2025年高考數(shù)學復(fù)習之小題狂練600題（多選題）：空間向量與立體幾何（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復(fù)習之小題狂練600題（多選題）：空間向量與立體幾何（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都為1，E為AB的中點，則（）A．直線BC1與直線A1E為異面直線 B．BC1∥平面A1EC C．二面角A1﹣EC﹣A的正弦值為55D．若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為7π（多選）2．（2024?岳陽模擬）已知矩形ABCD中，AD=3AB=23，△ABD沿著BD折起使得形成二面角A′﹣BD﹣C，設(shè)二面角A′﹣BD﹣CA．在翻折的過程中，A′、B、C、D四點始終在一個球面上，且該外接球的表面積為12π B．存在θ，使得A′B⊥CD C．當tanθ=22時，|D．當cosθ=13時，直線A′C與直線BD的夾角為（多選）3．（2024?香坊區(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是（）A．異面直線AD與PB所成的角為90° B．在棱PD上存在點M使得PB∥平面ACM C．平面PAB⊥平面PBC D．二面角P﹣BC﹣A的大小為45°（多選）4．（2024?新縣校級模擬）在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，AB⊥AD，△BCD為等邊三角形，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1﹣BCD，設(shè)二面角A1﹣BD﹣C的大小為αA．當α＝150°時，M，N分別為線段BD，A1C上的動點，則|MN|的最小值為2114B．當α＝120°時，三棱錐A1﹣BCD外接球的直徑為133C．當α＝90°時，以A1C為直徑的球面與底面BCD的交線長為33D．當α＝60°時，AD繞D點旋轉(zhuǎn)至A1D所形成的曲面面積為2（多選）5．（2024?安徽模擬）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD⊥平面ABCD，△SAD為等腰三角形，E為棱SD上靠近D的三等分點，點P在棱SB上運動，則（）A．SB∥平面AEC B．直線CE與平面SBC所成角的正弦值為55C．AP+CP≥D．點E到平面SAC的距離為3（多選）6．（2024?云浮校級模擬）如圖所示，棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（）A．D1P⊥AB1 B．當A1P＝2PB時，點C1到平面D1AP的距離為1 C．AP→?DCD．D1P與AC所成的角可能是π（多選）7．（2024?故城縣校級模擬）如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，AB，CD分別為上、下底面的直徑，AC，BD為圓臺的母線，E為弧AB的中點，則（）A．圓臺的側(cè)面積為6π B．直線AC與下底面所成的角的大小為π3C．圓臺的體積為3 D．異面直線AC和DE所成的角的大小為π（多選）8．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐SO的底面圓O的直徑AC＝4，母線長為22，點B是圓O上異于A，CA．SC與底面所成角為45° B．圓錐SO的表面積為42C．∠SAB的取值范圍是(πD．若點B為弧AC的中點，則二面角S﹣BC﹣O的平面角大小為45°（多選）9．（2024?威寧縣校級模擬）如圖，P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則下列說法正確的有（）A．當P在線段B1C上運動時，四棱錐P﹣AA1D1D的體積不變 B．當P為線段AC的中點時，D1P與A1C1所成角為π2C．使得直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為π+42D．若F是棱A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF的最小值是7（多選）10．（2024?天心區(qū)校級模擬）一般地，如果一個四面體存在由同一點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，我們把這種四面體叫做直角四面體，記該點為直角四面體的直角頂點，兩兩垂直的三條棱叫直角四面體的直角棱，任意兩條直角棱確定的面叫直角四面體的直角面，除三個直角面外的一個面叫斜面．若一個直角四面體的三條直角棱長分別a，b，c，直角頂點到斜面的距離為d，其內(nèi)切球的半徑為r，三個直角面的面積分別為S1，S2，S3，三個直角面與斜面所成的角分別為α，β，y，斜面的面積為S，則（）A．直角頂點在斜面上的射影是斜面的內(nèi)心 B．cos2α+cos2β+cos2γ＝1 C．S＜D．1

