專題24以三角形為載體的幾何綜合問題 （解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題24以三角形為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方

向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)2動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？

【答案】(1)當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC

(2)當(dāng)t的值為時(shí)，四邊形QPCP′為菱形

4

3

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

（2）作于，于??，證明出為直角三角形，進(jìn)一步得出和

為等腰直?角?三⊥?角?形，?再?證?明⊥四??邊形?為矩Δ形??，?利用勾股定理在、Δ???Δ?中??，

結(jié)合四邊形為菱形，建立等式??進(jìn)?行?求解．??△?????△???

【詳解】（1?）?解??：（′1）如圖①，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴AB＝＝（cm），

2222

由題意得?，?AP+＝??tcm，4B+Q4＝t=cm4，2

則BP＝（4﹣2t）cm，

∵PQ⊥BC，22

∴∠PQB＝90°，

第1頁共58頁.

∴∠PQB＝∠ACB，

∴PQAC，

∥，

∠???=∠???

∴{

∠???=∠???，

∴△?＝??∽，△???

????

∴????，

42?2??

解得4：2t＝=2，4

∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．

（2）解：作于，于，如圖，

??⊥?????⊥???

，，

??=2?，??=???(0??，<4)

∵∠?=為90直°角?三?角=形??，=4cm

∴Δ???，

∴∠?=和∠?=45為°等腰直角三角形，

∴Δ???Δ???，，

2

∴??=??=2??=?cm?，?=??

∴四??邊=形????為?矩=形(4，??)cm

∵????，

∴??=??=(4?，?)cm

∴??=(4??)cm，

∴在??=???中?，?=(4?2?)cm，

22222

在??△???中，??=??+??=?+(4??)，

22222

四?邊?△形???為?菱?形=，??+??=(4??)+(4?2?)

∵??，??′

∴??=??，

2222

∴?+(4，??)=（(4舍?去?）)．+(4?2?)

4

∴?1的=值3為?．2=4

4

∴?3

第2頁共58頁.

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．

【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，

在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥??

??=??

(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接、，

′′′′′

在旋轉(zhuǎn)△的?過??程中與的位置△關(guān)?系?與?（1?）中?′的CE與AB的位置關(guān)系是否??一致???請(qǐng)

′

說明△理??由?；??′??

(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若

′

，△求???的長．??′????=

′

?【?答,?案?】=(1)3CE⊥?AB?，理由見解析

(2)一致，理由見解析

(3)

53

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，

可得結(jié)論；

（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

′′′′

（3）由等腰直角△的??性?質(zhì)?和△直??角?三角形的∠性??質(zhì)?可=得∠???，即可求解．

′

【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，??=3??

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，

第3頁共58頁.

∵DE=CD，

∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，

∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，

∴CE⊥AB；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致

′

的，理由△如?下??：??′??

如圖2，延長交于H，

′′

????

由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，

′′

∵∠ADC=∠ADB=?90?°，??

∴，

′′

∵∠???=∠??，?

????

′′

∴??=??=1,

′′

△???～△???，

′′

∴∵∠???+=∠∠D?G?C?=90°，∠DGC=∠AGH，

′

∴∠?D?A?+∠AGH=90°，

′

∴∠AHC?=90°，

；

′′

∴（?3?）如⊥圖??3，過點(diǎn)D作DH于點(diǎn)H，

′

⊥??

∵△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，

第4頁共58頁.

∴，

′′

∠???=30°,??=??=??，

′′′

∴∠???=120°,∠???，=∠???=30°

′′

∵∴?A?D=⊥2D?H?，,?A?H==??DH=，

′

，3??

′

∴由?（?2）=可3知??：，

′′

△???～，△???

′′

∴∵∠A?D?⊥?BC=，∠C?D??==，30°

∴DG=1，CG=2DG3=2，

∴CG=FG=2，

，

′′

∵∴∠A?G?=?2G=F=340，°,??⊥??

∴AD=AG+DG=4+1=5，

∴．

'

【點(diǎn)??睛=】本3題??是=三5角形3綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

【例3】（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，

連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．

【答案】(1)，理由見解析

(2)①??=??；②，理由見解析

??=??+??∠???=45°

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等

三角形的性質(zhì)求解；△???≌△??????

