．經(jīng)測(cè)量，、兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為米、250米，且與線段所夾的銳角分別為、．1．（2023安徽中考學(xué)二模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（

）A．4 B．4+ C．2+2 D．62．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．3．（2024·四川瀘州·一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形為矩形，P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則的最小值為．4．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．5．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的周長(zhǎng)為，，則周長(zhǎng)的最小值是．

6．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為_(kāi)_____．7．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，分別交于點(diǎn)、交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是．9．（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若的面積為，，則（1）的直徑長(zhǎng)為；（2）周長(zhǎng)的最小值是．10．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，線段CD在對(duì)稱軸上，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．11．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長(zhǎng)的最小值為，其中，正確結(jié)論的序號(hào)為.12．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的一條動(dòng)線段，若的最大值為，則的長(zhǎng)為．13．（2024·江蘇連云港·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，E是的中點(diǎn)，P是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，分別交，于點(diǎn)F，G．當(dāng)取最小值時(shí)，則的長(zhǎng)是．14．（2024·四川廣安·二模）如圖，是直線上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線段．已知點(diǎn)，，則的最小值為．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，是對(duì)角線上兩點(diǎn)點(diǎn)靠近點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，的長(zhǎng)為．16．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)，則的最小值為，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為．17．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，將線段沿x軸向右平移得到，連接，，則的最小值為．18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．（2）問(wèn)題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過(guò)A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點(diǎn)N，此時(shí)在點(diǎn)N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認(rèn)為小旭的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長(zhǎng)為10的正方形在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)取值最小時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC=S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）問(wèn)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．20．（2023·黑龍江·九年級(jí)?？计谥校﹩?wèn)題背景（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個(gè)工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之間的水平距離為．現(xiàn)需把廠的產(chǎn)品先運(yùn)送到公路上然后再轉(zhuǎn)送到廠，則最短路線的長(zhǎng)是_____．問(wèn)題探究（2）如圖（2），和是腰