2025年高考數(shù)學復(fù)習之小題狂練600題（多選題）：空間向量與立體幾何（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都為1，E為AB的中點，則（）A．直線BC1與直線A1E為異面直線 B．BC1∥平面A1EC C．二面角A1﹣EC﹣A的正弦值為55D．若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為7π【考點】二面角的平面角及求法；球的體積和表面積；異面直線的判定；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】利用異面直線的判定定理即可判斷A；連接AC1與A1C交于點O，連接OE，易證OE∥BC1，繼而可證得BC1∥平面A1EC，從而判定B；易證CE⊥平面ABB1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可得CE⊥AE，CE⊥A1E，則∠AEA1為二面角A1﹣EC﹣A的平面角，再利用sin∠AEA1=AA1A1E求解即可判定C；將上下底面ABC與【解答】解：對于A，因為B∈平面ABB1A1，C1?平面ABB1A1，B?A1E，A1E?平面ABB1A1，所以直線BC1與直線A1E為異面直線，故A正確；對于B，連接AC1與A1C交于點O，連接OE，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都為1，則ACC1A1為正方形，則點O為A1C中點，又E為AB中點，所以O(shè)E∥BC1，又OE?平面A1EC，BC1?平面A1EC，所以BC1∥平面A1EC，故B正確；對于C，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，又CE?底面ABC，所以AA1⊥CE，又正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都為1，則△ABC為正三角形，E為AB中點，所以CE⊥AB，又AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1，又AE，A1E?平面ABB1A1，所以CE⊥AE，CE⊥A1E，所以∠AEA1為二面角A1﹣EC﹣A的平面角，又AE=12AB=所以sin∠所以二面角A1﹣EC﹣A的正弦值為255，故對于D，將上下底面ABC與A1B1C1的外心連接，其中點即為外接球球心，設(shè)球的半徑為R，則R2則該球的表面積為4πR2=故選：ABD．【點評】本題考查異面直線的判定，考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角，考查球，屬難題．（多選）2．（2024?岳陽模擬）已知矩形ABCD中，AD=3AB=23，△ABD沿著BD折起使得形成二面角A′﹣BD﹣C，設(shè)二面角A′﹣BD﹣CA．在翻折的過程中，A′、B、C、D四點始終在一個球面上，且該外接球的表面積為12π B．存在θ，使得A′B⊥CD C．當tanθ=22時，|D．當cosθ=13時，直線A′C與直線BD的夾角為【考點】二面角的平面角及求法；球的體積和表面積；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；邏輯推理．【答案】BCD【分析】A．矩形的圓心O到四個頂點的距離相等，得球心是O，求出球的表面積進行判斷即可．B．根據(jù)線面垂直的判定定理，只需要判斷A′B⊥平面A'CD即可．C．利用向量法表示出A'D．求出向量數(shù)量積，利用向量法進行求解判斷即可．【解答】解：A．在矩形中，過A，C分別作BD的垂線AM，CN，∵AD=3AB=23，∴AB＝CD＝2，BD則AM?BD＝AB?AD，即4AM＝2×23，得AM＝CN=3則BM＝DN=22-(3)2=1，則MN＝4OA＝OB＝OC＝OD=12×4在翻折的過程中，∠BA'D＝∠BCD＝90°，則BD是球的一條直徑，則O是球心，球半徑R＝2，則A′、B、C、D四點始終在一個球面上，且該外接球的表面積為4π×22＝16π，故A錯誤．B．∵A'B⊥A'D，∴若A′B⊥CD，則只需要A′B⊥平面A'CD即可，即A'B⊥A'C，即可，則A'C=BC2此時二面角是存在的，即存在θ，使得A′B⊥CD，故B正確．C．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴＜MA'→，NC若tanθ=22時，則cosθ=13，即cos＜∵A'C→=A'M→+MN→+NC→，∴平方得A'C→2=＝3+4+3﹣2NC→?MA'→=10﹣2|MA'→||NC→|cos＜MA'→，NC→即|A'C|＝|A'C→|=8=D．當cosθ=13，即cos＜MA'→，NC→＞=13，由C知|A'CA'C→?BD→=（A'M→+MN→+NC→則cos＜A'C→，則＜A'C→，BD→＞故選：BCD．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量夾角和二面角的關(guān)系，利用向量法進行求解證明是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．（多選）3．（2024?香坊區(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是（）A．異面直線AD與PB所成的角為90° B．在棱PD上存在點M使得PB∥平面ACM C．平面PAB⊥平面PBC D．二面角P﹣BC﹣A的大小為45°【考點】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面平行；平面與平面垂直．