（2）①根據(jù)線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，

??60°??△???

第5頁共58頁.

由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到?，?⊥??，進(jìn)而得到

????

，進(jìn)而求出，結(jié)合∠?，?E?D=＝∠E?C?得?到??=??，再用等腰△直??角?三∽角△形

?的?性?質(zhì)求解．∠???=90°??=????=??

（1）

解：．

證明：??∵=??是等邊三角形，

∴△，???．

∵?線?段=??繞點(diǎn)∠?A?按?逆=時(shí)60針°方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴??，，60°??

∴??=??∠??，?=60°

∴∠???=∠???，

即∠????∠???．=∠????∠???

在∠???=和∠???中

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌；△??????

（?2）?=??

解：①

理由：?∵?線=段??+繞?點(diǎn)?A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴是等?邊?三角形，60°??

∴△???，

由（??1）=得??=??，

∴??=??；

②?過?點(diǎn)=A?作?+??=?于?點(diǎn)+G?，?連接AF，如下圖．

??⊥??

∵是等邊三角形，，

∴△???，??⊥??

1

∴∠???=2∠???=3．0°

??3

??=cos∠???=2

第6頁共58頁.

∵是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，

∴△???，，，

1

∴??=????⊥??，∠???=2∠???=30°

??3

∴??=cos∠???=，2，

????

∴∠???=∠?????=??，

即∠???+∠???，=∠???+∠???

∴∠???=∠???，

∴△???∽△???．

∵∠???=，∠???＝=90，°

∴??=??，????

即??=?是?等腰直角三角形，

∴△???．

【點(diǎn)∠?睛??】本=題45主°要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答

關(guān)鍵．

【例4】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC

的角平分線．

(1)如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點(diǎn)M，

則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點(diǎn)M．

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．

【答案】(1)AE2＝CF，AE⊥CF

(2)①成立，理由見解析；②45°；③6+6

3

【分析】（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝

∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；

第7頁共58頁.

（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝

∠F，則可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角

形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案．

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，

∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝

∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故

答案為：AE＝CF，AE⊥CF；

（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，

∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過

點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE

＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，

∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM

1

＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM2∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，

∴EG＝∴EM＝GM=+E6G2＝6+6．

2222

【點(diǎn)睛】本??題是+三??角形=綜1合2題+，6考=查6了等3腰直角三角形的性質(zhì)，角3平分線的性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【例5】（2022·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在中，D是上一

點(diǎn)，．求證．△?????

獨(dú)立思∠?考??：=∠???∠???=∠???

（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．

實(shí)踐探究：

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答．“如

圖2，延長至點(diǎn)E，使，與的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在

上，??，??=?．?在圖??中找?出?與相等的線段，并證明．”??,??

問題解??決=：??∠???=∠?????

第8頁共58頁.

（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組河學(xué)時(shí)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，若給出

中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可∠求?，??該=小9組0°提出下面的問

△題，??請(qǐng)?你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若，，，求的長．”

∠???=90°??=4??=2??

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

17

【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；??=3.

（2）如圖，在BC上截取證明再證明

證明可得??=??,從而△可??得?結(jié)≌△論?；??,??=??,∠???=∠???,

（3）△如?圖??，≌在△B?C?上?,截取??=??同,理可得：利用勾股定理先求解

證明??=??,可得??=??=??可,得證?明?=

22

2+4=25,可得△???∽△?而??,??可=得1,??=5,再利?用?勾=股??定=理求5,解BE，

△即可??得?到∽答△案??．?,??=2??,??=??,??=3??,

【詳解】證明：（1）

而∵∠???=∠???,∠?=∠?,

∠???=180°?∠??∠???,∠???=180°?∠??∠???,

∴（∠2）???=∠???理,由如下：

如圖，?在?=BC?上?,截取

??=??,

∵??=??,∠???=∠???,

∴△???≌△???,

∴??=??,∠???=∠???,

，

∵∠???=∠???∠???=∠???,

∴∵∠???=∠???,

∴∠???=∠???,

∠???=∠???,

第9頁共58頁.

∴

∵∠???=∠???,

∴??=??,

△???≌△???,

∴??=??,

（3）如圖，在BC上截取∴??=??.

