專題4.7 相似三角形章末重難點突破（學生版）2022年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列（浙教版）

專題4.7相似三角形章末重難點突破【浙教版】【考點1比例線段與黃金分割】【例1】（2021秋?石阡縣期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝2，b=5，c＝23，d=15 D．a(chǎn)=2，b＝3，c【變式1-1】（2021秋?蘆溪縣月考）已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【變式1-2】（2021秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數(shù)”時，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式1-3】（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，線段AB＝1，點P1是線段AB的黃金分割點（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1?AB），點P2是線段AP1的黃金分割點（AP2＜P1P2），點P3是線段AP2的黃金分割點（AP3＜PA．(3?52)C．(12)【考點2比例的基本性質(zhì)】【例2】（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列問題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【變式2-1】（2021秋?河北月考）（1）若x3=y（2）若a+23=b4=c+56，且2a﹣b+3c【變式2-2】（2021?渝中區(qū)校級三模）已知x=ab+c=【變式2-3】（2021秋?雁江區(qū)校級月考）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【考點3平行線分線段成比例】【例3】（2021?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF，連接CE、BF交于點P，若CPPE=3A．12 B．13 C．3?1【變式3-1】（2021秋?浠水縣期中）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P點在BC邊上的高AD上，且APPD=12，BP的延長線交AC于E，若S△ABC＝10，則S△ABE＝；S△【變式3-2】（2021秋?房山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求證：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的長．【變式3-3】（2021秋?平房區(qū)期末）已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【考點4相似三角形的簡單判定與性質(zhì)】【例1】（2021?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，正方形CDEF的頂點E在線段AD上，G是邊EF上一點，連接AG，記△AEG面積為S1，△CBD面積為S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，則DE的長為（）A．42 B．82 C．4【變式4-1】（2021秋?南岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC邊上一動點，過點E作EF∥AB交BC于點F，D為線段EF的中點，當BD平分∠ABC時，AE的長度是（）A．1613 B．3013 C．4013【變式4-2】（2021秋?江陰市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC上，連接AD，CE⊥AD，垂足為E，連接BE．（1）試證：△CDE∽△ADC；（2）若點D是BC的中點，∠BED與∠ABC是否相等，并說明理由．【變式4-3】（2021?金州區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在邊CD延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN，AC，MN與邊AD交于點E．（1）求證：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2=2AB?AE（3）MN交AC點O，若CMBM=k，則OMON=【考點5相似基本模型（一）】【例5】（2021?叢臺區(qū)校級三模）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長度．【變式5-1】（2021?松江區(qū)一模）已知：如圖，點D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．【變式5-2】（2021秋?黃浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【變式5-3】（2021?黃浦區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=1（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【考點6相似基本模型（二）】【例6】（2021秋?資陽區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，則△ABC的邊長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（2021?亳州模擬）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，點F在DE的延長線上，AD＝AF，AE?CE＝DE?EF．（1）求證：△ADE∽△ACD；（2）如果AE?BD＝EF?AF，求證：AB＝AC．【變式6-2】（2019?南崗區(qū)二模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點B作BE⊥AC于點E，BE的延長線交AD于點F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為．【變式6-3】（2021?嘉定區(qū)二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上（點E不與點A、B重合），點F在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）如圖1，當∠EDF＝90°時，求證：BE＝AF；（2）如圖2，當∠EDF＝45°時，求證：DE【考點7相似三角形中的折疊問題】【例7】（2021?湖州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E．（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）求證：BD2＝BE?BA．【變式7-1】（2021?渝中區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，將△CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB邊上的點F處，若BC＝12，AB＝20，則CD的長為（）A．193 B．254 C．25【變式7-2】（2021春?文登區(qū)期末）已知，矩形ABCD，點E是AD上一點，將矩形沿BE折疊，點A恰好落在BD上點F處．（1）如圖1，若AB＝3，AD＝4，求AE的長；（2）如圖2，若點F恰好是BD的中點，點M是BD上一點，過點M作MN∥BE交AD于點N，連接EM，若MN平分∠EMD，求證：DN?DE＝DM?BM．【變式7-3】（2021?臺安縣一模）在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，把△ABE沿直線AE折疊，B點落在點B′處，B′B與AE交于點F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′＝AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE?AF．其中正確的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點8相似三角形中的動點問題】【例8】（2021春?文登區(qū)期末）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止．（1）求經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ABC相似？【變式8-1】（2021秋?渭濱區(qū)期末）如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．【變式8-2】（2021?晉安區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．【變式8-3】（2021?啟東市一模）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個單位的速度運動，連接BP，作點A關(guān)于直線BP的對稱點E，設(shè)點P的運動時間為t（s）．（1）若AD＝6，P僅在邊AD運動，求當P，E，C三點在同一直線上時對應(yīng)的t的值．（2）在動點P在射線AD上運動的過程中，求使點E到直線BC的距離等于3時對應(yīng)的t的值．【考點9相似三角形的實際應(yīng)用】【例9】（2021春?墾利區(qū)期末）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．【變式9-1】（2021秋?碑林區(qū)校級月考）為更好籌備“十四運”的召開，小穎及其小組成員將利用所學知識測量一個廣告牌的高度EF．在第一次測量中，小穎來回走動，走到點D時，其影子末端與廣告牌影子末端重合于點H，其中DH＝1m．隨后，組員在直線DF上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線DF上的對應(yīng)位置為點G．鏡子不動，小穎從點D沿著直線FD后退5m到B點時，恰好在鏡子中看到頂端E的像與標記G重合，此時BG＝2m．如圖，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小穎的身高為1.5m（眼睛到頭頂距離忽略不計），平面鏡的厚度忽略不計．根據(jù)以上信息，求廣告牌的高度EF．【變式9-2】（2021秋?孝義市期末）閱讀下面材料，完成學習任務(wù)：數(shù)學活動測量樹的高度在物理學中我們學過光的反射定律．數(shù)學綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一棵樹的高度AB測量和計算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長線上，當小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點A時．測得小華到平面鏡的距離CD＝2米，小華的眼睛E到地面的距離ED＝1.5米；②將平面鏡從點C沿BC的延長線向后移動10米到點F處，小華向后移動到點H處時，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點A，這時測得小華到平面鏡的距離FH＝3米；③計算樹的高度AB：設(shè)AB＝x米，BC＝y(tǒng)米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴AB任務(wù)：請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計算步驟，將剩余的計算部分補充完整．【變式9-3】（2021?碑林區(qū)校級模擬）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．【考點10圖形的位似變換】【例10】（2021秋?淅川縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個位似△OA1B1，使它與△OAB的相似比為2：1，并分別寫出點A、B的對應(yīng)點A1、B1的坐標．（2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后的△O2A2B2，并寫出點A、B的對應(yīng)點A2、B2的坐標．（3）判斷△OA1B1與△O2A2B2，能否是關(guān)于某一點M為位似中心的位似圖形？若是，請在圖中標出位似中心M，并寫出點M的坐標．【變式10-1】（2021?渝中區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且面積比為1：9，點A、B、E點在x軸上，若點D的坐標為（1，2），則點G的坐標為（）A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）【變式10-2】（2021秋?樂亭縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且點B（3，1），B′（6，2）．（1）若點A（52