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間角；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】選項A，由AD∥BC，知∠PBC或其補角即為所求，取AD的中點O，連接OP，OB，連接BD，證明BC⊥平面OPB，從而知∠PBC＝90°；選項B，當M是PD的中點時，可使PB∥平面ACM，利用中位線的性質(zhì)和線面平行的判定定理，即可證明；選項C，反證法，假設(shè)平面PAB⊥平面PBC，由面面垂直的性質(zhì)定理可證BC⊥AB，與題意相矛盾；選項D，根據(jù)三垂線定理知∠PBO即為所求，再利用OP＝OB，即可作出判斷．【解答】解：選項A，因為菱形ABCD，所以AD∥BC，所以∠PBC或其補角即為異面直線AD與PB所成的角，取AD的中點O，連接OP，OB，連接BD，則OP⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD，所以O(shè)P⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以O(shè)P⊥BC，因為菱形ABCD，且∠DAB＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以O(shè)B⊥AD，即OB⊥BC，又OP∩OB＝O，OP、OB?平面OPB，所以BC⊥平面OPB，因為PB?平面OPB，所以BC⊥PB，即∠PBC＝90°，所以異面直線AD與PB所成的角為90°，即選項A正確；選項B，當M是PD的中點時，PB∥平面ACM，理由如下：連接AC，交BD于G，連接MG，則G是BD的中點，所以MG∥PB，因為MG?平面ACM，PB?平面ACM，所以PB∥平面ACM，即選項B正確；選項C，由選項A可知，BC⊥PB，若平面PAB⊥平面PBC，因為平面PAB∩平面PBC＝PB，BC?平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以BC⊥AB，這與題意相矛盾，即選項C錯誤；選項D，由選項A可知，OP⊥平面ABCD，OB⊥BC，所以∠PBO即為二面角P﹣BC﹣A的平面角，因為△PAD與△ABD均為等邊三角形，所以O(shè)P＝OB，所以∠PBO＝45°，即選項D正確．故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理，異面直線夾角、二面角的求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．（多選）4．（2024?新縣校級模擬）在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，AB⊥AD，△BCD為等邊三角形，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1﹣BCD，設(shè)二面角A1﹣BD﹣C的大小為αA．當α＝150°時，M，N分別為線段BD，A1C上的動點，則|MN|的最小值為2114B．當α＝120°時，三棱錐A1﹣BCD外接球的直徑為133C．當α＝90°時，以A1C為直徑的球面與底面BCD的交線長為33D．當α＝60°時，AD繞D點旋轉(zhuǎn)至A1D所形成的曲面面積為2【考點】二面角的平面角及求法；球的體積和表面積．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何；直觀想象；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】取BD中點E，連接A1E，CE，即確定∠A1EC是二面角A1﹣BD﹣C的平面角，對于A，當M與E點重合，且MN⊥A1C時，|MN|的值最小，由等面積法計算即可；對于B，設(shè)出三棱錐A1﹣BCD外接球的球心，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求解；對于C，求出以A1C為直徑的球的半徑，確定該球與底面的交線，由弧長公式即可求解；對于D，當α＝60°時，AD繞D點旋轉(zhuǎn)至A1D，轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的13【解答】解：取BD中點E，連接A1E，CE，因為AB＝AD，即A1B＝A1D，所以A1E⊥BD，因為，△BCD為等邊三角形，所以CE⊥BD，所以∠A1EC是二面角A1﹣BD﹣C的平面角，即∠A1EC＝α．對于A，當M與E點重合，且MN⊥A1C時，|MN|的值最小，因為AB=2，AB⊥AD，所以BD＝2，A1E＝1，所以CE=在△A1EC中，由余弦定理得：A1即A1E2=1+3-2×1×3×(-由等面積法可得|MN|min=對于B，設(shè)三棱錐A1﹣BCD外接球的球心為O，△BCD外接圓圓心為G，A1在平面BCD上的射影為F，因為α＝120°，所以∠A1EF＝60°，所以EF=12，A1F=32，設(shè)因為G是圓心，所以CG=233，GE=則d2+(233)對于C，如圖，設(shè)以A1C為直徑的球球心為O1，過O1作O1O2⊥CE，因為α＝90°，則O2為CE中點，且O1O2=12，A1設(shè)球與△BCD的一個交點為H，則O1H=3過O2作O2I⊥CD，O2I=34，球與底面△交線長為2π3×3對于D，因為α＝60°，AD繞D點旋轉(zhuǎn)至A1D，轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的13側(cè)面，該圓錐母線長為2，底面半徑為1故面積為π?2?