同理可得：??=??,

??=??=??,

∵??=2,??=4,∠???=90°,

22

∴??=2+4=25,

∵∠???=∠???,∠???=∠???,

∴△???∽△???,

??????

∴??=??=??,

??2??

∴2=4=25,

∴??=1,??=5,

∴??=??=5,

∵∠???=∠???,∠???=∠???,

∴△???∽△???,

??????51

∴??=??=??而=25=2,

∴??=2??,??=??,

∴??=3??,

∵??=4,??=1,??=??,

而

∴??=??=3,

∴??=3?2=1,∠???=∠???=90°,

22

∴??=??+??=17,

17

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定∴?理?的=應(yīng)用，.全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的

3

應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

26．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）

第10頁共58頁.

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．

(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連

接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．

??

(3)【拓展提升】如圖3，△??ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝

????

＝．連接BD，CE．????

3

①求4的值；

??

②延長??CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．

【答案】(1)見解析

(2)

2

(3)①2；②

34

55

【分析】（1）證明BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；

（2）證明BAD∽△△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；

（3）①先證△明ABC∽△ADE，再證得CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；

②在①的基礎(chǔ)上△得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)△而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．

【詳解】（1）證明：∵△ABC和ADE都是等邊三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠△BAC＝60°，

∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

，∠DAE＝∠BAC＝45°，

????1

∴?∠?D=A?E?﹣=∠2BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD∽△CAE，

第11頁共58頁.

；

????12

（∴?3?）=解?：?=①2=2，∠ABC＝∠ADE＝90°，

????3

∴△ABC∽△?A?D=E?，?=4

∴∠BAC＝∠DAE，，

????3

∴∠CAE＝∠BAD，??=??=5

∴△CAE∽△BAD，

；

????3

∴②?由?①=得??：=△5CAE∽△BAD，

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠AGC＝∠BGF，

∴∠BFC＝∠BAC，

∴sin∠BFC．

??4

【點(diǎn)睛】本題=考??查=了5等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．

一、解答題【共20題】

1．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）和都是等腰直角三角形，

，是的中點(diǎn)，連接、△．???△???∠???=

∠???=90°???????

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)、分別是線段、上的點(diǎn)時(shí)，求的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)?是線?段上的點(diǎn)?時(shí)?，?求?證：；∠???

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)?、、?共?線且是的中點(diǎn)時(shí)??，=探?究?和之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)???????△????△???

(2)見解析∠???=90°

(3)

?△???=2?△???

第12頁共58頁.

【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求，，由等腰三角形的性

質(zhì)可求解；∠???=∠???∠???=∠???

（2）由“角邊角”可證，可得，，由等腰直角三角形的性

質(zhì)可求解；△????△?????=????=??

（3）通過證明，可得，，即可求解．

【詳解】（1）△???～△???，∠?點(diǎn)??是=∠?的?中?=點(diǎn)1，35°?△???=2?△???

∵∠???=，∠???=90°???

∴??=??=??，=??，

∴∠???=∠???∠???=∠???，

∴∠???是=等∠?腰?直?+角∠三?角??形=，2∠???+2∠???=2∠???

∵△???，

∴∠???=45°；

∴（∠2）??如?圖=90，°延長交于點(diǎn)，

2?????

，

∵∠???=，∠???=∠???=90°

∴??∥??，

∴又∠???=∠?，??，

∵??=??∠?，??=∠???

∴△????，△???，

∴??=??，??=??

∵??=??，

∴又??=??，，

∵∠???；=90°??=??

∴（?3?）=如?圖?，連接，

??

第13頁共58頁.

是的中點(diǎn)，

∵???，

∴??=?是?等腰直角三角形，

∵△???，，，

∴∠???=∠???=45°∠???=，90°??=??=??

∴∠???=∠??，?=45°=，∠???

∴∠???=90°，??=??

∴??=是2等??腰直角三角形，

∵△???，，

∴∠???=∠???，=45°??=，2??

????

∴∠???=∠???，??=??=2

∴△???～△???，，

∴∠???=∠???=135，°?△???=2?△???

∴∠???=，45°=∠???

