專題7二次函數(shù)與菱形存在性問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘

專題7二次函數(shù)與菱形存在性問題

我們已經(jīng)知道菱形是特殊的平行四邊形，它的判定方法一共有五種，分別是

①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③鄰邊相等的平行四邊形

是菱形；④對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；⑤一條對角線平分一個頂角的平行四邊形是菱形.

在做幾何證明題的時候我們常用的判定方法主要是前三種.

二次函數(shù)和菱形存在性問題作為壓軸題目，結合了“分類討論思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，

勢必要比單純的菱形判定思考難度要大的多，縱觀歷年中考真題，菱形存在性問題主要是以“兩定兩動”

為設問方式，其中兩定指的是四邊形四個頂點其中有兩個頂點的坐標是確定的或者是可求解的；兩動指的

是其中一個動點在一條直線或者拋物線上，另外一個動點是平面內任意一點或者該動點也在一條直線或者

拋物線上.

【例1】（2020?雁塔區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直

線x＝4，拋物線與x軸相交于A（2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，6），點E為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標；

（2）若將該拋物線的圖象繞x軸上一點M旋轉180°，點C、E的對應點分別是點C'、E'，當以C、E、

C'、E'為頂點的四邊形是菱形時，求點M的坐標及旋轉后的拋物線的表達式，

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【例2】（2021?齊齊哈爾三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于點A、

B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．OA、OB的長是不等式組的整數(shù)解（OA＜

OB），點D（2，m）在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式及m的值；

（2）y軸上的點E使AE和DE的值最小，則OE＝；

（3）將拋物線向上平移，使點C落在點F處．當AD∥FB時，拋物線向上平移了個單位；

（4）點M在在y軸上，平面直角坐標系內存在點N使以點A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，請直

接寫出點N的坐標．

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【例3】（2022?煙臺）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)

過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的表達式；

（2）D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D

點的坐標；

（3）若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對

角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

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【例4】（2022?武昌區(qū)模擬）如圖，直線y＝﹣2x+8分別交x軸，y軸于點B，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c過B，

C兩點，其頂點為M，對稱軸MN與直線BC交于點N．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P是線段BC上一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交拋物線于點Q，問：是否存在點

P，使四邊形MNPQ為菱形？并說明理由；

（3）如圖2，點G為y軸負半軸上的一動點，過點G作EF∥BC，直線EF與拋物線交于點E，F(xiàn)，與直

線y＝﹣4x交于點H，若，求點G的坐標．

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1．（2022?蒲城縣一模）如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝ax2+3x+c

經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一個交點為A，點E的坐標為．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點E，F(xiàn)關于拋物線的對稱軸直線l對稱，Q點是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點P，使

得以E、F、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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2．（2022?撫順縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y

軸交于點C，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交BC的延長線于點H，求

點M的坐標；

（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，Q，C，D為頂

點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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3．（2022?歷下區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，

與y軸交于點C，OB＝3OA＝3，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式及點C坐標；

（2）如圖1，若點P在第一象限內，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點E，求線段PE的最大值

及此時點P的坐標；

（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，交直線BC于點M，在y軸上是否存在點G，使得以

M，P，C，G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點G坐標；若不存在，請說

明理由．

2

4．（2022?碑林區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線L1：y＝﹣x+bx+c經(jīng)過點A（2，2），

拋物線的對稱軸是直線x＝1，頂點為點B．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）將拋物線L1平移到拋物線L2，拋物線L2的頂點記為D，它的對稱軸與x軸的交點記為E．已知點

C（2，﹣1），若以A、C、D、E為頂點的四邊形為菱形，則請求出拋物線L2的頂點坐標．

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5．（2022?佛山校級三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C，

直線AC的解析式為y＝x﹣2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知k為正數(shù)，當0＜x≤1+k時，y的最大值和最小值分別為m，n，且m+n＝，求k的值；

（3）點P是平面內任意一點，在拋物線對稱軸上是否存在點Q，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊

形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

6．（2022?邵陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和

點B，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及對稱軸；

（2）如圖，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；

（3）點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為

菱形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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7．（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點B、C（點B在點C左側），與y軸

相交于點A．已知點B坐標為B（1，0），BC＝3，△ABC面積為6．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P為直線AC下方拋物線上一動點，過點P作PD∥AB，交線段AC于點D．求PD長度

的最大值及此時P點的坐標；

（3）如圖2，將拋物線向左平移個單位長度得到新的拋物線，M為新拋物線對稱軸l上一點，N為平

面內一點，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點N的坐標，并寫出求解其中一

個N點坐標的過程．

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8．（2022?恩施市模擬）如圖，已知直線y＝﹣x﹣3與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y＝x2+bx+c

的頂點是（2，﹣1），且與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，P是拋物線上一個動點，過點P

作PG⊥AB于點G．

（1）求b、c的值；

（2）若點M是拋物線對稱軸上任意點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點C，D，M，

N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．

（3）當點P運動到何處時，線段PG的長最小？最小值為多少？

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9．（2020秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+2交x軸于點A、B，

交y軸于點C．

（1）求△ABC的面積；

（2）如圖，過點C作射線CM，交x軸的負半軸于點M，且∠OCM＝∠OAC，點P為線段AC上方拋物

線上的一點，過點P作AC的垂線交CM于點G，求線段PG的最大值及點P的坐標；

（3）將該拋物線沿射線AC方向平移個單位后得到的新拋物線為y′＝ax2+bx+（ca≠0），新拋物線y′

與原拋物線的交點為E，點F為新拋物線y′對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以

點A、E、F、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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10．（2020秋?射陽縣期末）已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過拋物線上的兩點A（﹣4，0）

