專題21 解答題及填空題壓軸題動點運動軌跡問題（原卷版）

專題21解答題及填空題壓軸題動點運動軌跡問題（原卷版）

模型一動點運動軌跡——直線型

【模型解讀】(1)定距離判斷直線型路徑：當(dāng)某一動點到某條直線的距離不變時，該動點的路徑為直

線．(2)定角度判斷直線型路徑：當(dāng)某一動點與定線段的一個端點連接后所成的角度不變時，該動點的路徑

為直線．

基本圖形：

典例1（2021秋?遂川縣期末）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的一動點（不

與端點A，D重合），連結(jié)PC，過點P作PE⊥PC交AB于點E．

（1）當(dāng)E為AB的中點，且AP＞AE時，求證：PE＝PC；

（2）當(dāng)點P在AD上運動時，對應(yīng)的點E也隨之在AB上運動，求整個運動過程中BE的取值范圍．

變式練習(xí)

1．（2022?呼和浩特模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動

點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．過點E作EF⊥PE交射線BC于點F，設(shè)M是線段EF的中

點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為．

3．（2019?無錫模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸

上，OA＝8，OC＝4．點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，當(dāng)點P到達

點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點D，

點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．

（1）填空：當(dāng)t＝時，點D恰好落在AB上，即△DPA成為直角三角形；

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（2）若以點D為圓心，DP為半徑的圓與CB相切，求t的值；

（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為等腰三角形？若能，求t的值；若不能，請說明

理由；

（4）填空：在點P從點O向點A運動的過程中，點D運動路線的長為．

4．（2019秋?牡丹區(qū)期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和

AD上，連接CF．

①寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系；

②寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)．

（2）拓展探究：

如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖

②進行說明．

（3）問題解決

如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點．點

D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，求線段OE的長的最小值．（直接寫出結(jié)果）

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模型二動點運動軌跡——圓或圓弧型

【模型解讀】(1)“一中同長”：到定點的距離等于定長的點的集合是圓．(2)用定弦對定角定圓：當(dāng)某

條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的路徑是圓弧．見直角→找斜邊(定長)→想直徑→定外心→現(xiàn)

“圓”形；見定角→找對邊(定長)→想圓周角→轉(zhuǎn)圓心角→現(xiàn)“圓”形．

基本圖形：

典例2（2021?紅花崗區(qū)二模）如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標(biāo)為（3，），

5

點E在邊AB上，且AE＝1．已知點P是邊CO上的一個動點，連接EP，過點O作直線EP的垂線段2，

垂足為點H，在點P從點C運動到原點O的過程中，點H的運動路徑長為．

變式訓(xùn)練

1．（2020?岑溪市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（2，0），直線yx

3

與O交于B、C兩點，則弦BC的長為．=3+3

⊙

2．（2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F

從點D出發(fā)向點C運動，點E與點F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線

段AF，BE相交于點P，則線段DP的最小值為．

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模型三動點軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形

【模型解讀】(1)當(dāng)動點軌跡不是“定線”或“定圓”，是兩條線段時，可以考慮三角形的三邊關(guān)系，

最大值為其他兩線段長之和，最小值為其他兩線段長之差．(2)在轉(zhuǎn)化較難進行時，可以借助于三角形的中

位線及直角三角形斜邊上的中線．(3)這類問題歸屬為滑竿問題．

基本圖形：

8．（2022?青秀區(qū)校級開學(xué)）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點B

在邊ON上運動時，點A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝3．運動

過程中點D到點O的最大距離是．

變式訓(xùn)練

1．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，∠MON＝90°，已知△ABC的面積為60，且AC＝BC，AB＝10，△

ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，△ABC的形

狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為．

2．（2020?昆山市一模）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上的一個動點（不與B、D重合），連接

AP，過點B作直線AP的垂線，垂足為H，連接DH．若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是．

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模型四雙動點型

【模型解讀】(1)對于不關(guān)聯(lián)的雙動點問題，采用“控制變量法”，先控制其中一個點不動，分析另一

個點的運動軌跡，再讓這個點運動起來，可以使問題更直觀，思路更清晰；(2)對于多個點運動并且是聯(lián)動

的問題，一般采用相對運動法，可以讓一些點靜止，減少動點的個數(shù)，使問題簡單化．

典例4（2022秋?青秀區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線交BC

于點D，E，F(xiàn)分別是線段AD和AB上的動點，則BE+EF的最小值是．

變式訓(xùn)練

1．（陜西中考）如圖，O的半徑是2，直線l與O相交于A、B兩點，M、N是O上的兩個動點，且在

直線l的異側(cè)，若∠⊙AMB＝45°，則四邊形MA⊙NB面積的最大值是．⊙

2．（惠山區(qū)期末）如圖，正方形OABC的邊長為4，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點A，連接AE，

CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交點P運

動的路徑長是（）

A．2B．C．4D．6

8

2ππ52

3

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3．（啟東市一模）閱讀并解答下列問題：

問題一．如圖1，在ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，點P是線段AD上的動點，連PB，當(dāng)

AP＝時，PB最?小值為．

問題二．如圖2，四邊形ABCD是邊長為20的菱形，且∠DAB＝60°，P是線段AC上的動點，E在AB

上，且，連PE，PB，問當(dāng)AP長為多少時，PE+PB的值最小，并求這個最小值．

1

問題三?．?如=圖4?3，?在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分別是線段AC，AB上的動點，問當(dāng)AP

長為多少時，PQ+PB的值最小，并求這個最小值．

模型四動點在函數(shù)圖象上運動類型

典例5（2020?浙江自主招生）如圖，點A是雙曲線y在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長

6

交另一分支于點B，以AB為底作等腰△ABC，且∠=A?C?B＝120°，點C在第一象限，隨著點A的運動點

C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y上運動，則k的值為．

?

=?

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變式訓(xùn)練

1．（2021春?亭湖區(qū)校級期末）如圖，已知點A是雙曲線y在第一象限的分支上的一個動點，連結(jié)AO

2