∴??∥??，

∴?△是???=的?中△點(diǎn)???，

∵???，

∴?△???=?△???=．?△???

∴【?點(diǎn)△?睛??】=本2題?△是??三?角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

2．（2022·上海·華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖所示，的頂點(diǎn)在矩形

對(duì)角線的延長線上，，，與交于點(diǎn)，△連?接??，滿足?????

∽??，其中?對(duì)?應(yīng)=1，?對(duì)?應(yīng)=，3對(duì)??應(yīng)?????

△???△?????????

第14頁共58頁.

(1)求證：．

(2)若∠?，??求=30°的值．

1

【答案??】=(13)見解析tan∠???

(2)

93

7

【分析】（1）由相似可得，再由矩形的性質(zhì)得，，

從而可求得∠???=∠???，則有??∥??，即∠可?求??得=∠??的?=度9數(shù)0；°

（2）結(jié)合（∠1?）??可+求∠得???+∠，?再??由=相1似80的°性質(zhì)求∠得???=∠??，?即可求∠???的值．

7

（1）??=3??=33???∠???

∽，

∵△???△???，

∴四∠?邊?形?=∠??是?矩形，

∵∴?，???，

??∥??∠???，=∠???=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???+∠???=180°，

∴即∠???+∠???=180°，

∠???+∠???+∠???=18，0°

∴∠???+90°+∠???，=180°

∴∠???+∠??，?=90°

∵∠???=90°，

∴∠???+∠???，=90°

∴在∠???=∠中??，?

Rt△???，

??13

∵tan∠???=?，?=3=3

∴∠???=30°；

∴（∠2）???=30°

第15頁共58頁.

由（1）得，，

∠???=90°，∠???=30°

∴??=2??=2×1=2，

17

∴??=?∽?+??=，2+3=3

∵△???，△???

????

即∴??=??，

??3

1

1=3，

∴由?（?1=）3得：3，

則∠?，??+∠???=90°

在∠???=9中0°，．

??3393

7

【點(diǎn)Rt睛△】?本??題主要ta考n∠查?相??似=三?角?=形的3性=質(zhì)，7矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答的關(guān)鍵是結(jié)合

圖形及相應(yīng)的性質(zhì)求得．

3．（2022·福建·廈門市翔∠?安?區(qū)?教=師∠?進(jìn)?修?學(xué)校（廈門市翔安區(qū)教育研究中心）模擬預(yù)測(cè)）（1）

問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、

的數(shù)量關(guān)系為__△__?__?_?，△、???所在直線的位置關(guān)系為∠_?_?_?__=__∠_?；??=90°??

??????

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上

的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并?說?明理△由??．???

【答案】（1）∠???，?；（?2）????，；理由見解析

【分析】（1）延??長=??交??于⊥點(diǎn)?H?，交∠??于?點(diǎn)=O9．0°只要??證=明2??+??，即可

解決問題；????????△???≌△??????

（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．

【詳解】△解?：?（?1≌）△如?圖??1中，延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O，

????????

∵和均為等腰直角三角形，，

∴△???，△???，∠???=∠???=90°

??=????=??

第16頁共58頁.

∴，

∴∠???+∠???，=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???，

∴△???≌，△??????，

∵??=??∠???=∠，???，

∴∠???+∠???=90°，∠???=∠???

∴∠???+∠??，?=90°

∴∠???=．90°

故答??案⊥為?：?，．

（2）??=?，???⊥??；

理由如∠下??：?如=圖902°中?，?=2??+??

∵和均為等腰直角三角形，，

∴△???△???，∠???=∠???=90°

∴∠???=∠???=45°，

由（∠?1?）?可=知18：0°?∠???=135，°

∴，△???≌△???，

∴??=??∠???=∠???=135°；

在等∠?腰??直=角∠三?角??形?∠?中??，=13為5°斜?邊45°=上9的0高°，

∴?，??????

∴??=??=，??

∴??=2??．

【點(diǎn)??睛=】?本?題+考??查=了2全?等?三+角??形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是正確尋找全等三角形解決問題．

4．（2020·重慶市育才中學(xué)二模）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E、

F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)

系．小王同學(xué)探究此問題的方法：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG．先證明

△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．

【靈活運(yùn)用】

（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，F(xiàn)、F分別是BC、CD上

的點(diǎn)．且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

第17頁共58頁.