故選：ACD．【點評】本題考查了二面角的平面角，考查了空間幾何體的表面積及外接球半徑的計算，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．（多選）5．（2024?安徽模擬）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD⊥平面ABCD，△SAD為等腰三角形，E為棱SD上靠近D的三等分點，點P在棱SB上運動，則（）A．SB∥平面AEC B．直線CE與平面SBC所成角的正弦值為55C．AP+CP≥D．點E到平面SAC的距離為3【考點】直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】BC【分析】連接EO，若SB∥平面AEC，證得SB∥EO，得到DE=12SD，與題設(shè)矛盾，可判定A錯誤；過點E作EF⊥SC，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得EF⊥平面SBC，得到直線CE與平面SBC所成的角為∠ECF，可判定B正確；將平面SAB翻折至與平面SBC共面，連接AC，結(jié)合AP+CP≥AC，可判定C正確；根據(jù)VE﹣SAC＝VA﹣ESC，求得高h【解答】解：對于A中，連接BD，交AC于點O，連接EO，如圖所示，若SB∥平面AEC，因為平面SBD∩平面AEC＝OE，且SB?平面SBD，所以SB∥EO，因為O為BD的中點，所以DE=1又因為E為棱SD上靠近D的三等分點，所以矛盾，所以A錯誤；對于B中，過點E作EF⊥SC，垂足為F，因為SD⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD，所以SD⊥BC，又因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥BC，因為SD∩CD＝D，且SD，CD?平面SCD，所以BC⊥平面SCD，又因為EF?平面SCD，所以BC⊥EF，因為SC∩BC＝C，且SC，BC?平面SBC，所以EF⊥平面SBC，則直線CE與平面SBC所成的角為∠ECF，由題可知cos∠所以B正確；對于C中，將平面SAB翻折至與平面SBC共面，且點A，C在直線SB的兩側(cè)，連接AC，則AP+CP≥AC=2×對于D中，設(shè)點E到平面SAC的距離為h，則VE-SAC=解得h=23故選：BC．【點評】本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）6．（2024?云浮校級模擬）如圖所示，棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（）A．D1P⊥AB1 B．當A1P＝2PB時，點C1到平面D1AP的距離為1 C．AP→?DCD．D1P與AC所成的角可能是π【考點】點、線、面間的距離計算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】ABC【分析】以D為原點建立空間直角坐標系，利用空間位置的向量證明判斷A；利用點面距離的向量求法判斷B；求出數(shù)量積判斷C；借助反證法思想計算判斷D．【解答】解：因為棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，所以以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則D1（0，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），由P為線段A1B上的動點，設(shè)P（3，a，3﹣a），（0＜a＜3），則D1P→則D1P→?AB1→=3×0+a×3+(-a)×3=0，則當A1P＝2PB時，P（3，2，1），D1A→=(3，設(shè)平面D1AP的法向量為m→由D1A→?m→=3x-3z=0AP→?m→=2y+z=0，令z點C1到平面D1AP的距離d=|C1AP→=(0，則AP→?D由AC→得cos?若D1P與AC所成的角是π6即|cos?D1即2(9-整理得（2a+3）2＝0，所以a=-32，與0＜a＜3故選：ABC．【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）7．（2024?故城縣校級模擬）如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，AB，CD分別為上、下底面的直徑，AC，BD為圓臺的母線，E為弧AB的中點，則（）A．圓臺的側(cè)面積為6π B．直線AC與下底面所成的角的大小為π3C．圓臺的體積為3 D．異面直線AC和DE所成的角的大小為π【考點】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】由圓臺的側(cè)面積公式以及體積公式可判斷AC；由線面角的定義可判斷B；由異面直線所成角的定義可判斷D．【解答】解：由題意可得上底面半徑為r1＝1，下底面圓半徑為r2＝2，母線l＝2，則圓臺的側(cè)面積為S＝π（r1+r2）?l＝π（1+2）×2＝6π，故A正確；作圓臺的軸截面如圖所示，作CM⊥AB，DN⊥AB，則直線AC與下底面所成角為∠CAB，且CD＝MN＝2，則AM＝BN＝1，且AC＝2，則cos∠CAB=AMAC=12∵上底面圓的面積S1=πr12=π，S2=πr22=則圓臺的體積為V=13（S1+S2+S1?S2）h=取AB中點O，連接OD，OE，DE，由E為弧AB的中點，可得OE⊥AB，過點D，作DH⊥AB，連接EH，則OH=12OB＝1，且OA＝CD＝2，OA∥則四邊形AODC為平行四邊形，∴AC∥OD，∴異面直線AC和DE所成角∠ODE即為OD與DE所成角，∵DH＝h=3，EH=∴DE=D在△ODE中，OD＝DE＝2，DE＝22，∴△ODE為直角三角形，則∠ODE=π4故選：ABD．