2024-2025學(xué)年安徽省六安市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省六安市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若平面α//β，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是（）A． B． C． D．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一衰分問(wèn)題：“今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百人.”若要用分層抽樣從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽出人數(shù)為（）A．60 B．70 C．80 D．903．已知正方體，點(diǎn)是上底面的中心，若，則等于（

）A．2 B． C． D．4．2023年“中華情·中國(guó)夢(mèng)”中秋展演系列活動(dòng)在廈門舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會(huì)，中秋文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有3幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品，若從這6幅作品中隨機(jī)挑選2幅作品掛在同一面墻上，則選出的2幅作品為1幅美術(shù)作品和1幅書法作品的概率為（

）A． B． C． D．5．設(shè)、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；上述命題中，所有真命題的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結(jié)論：①；②；③MN與AB是異面直線；④BF與CD成角，其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．在四面體中，平面，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．某校200名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成組（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.006B．估計(jì)某校成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為50人C．估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的眾數(shù)為80分D．估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80分二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）A． B．C． D．10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60B．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C．若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)是5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本的平均數(shù)不變，方差變大D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1611．柜子里有雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．“取出的鞋成雙”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，滿足，則．13．在四棱錐中，底面為平行四邊形，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，，，，則．（用，，表示向量）14．如圖，邊長(zhǎng)為的正的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有（只需填上正確命題的序號(hào)）．①動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上；②三棱錐的體積有最大值；③恒有平面平面；④異面直線與不可能互相垂直；⑤異面直線與所成角的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：(1)向量，，的坐標(biāo)；(2)，的坐標(biāo)．16．甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9．(1)若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；(2)若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．17．如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.18．某校為選拔參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽的同學(xué)，先進(jìn)行校內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了解校內(nèi)競(jìng)賽成績(jī)，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)，并作出頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)求頻率分布直方圖中a的值．若從成績(jī)不低于70分的同學(xué)中，按分層抽樣方法抽取12人的成績(jī)，求12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù).(2)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù).(3)若甲、乙兩位同學(xué)均進(jìn)入第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為，乙復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率為，甲、乙是否獲一等獎(jiǎng)互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎(jiǎng)的概率．19．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】若平面α//β，則兩個(gè)平面的法向量互相平行，所以平面的法向量為，所以當(dāng)時(shí)，向量為，故選：A.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣原理建立比例關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意知，抽樣比為；所以北鄉(xiāng)應(yīng)抽，南鄉(xiāng)應(yīng)抽，所以，即北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽60人．故選：A3．【正確答案】C【詳解】正方體，點(diǎn)是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C4．【正確答案】B【分析】由題意，根據(jù)列舉法，結(jié)合古典概型概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3幅美術(shù)作品分別為，3幅書法作品分別為，從中隨機(jī)挑選2幅作品，不同的選法有，共15種，其中選出的2幅作品恰好為1幅美術(shù)作品和1幅書法作品的不同選法有，共9種，故所求概率為．故選B.5．【正確答案】D【詳解】對(duì)于①，平面與平面也可能相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，根據(jù)垂直同一條的直線的兩個(gè)平面平行得正確；對(duì)于③，直線與直線可能相交，可能異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于④根據(jù)垂直同一平面的兩條直線平行正確；故D．6．【正確答案】B【詳解】將正方體還原，如圖所示：由圖可知，①不正確；②正確；③正確；④BF與CD平行，不正確．故選：B．7．【正確答案】C根據(jù)題目條件先確定出外接球的球心，得出外接球半徑，然后計(jì)算表面積.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所?因?yàn)?，所以，，，根?jù)該幾何體的特點(diǎn)可知，該四面體的外接球球心位于的中點(diǎn)，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,8．【正確答案】D【詳解】由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯(cuò)誤；總體中成績(jī)落在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故B錯(cuò)誤．這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為75，故C錯(cuò)誤；前三個(gè)矩形的面積和為，這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第60百分?jǐn)?shù)為80，故D正確；故選：D9．【正確答案】ABD【詳解】由于是空間的一個(gè)基底，所以不共面，對(duì)于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對(duì)于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對(duì)于C，由于，因此這三個(gè)向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對(duì)于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底.故選：ABD10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，故數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D正確；故選：AD．11．【正確答案】BC【詳解】記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯(cuò)；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯(cuò).故選：BC12．【正確答案】6【詳解】，∵，則，解得．故6．13．【正確答案】【詳解】．故．14．【正確答案】①②③⑤．【詳解】過(guò)作面，垂足為為正三角形且中線與中位線相交，.又面面∴面面且面面.在上，故①對(duì)③對(duì)．底面面積是個(gè)定值，當(dāng)為時(shí)，三棱錐的面積最大，故②正確.由異面直線所成的角的定義知：異面直線與所成角的取值范圍是，故⑤正確.在是繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中異面直線與可能互相垂直，故④不正確.故答案為①②③⑤15．【正確答案】(1)，，(2)，【詳解】（1）由已知，則，，；（2），.16．【正確答案】(1)0.5(2)0.64【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解決.（2）分析至少有一次獲勝的事件包括兩次都獲勝，第一次獲勝第二次未獲勝和第一次未獲勝第二次獲勝三種情況，又因?yàn)槿N情況之間互斥和兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式和對(duì)立事件概率的知識(shí)求解.【詳解】（1）設(shè)事件A表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸，則，因?yàn)楹推迮c獲勝是互斥的，由概率的可加性，得，因?yàn)?，所以?）設(shè)事件A表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設(shè)下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，則，因?yàn)閮杀P棋之間的勝負(fù)互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的，所以.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題意可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.【詳解】（1）根據(jù)題意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面，

所以平面，即，，兩兩垂直；以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，又為的中點(diǎn)，所以，則，所以，故共面．又平面，所以平面；（2）易知，所以；又，可得；又，平面，所以平面.18．【正確答案】(1)，12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)為1；(2)平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分；(3).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.的頻率為，的頻率為，的頻率為，按分層抽樣方法抽取12人的成績(jī)，則12人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)為.（2）該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為：.的頻率為，的頻率為，設(shè)中位數(shù)為,則，則，解得，故該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分.（3）設(shè)“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一