【延伸拓展】

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若點(diǎn)E在CB的延長線

上，點(diǎn)F在CD的延長線上，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，

并給出證明過程．

【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF；仍成立，理由見詳解；

1

【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可∠判?定??=AB1E8≌0°△?A2D∠G??，?進(jìn)而得出

∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定AEF≌△AGF，可得出△

∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠△BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；

（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，

AE=AG，再判定AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠△GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

（3）在DC延長△線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定ADG≌△ABE，再判定

AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠G△AE=360°，推導(dǎo)得到

△2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．

【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：

如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，

第18頁共58頁.

∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，

∴∠B=∠ADG=90°，

又∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；

（2）仍成立，理由：

如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，

∴∠B=∠ADG，

又∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

（3）．

1

證明：∠如??圖?3=，1在80°D?C2延∠長??線?上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，

第19頁共58頁.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，

∴∠ADC=∠ABE，

又∵AB=AD，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE=∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，

即2∠FAE+∠DAB=360°，

∴．

1

【點(diǎn)∠?睛??】本=題18屬0°于?三2∠角?形??綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜

合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推

導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．

5．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形，，，，

，是的角平分線，交射線于?，?線??段∠?的=延1長20線°上∠取?一=點(diǎn)60°使??=??，

?直?線≠?，???交于∠點(diǎn)???．????????=??

?????

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)猜想的形狀，并證明你的猜想；

(3)求△與???的數(shù)量關(guān)系．

【答案??】(1?)?見解析

(2)是等邊三角形，理由見解析

(3)△???，理由見解析

??=2??

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；

（2）結(jié)論：是等邊三角形；通過證明垂直平分線段，證得≌，再

證明，△推??出?，可得結(jié)論；????△???△???

??∥??∠?=90°

第20頁共58頁.

（3）結(jié)論：，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．證明四邊形是平行四邊形，推

出，?再?利=用2?全?等三角形?的?性?質(zhì)∥?證?明???，可得結(jié)論．????

（?1）?=????=??

解：圖形如圖所示：

（2）

解：猜想是等邊三角形．

理由如下：△???

如圖，設(shè)交于點(diǎn)H，

????

∵，平分，

∴??=????∠???

在∠???=與∠???中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌△???SAS，，

∴∠?垂??直=平∠分?線??段=90，°??=??

??，??

∴在??=?和?中，

△???△???

∵，

??=??

??=??

∴≌，

??=??

∴△???△???．SSS

∠???=∠???

第21頁共58頁.

∵，，

∴??=??，??=??

∴??=??，

∴∠???=∠???．

∵∠???+2∠??，?=180°，

在四∠?邊??形=120中°，∠???=60°

∵????，

∴∠???+∠???+∠???，+∠???=360°

∵∠???+∠???，=180°

∴∠???=∠???，

∴∠???+∠???=180°，

∴2∠???+∠???，=180°

∴∠???=，∠???

∴??∥??，

∵∠?+∠???=，180°

∴∠???=1．20°

∵∠?=60°，

1

∴∠???=2∠???=60°，

∴∠???=是∠等?邊??三=角∠形?．=60°

（△3）???

解：，理由如下：

證明：??如=圖2，??過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

???∥?????

∵，，

∴?四?邊∥形????是∥平??行四邊形，

∴?，???

∵??=??，

∴??=??，

∵??=??，

??∥??

第22頁共58頁.

∴，

∵∠???=∠???，，

∴∠???=∠???，+∠???∠???=∠???+∠???=∠???+∠???

∵∠???=∠???，，

∴∠???=∠?=60°?，?=??

∴△???≌，△???AAS

∵??=??，，

∴??=??，??=??

∴??=??．

【點(diǎn)??睛=】2本??題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中

考?jí)狠S題．

6．（2022·北京市第十九中學(xué)三模）如圖，在中，，，是的

中點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，平移到，△線?段??的中∠垂??線?與=線90段°?的?延>長??線交?于點(diǎn)??，

連接?、??．?????????

????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補(bǔ)全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】(1)見解析??????

(2)圖見解析，結(jié)論：，理由見解析

222

??+??=??