【點評】本題考查圓臺側(cè)面積、體積、線面角定義、異面直線所成角定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中等題．（多選）8．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐SO的底面圓O的直徑AC＝4，母線長為22，點B是圓O上異于A，CA．SC與底面所成角為45° B．圓錐SO的表面積為42C．∠SAB的取值范圍是(πD．若點B為弧AC的中點，則二面角S﹣BC﹣O的平面角大小為45°【考點】二面角的平面角及求法；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】AC【分析】由線面角定義，可得∠SCO即為SC與底面所成角，求其大小即可判定A；由圓錐的表面積公式即可判斷B；求出∠ASB的范圍，再利用2∠SAB+∠ASB＝π，求范圍即可判斷C；取BC的中點D，證得BC⊥面SOD，則∠SDO為二面角S﹣BC﹣O的平面角，求解可判斷D．【解答】解：如圖，在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=2對于A，由線面角定義，∠SCO即為SC與底面所成角，滿足cos∠SCO=OCSC=222=對于B，圓錐SO的側(cè)面積為：πrl=42π，底面積為πr2＝4故圓錐表面積為(42+4)π，故對于C，當點B與點A重合時，∠ASB＝0為最小角，當點B與點C重合時，∠ASB=又因為B與A，C不重合，則∠ASB∈（0，π2又2∠SAB+∠ASB＝π，可得∠SAB∈(π對于D，取BC的中點D，連接OD，SD，又O為AC的中點，則OD∥AB，∵AB⊥BC，∴BC⊥OD，∵SO⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥SO，∵SO∩OD＝O，∴BC⊥面SOD，∵SD?面SOD，BC⊥SD，故∠SDO為二面角S﹣BC﹣O的平面角，∵點B為弧AC的中點，AB=22，OD=則tan∠SDO=SO故選：AC．【點評】本題考查線面角，二面角，空間幾何體表面積等知識，屬難題．（多選）9．（2024?威寧縣校級模擬）如圖，P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則下列說法正確的有（）A．當P在線段B1C上運動時，四棱錐P﹣AA1D1D的體積不變 B．當P為線段AC的中點時，D1P與A1C1所成角為π2C．使得直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為π+42D．若F是棱A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF的最小值是7【考點】幾何法求解直線與平面所成的角；棱錐的體積；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】ABC【分析】根據(jù)錐體的體積公式，線線角的求法，線面角的概念，面面平行的判定定理，即可分別求解．【解答】解：∵B1C∥平面AA1D1D，且P∈B1C，∴P到平面AA1D1D的距離為正方體棱長，故四棱錐P﹣AA1D1D的體積不變，∴A選項正確；∵當P為AC的中點時，根據(jù)三垂線定理可得D1P⊥A1C1，∴B選項正確；∵P在正方體表面上，又直線AP與平面ABCD所成的角為45°，∵AA1＝2，A1P＝2，∴在Rt△AA1P中，∠A1PA=π4，即直線AP與平面A1B1C1又平面A1B1C1D1∥平面ABCD，∴直線AP與平面ABCD所成的角為45°，∴P的軌跡為對角線AB1AD1，以及在平面A1B1C1D1內(nèi)以A1為圓心、2為半徑的14故P的軌跡長度為π+42，∴C分別取A1D1DD1，BC，B1B，CD的中點M，N，S，E，P，由正方體的性質(zhì)可知：M，N，S，E，P，F(xiàn)六點共面，且為正六邊形MNPSEF，由中位線定理可知MF∥B1D1，又B1D1?平面B1CD1，∴MF∥平面B1CD1，同理可得MN∥平面B1CD1，又MF∩MN＝M，MF，MN?平面MNPSEF，∴平面MNPSEF∥平面B1CD1，∴FP所在的平面為如圖乙所示的正六邊形：∴當P為BC的中點時，F(xiàn)P的長最小，最小為6，∴D選項錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）10．（2024?天心區(qū)校級模擬）一般地，如果一個四面體存在由同一點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，我們把這種四面體叫做直角四面體，記該點為直角四面體的直角頂點，兩兩垂直的三條棱叫直角四面體的直角棱，任意兩條直角棱確定的面叫直角四面體的直角面，除三個直角面外的一個面叫斜面．若一個直角四面體的三條直角棱長分別a，b，c，直角頂點到斜面的距離為d，其內(nèi)切球的半徑為r，三個直角面的面積分別為S1，S2，S3，三個直角面與斜面所成的角分別為α，β，y，斜面的面積為S，則（）A．