專題38 中考最值難點突破胡不歸問題（原卷版）

專題38中考最值難點突破胡不歸問題（原卷版）

模塊一典例剖析+針對訓練

類型一有輔助角(隱含輔助角)

典例1點P在直線上運動“胡不歸“問題

【數(shù)學故事】從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路．由

于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所心以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖

所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，

小伙子失聲痛哭．鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？何以歸”．這

個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？

這就是風靡千百年的“胡不歸問題”．

針對訓練

1．（2022春?江漢區(qū)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的邊AC上的高，點

P是BD上動點，則的最小值是．

3

??+??

2

2．（2021春?麗水期中）如圖，ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點．

求：（1）當PD＝?時，PB最短；

（2）PBPD的最小值等于．

1

+2

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3．（2017春?農(nóng)安縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，

0），B（0，），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次?函數(shù)3的表達式及其頂點坐標；

（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形

為菱形，求點M的坐標；

（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值．

1

2

類型二構造輔助角

典例2（2021春?金牛區(qū)期末）如圖，長方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，點P是線段AD上一動點，連接

BP，則BPDP的最小值為．

1

+2

針對訓練

1．（2019?灞橋區(qū)校級一模）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE+CE

1

=3

的最小值為．2

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2．（2020秋?宜興市期中）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B為（0，1），若C為線段

5

OA上一動點，則BCAC的最小值是．

2

+3

3．（2016?隨州中考）如圖所示，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、

B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線yx+b與拋物線的另一個交點為D．

（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析=?式；3

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐

標；

（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發(fā)，沿

線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，

23

問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？3

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類型三求PA＋kPB＋PC最短問題

典例3（2022秋?雨花臺區(qū)校級月考）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小．這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求

的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當∠

APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時，則PA+PB+PC取得最小值．

（1）如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，

為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉

變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等

邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學們探

索以下問題．

（2）如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'

過△ABC的費馬點．

（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、

BP、CP，求PA+PB+PC的值．

針對訓練

1．（2021春?郫都區(qū)校級期中）如圖，已知邊長為的等邊△ABC，平面內(nèi)存在點P，則PAPB+PC的

取值范圍為．2+3

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2．（2018秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若

AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．

2

模塊二2023中考押題預測

1．（2023春?將樂縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC邊上

的動點，則2AD+DC的最小值是（）

A．6B．8C．10D．12

2．（2023?合肥一模）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，點E為BD上動點，連接AE，

則的最小值為（）

1

??+2??

A．1B．C．D．2

3．（2022秋?任城區(qū)校級期末）2如圖，△ABC中，AB3＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE

上的一個動點，則CDBD的最小值是（）

5

+5

A．3B．6C．5D．10

553

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4．（2023?邗江區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y與x軸的正半軸交于點A，

428

B點為拋物線的頂點，C點為該拋物線對稱軸上一點，則3BC+5A=C?的9?最小+值3?為（）

A．24B．25C．30D．36

5．（2022?平南縣二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點E為AC中點，D是BE上的一個動點，則

1

的最小值是（）??+2??

A．3B．C．6D．

6．（2022春?覃塘區(qū)期中）如3圖3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是邊3+BC3的中點，P是對角線BD上

的一個動點，連接AE，AP，若APBP的最小值恰好等于圖中某條線段的長，則這條線段是（）

1

+2

A．ABB．AEC．BDD．BE

7．（2022春?新羅區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點E，BE＝2AE，D是線段BE

上的一個動點，則CDBD的最小值是（）

5

+5

A．2B．4C．5D．10

555

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8．（2021?澄海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+3x﹣4的圖象與x軸交于A、C兩點，

與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQPC的最小值是（）

2

+2

A．6B．2C．2+3D．3

3

9．（2022?南山區(qū)模擬）如圖，+在2Rt2△ABC中，∠ACB＝920°，∠A＝30°，則2AB＝2BC．請在這一結論的

基礎上繼續(xù)思考：若AC＝2，點D是AB的中點，P為邊CD上一動點，則APCP的最小值為（）

1

+2

A．1B．C．D．2

10．（2022春?武漢期末）如圖，2ABCD中∠A＝60°3，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點，則PD+2PB

最小值為?．3

11．（2023春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、

3

B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為．?=3??3

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12．（2022?馬鞍山一模）如圖，AC垂直平分線段BD，相交于點O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．

（1）∠ABC＝．

（2）E為BD邊上的一個動點，BC＝6，當最小時BE＝．

1

??+2??

13．（2021秋?福清市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面積為，點P為BD

3

上動點，連接AP，則APBP的最小值為．

1

+2

14．（2021秋?北碚區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，

AD的動點，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點，連

接AE、BE、NF，當△CFN面積最小時，BE+AE的最小值為．

1

2

15．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點A（﹣3，0），B

（1，0）．根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結論：在Rt△ABC中，AB＝2BC．請在這一

結論的基礎上繼續(xù)思考：若點D是AB邊上的動點，則CDAD的最小值為．

1

+2

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16．（2021秋?宜興市期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點C沿BE折疊與AB上的

點D重合．連接DE，請你探究：；請在這一結論的基礎上繼續(xù)思考：如圖

??

=

②，在△OPM中，∠OPM＝90°?，?∠M＝30°，若OM＝2，點G是OM邊上的動點，則的

1

最小值為．??+2??

17．（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點，

與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則C點的坐標

是，的最小值是．

2??+??

18．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在直角坐標系中