【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問題；

（2）圖形如圖所示，結(jié)論：，想辦法證明即可．

222

（1）??+??=??∠???=90°

證明：連接．

??，，

∵∠???=90°?，?=??

∴??=??=??，

∴∠???=∠???

第23頁共58頁.

；

∴（∠2）???=∠???+∠???=2∠???

解：圖形如圖所示，結(jié)論：．

222

理由：連接，，取的??中點(diǎn)+?，?連=接??，，．

?????????????

點(diǎn)在的垂直平分線上，

∵???，

∴??=??，，，

∵??=????，=????=??

∴??=?，?=??

∵四??邊∥形??，四邊形是平行四邊形，

∴?，???，????

∴??∥????∥??，

∴∠???=，∠???=∠???

∵??∥??，

∴∠???=，∠???=90，°

∵??=??，??=??，

∴??⊥??∠???=∠，???

∴四∠?邊?形?=∠???四=點(diǎn)90共°圓，

∴?,?,?,?，

∴∠???=∠???，

∴∠，???，=∠，??四?點(diǎn)共圓，

∴????，

∴∠???+∠??，?=180°

∴∠???=90°．

222

∴【?點(diǎn)?睛+】?本?題=考?查?作圖平移變換，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

線段的垂直平分線的性質(zhì)?，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．

第24頁共58頁.

7．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）知識(shí)呈現(xiàn)

（1）如圖，在四邊形中，與互余，我們發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的

角可進(jìn)行拼1合：先作????，∠再?過??點(diǎn)∠?作??交于點(diǎn)，連接??后??，易于發(fā)現(xiàn)，

，之間的數(shù)量關(guān)∠?系?是?=_∠__?_?_?_；A??⊥?????????

?方?法運(yùn)??用

（2）如圖，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交

點(diǎn)，連接2，????．??∠???=90°?△???

求證：??∠???=∠???；

①連接∠，??如?圖+∠，??已?知=90°，，，求的長用含，的式子表示．

??

②【答案】?（?1）3??；=（?2）?①?詳=見?解?析?=；2②??(??)

22222

【分析】利?用?勾+股??定=理?解?決問題即可；??=5?+4?

如圖1中，連接，作的外接圓利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理，

即2可①解決問2題；??△???⊙?.

如圖中，在射線的下方作，過點(diǎn)作于利用相似三角形的性

②質(zhì)證明3，?求?出，可∠得?結(jié)??論=．∠??????⊥???.

【詳解?】（?1=）解5?：???，，

∵∠???+∠?，??=90°∠???=∠???

∴∠???=∠???+．∠???=90°

222

∴故?答?案+為?：?=??．

222

（2）證明??：如+?圖?=中??，連接，作的外接圓．

①2??△???⊙?

點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，

∵點(diǎn)?是△???的外心，

∴?△???

第25頁共58頁.

，

∴∠???=，2∠???

∵??=??，

∴∠???=∠???，，

∵∠???+∠???+∠???=，180°∠???=∠???

∴2∠???+2∠???=1．80°

∴∠解??：?如+圖∠??中?，=在90射°線的下方作，過點(diǎn)作于．

②3??∠???=∠??????⊥???

，，

∵∠???∽=∠???，=90°∠???=∠???

∴△???△???，，

????

∴∠???=，∠?????=??，

????

∴??=?∽?∠???，=∠???

∴△???，△???

????

∴??=??，

??

∵??：=2：：：：：，

∴??????，=??????=125

∴??=5??，，，

25

∵∠???=∠???+∠???=∠???+∠???=90°??=5???=?

，

222252242

∴??=??+??．=?+(5?)=?+5?

22

∴【?點(diǎn)?睛=】本5?題屬+于4?四邊形綜合題，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解

決問題，屬于中考?jí)狠S題

8．（2022·浙江寧波·一模）若一個(gè)三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個(gè)三

角形叫做和諧三角形．

第26頁共58頁.

(1)已知是和諧三角形，，，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的長；

(2)在△??中?，，?D?為=3邊??上=一4點(diǎn)，，連接，若??為和諧三角形，

求△的?長?；???=4??=8????=2??△???

(3)?如?圖，在等腰