直角頂點在斜面上的射影是斜面的內(nèi)心 B．cos2α+cos2β+cos2γ＝1 C．S＜D．1【考點】直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】設(shè)該直角四面體為四面體P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，直角頂點P在斜面上的射影為O，連接PO，得出PO⊥平面ABC，再對選項中的命題真假性判斷即可．【解答】解：設(shè)該直角四面體為四面體P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，直角頂點P在斜面上的射影為O，連接PO，則PO⊥平面ABC．對于A，連接AO，由PA，PB，PC兩兩垂直，可得PA⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PO⊥BC，BC⊥平面PAO，又AO?平面PAO，所以BC⊥AO，連接BO，同理可得AC⊥BO，所以O(shè)為△ABC的垂心，但不一定為△ABC的內(nèi)心，選項A錯誤．對于B，由選項A知PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAO，延長AO交BC于點F，連接PF，則PA⊥PF，BC⊥PF．在△PBC中，PF=bcb2+c令S1=12bc，S2=12ac，S3=12ab，直角面PBC，PAC同理可得cosβ=S2S，cosγ=S3S，所以cos對于C，由射影的性質(zhì)知，S＜S1+S2+S3，由3S2-(S1+S2+S3)2=3(對于D，直角四面體的體積為V=16abc=13Sd=1故選：BCD．【點評】本題以新定義“直角四面體”為背景設(shè)題，考查了線面位置關(guān)系、三角形的面積、幾何體的體積等知識，也考查了空間想象能力、邏輯思維能力及綜合運用所學知識分析、解決問題的能力．

考點卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點和底面各頂點的字母表示，例：S﹣ABCD．2．認識棱錐棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面．棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．棱錐的頂點；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高．棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面．3．棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐1根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．4．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形．5．棱錐的體積公式設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，V棱錐=133．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【知識點的認識】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）4．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=135．棱錐的體積【知識點的認識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=1﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算．6．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點的認識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱1圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：V圓柱2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)圓錐1與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：V圓錐3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)圓臺1平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：V圓臺7．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體=3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．8．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：9．異面直線的判定【知識點的認識】（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理．10．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已