專題12 二次函數(shù)-阿氏圓求最小值（原卷版）

第十二講二次函數(shù)--阿氏圓求最值

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；

點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上

兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，

連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題

求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、

P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：

【破解策略詳細(xì)步驟解析】

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例題演練

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y＝﹣x﹣6

交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四

邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM它的最小

值．⊙

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2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（0，4），直線AC的解析式為y＝﹣x﹣6，且

與y軸相交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；

（2）點(diǎn)H是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EAFH是矩形？求出此

時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；

（3）在（2）的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為E上以動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最

小值．⊙

3．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若

線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B剛好與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑畫(huà)圓，若點(diǎn)Q為B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，CQ，求AQ+CQ

的最小值．⊙

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4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖①，若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作B．點(diǎn)E為B上的動(dòng)點(diǎn)，連接

A，DE，求DE+AE的最小值．⊙⊙

（2）如圖②，若點(diǎn)H是直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，以點(diǎn)H為圓心，1為半徑作H，點(diǎn)Q是

H上一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；⊙

⊙（3）如圖③，點(diǎn)D是拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，1

為半徑的O上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．

⊙

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5．如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋

物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)四邊形CODM是菱形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P為直線OD上一動(dòng)點(diǎn)，求△APB的面積；′

（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線MD的對(duì)稱點(diǎn)B'，以點(diǎn)M為圓心，MD為半徑作M，點(diǎn)Q是M上一動(dòng)點(diǎn)，求

QB'+QB的最小值．⊙⊙

6．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m的頂點(diǎn)為C，

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）如圖，當(dāng)m＝0時(shí)，直線y＝x+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在拋物線的對(duì)稱軸左

右兩側(cè)；

①拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)M，點(diǎn)G（1，3），在直線AB上，作B點(diǎn)關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)

B′，以M為圓心，MC為半徑作圓，動(dòng)點(diǎn)Q在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求

出比值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律；

②直接寫(xiě)出B′Q+QB的最小值．

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7．如圖，已知點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（﹣2，﹣1），直線y＝2x+b過(guò)點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+x+c

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）D為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且tan∠ACD＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，與點(diǎn)O距離始終為2，連接PA，PC．直接寫(xiě)出PA+PC的最小值．

8．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)

D，作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)M，求△DEM的周長(zhǎng)的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，連接CM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以

P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由．

（4）如圖2，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，0），將線段ON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON′，旋轉(zhuǎn)角為（0°＜

＜90°），連接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．αα

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9．如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形ABPC的面積為16，若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作C，點(diǎn)Q為

C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BQ+FQ的最小值．⊙

⊙

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10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，﹣3），且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)A

為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；