和B（2，0），C（0，8），點M是該拋物線頂點．

（1）求拋物線所對應的函數(shù)表達式和頂點M坐標；

（2）在拋物線上A、C兩點之間的部分（不包含A、C兩點），是否存在點D，使的S△DAC＝S△MAC？

若存在，求出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點E是x軸上一個動點，點F為平面直角坐標系內一點，當以點A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形

是菱形時，請直接寫出滿足條件的點E的坐標．

2

11．（2020?碑林區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝﹣x﹣4x﹣2的頂點為A，與y軸交于

點B，將拋物線C1繞著平面內的某一點旋轉180°得到拋物線C2，拋物線C2與y軸正半軸相交于點C．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若拋物線C2上存在點D，使得以A、B、C、D四點為頂點的四邊形為菱形，請求出此時拋物線C2

的表達式．

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12．（2022春?興寧區(qū)校級期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y

軸交于點C，連接AC，BC，點P是直線AC下方拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AP，CP，設P點的橫坐標為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式；

（3）試探究：過點P作BC的平行線1，交線段AC于點D，在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，

B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

13．（2020?葫蘆島三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸

交于點C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動點D，連接AD，與直線BC相交于點E，當DE：AE

＝4：5時，求tan∠DAB的值；

（3）點P是直線BC上一點，在平面內是否存在點Q，使以點P，Q，C，A為頂點的四邊形是菱形？若

存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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14．（2020?師宗縣一模）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B，點C，經(jīng)過B，C兩點的拋物線

y＝x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P，點M為拋物線的對稱軸上的一個動點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點M在x軸的上方時，求四邊形COAM周長的最小值；

（3）在平面直角坐標系內是否存在點N，使以C，P，M，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請寫出

所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

第14頁共25頁.

15．（2021?兩江新區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．其中

點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），連接AC、BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在拋物線上B，C兩點間有一動點P（點P不與B、C兩點重合），過點P作AC的平行線，

交BC于點G，求PG的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射線CB方向平移個單位長度得到新拋物線y′，點

M為新拋物線對稱軸上的一動點，點N為平面內的任意一點，是否存在點N使得以A，C，M，N為頂

點的四邊形是以AC為邊的菱形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明

理由．

第15頁共25頁.

16．（2021?淮安區(qū)一模）如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A（﹣3，4）、B（﹣3，

0）、C（﹣1，0）．以D為頂點的拋物線y＝ax2+bx+c過點B．動點P以每秒1個單位的速度從點D出發(fā)，

沿DC邊向點C運動，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，

交拋物線于點G．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接BG，求△BGD的面積最大值；

（3）如圖2，在點P運動的同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA邊以每秒1個單位的速度向點A運動．動點

P、Q運動的過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊

形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出t的值：t＝．

第16頁共25頁.

17．（2021?渝中區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，

B兩點，與y軸交于點C．

（1）求B、C兩點的坐標；

（2）點P為直線BC上方拋物線上的任意一點，過P作PF∥x軸交直線BC于點F，過P作PE∥y軸交

直線BC于點E，求線段EF的最大值及此時P點坐標；

（3）將該拋物線沿著射線AC方向平移個單位得到新拋物線y′，N是新拋物線對稱軸上一點，在

平面直角坐標系中是否存在點Q，使以點B、C、Q、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點

Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

第17頁共25頁.

18．（2022?岳池縣模擬）如圖1，一次函數(shù)y＝x﹣4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點，二次

函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象過B，C兩點，且與x軸交于另一點A．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）點P是二次函數(shù)圖象的一個動點，設點P的橫坐標為m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；

（3）如圖2，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D．點M是直線BC上一動點，在坐標平面內是否存在

點N，使得以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請

說明理由．

第18頁共25頁.

19．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，

與y軸相交于點C（0，3）．且點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上第一

象限內的一個點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上

是否存在點Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若（2）中點Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標．

第19頁共25頁.

20．（2021秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與

y軸交于點C，連接BC，交對稱軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線BC上方的拋物線上一點，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時點P的坐

標；

（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新

拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內一點．當以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，

直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個點F的坐標的過程．

第20頁共25頁.

21．（2021?諸城市三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C，

過點C作直線CD∥x軸，與拋物線交于點D，作直線BC，連接AC．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并用配方法求拋物線的頂點坐標；

（2）E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＝∠ACO的點E的坐標；

（3）點M在y軸上，且位于點C的上方，點N在直線BC上，點P為直線BC上方拋物線上一點，若

以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．

第21頁共25頁.

22．（2021?鞍山一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、C兩

點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點B為y軸上一點，點P為直線AB上一點，過P作PQ∥BC交x軸于點Q，當四邊形BCPQ為菱

形時，請直接寫出B點坐標；

（3）在（2）的條件下，且點B在線段OC上時，將拋物線y＝﹣x2+bx+c向上平移m個單位，平移后

的拋物線與直線AB交于點D（點D在第二象限），點N為x軸上一點，若∠DNB＝90°，且符合條件的

點N恰好有2個，求m的取值范圍．

23．（2022?巨野縣一模）如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y軸于C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是直線BC上方的拋物線上的一個動點，設P的橫坐標為t，P到BC的距離為h，求h與t的函

數(shù)關系式，并求出h的最大值；

（3）設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，存在點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊

形是菱形，直接寫出所有符合條件的點N坐標．

第22頁共25頁.

24．（2021?洛陽一模）如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B、

C，且與x軸另一交點為A，連接AC．

（1）求拋物線的解析