專題4.7 相似三角形章末重難點(diǎn)突破（學(xué)生版）2022年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（浙教版）

專題4.7相似三角形章末重難點(diǎn)突破【浙教版】【考點(diǎn)1比例線段與黃金分割】【例1】（2021秋?石阡縣期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝2，b=5，c＝23，d=15 D．a(chǎn)=2，b＝3，c【變式1-1】（2021秋?蘆溪縣月考）已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【變式1-2】（2021秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度（上半身的長(zhǎng)度）與肚臍至足底的長(zhǎng)度（下半身的長(zhǎng)度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長(zhǎng)度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長(zhǎng)度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式1-3】（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，線段AB＝1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1?AB），點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），點(diǎn)P3是線段AP2的黃金分割點(diǎn)（AP3＜PA．(3?52)C．(12)【考點(diǎn)2比例的基本性質(zhì)】【例2】（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列問(wèn)題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【變式2-1】（2021秋?河北月考）（1）若x3=y（2）若a+23=b4=c+56，且2a﹣b+3c【變式2-2】（2021?渝中區(qū)校級(jí)三模）已知x=ab+c=【變式2-3】（2021秋?雁江區(qū)校級(jí)月考）已知a、b、c均為非零的實(shí)數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【考點(diǎn)3平行線分線段成比例】【例3】（2021?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，連接CE、BF交于點(diǎn)P，若CPPE=3A．12 B．13 C．3?1【變式3-1】（2021秋?浠水縣期中）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P點(diǎn)在BC邊上的高AD上，且APPD=12，BP的延長(zhǎng)線交AC于E，若S△ABC＝10，則S△ABE＝；S△【變式3-2】（2021秋?房山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求證：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的長(zhǎng)．【變式3-3】（2021秋?平房區(qū)期末）已知，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD交AC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【考點(diǎn)4相似三角形的簡(jiǎn)單判定與性質(zhì)】【例1】（2021?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，正方形CDEF的頂點(diǎn)E在線段AD上，G是邊EF上一點(diǎn)，連接AG，記△AEG面積為S1，△CBD面積為S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，則DE的長(zhǎng)為（）A．42 B．82 C．4【變式4-1】（2021秋?南岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，D為線段EF的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，AE的長(zhǎng)度是（）A．1613 B．3013 C．4013【變式4-2】（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，連接AD，CE⊥AD，垂足為E，連接BE．（1）試證：△CDE∽△ADC；（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠BED與∠ABC是否相等，并說(shuō)明理由．【變式4-3】（2021?金州區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)N在邊CD延長(zhǎng)線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN，AC，MN與邊AD交于點(diǎn)E．（1）求證：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2=2AB?AE（3）MN交AC點(diǎn)O，若CMBM=k，則OMON=【考點(diǎn)5相似基本模型（一）】【例5】（2021?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長(zhǎng)度．【變式5-1】（2021?松江區(qū)一模）已知：如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．【變式5-2】（2021秋?黃浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點(diǎn)D在BE延長(zhǎng)線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【變式5-3】（2021?黃浦區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，ABCD=1（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【考點(diǎn)6相似基本模型（二）】【例6】（2021秋?資陽(yáng)區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（2021?亳州模擬）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，AD＝AF，AE?CE＝DE?EF．（1）求證：△ADE∽△ACD；（2）如果AE?BD＝EF?AF，求證：AB＝AC．【變式6-2】（2019?南崗區(qū)二模）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長(zhǎng)為．【變式6-3】（2021?嘉定區(qū)二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)F在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，求證：BE＝AF；（2）如圖2，當(dāng)∠EDF＝45°時(shí)，求證：DE【考點(diǎn)7相似三角形中的折疊問(wèn)題】【例7】（2021?湖州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線段DF與AB相交于點(diǎn)E．（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）求證：BD2＝BE?BA．【變式7-1】（2021?渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，若BC＝12，AB＝20，則CD的長(zhǎng)為（）A．193 B．254 C．25【變式7-2】（2021春?文登區(qū)期末）已知，矩形ABCD，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，將矩形沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在BD上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若AB＝3，AD＝4，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)F恰好是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BE交AD于點(diǎn)N，連接EM，若MN平分∠EMD，求證：DN?DE＝DM?BM．【變式7-3】（2021?臺(tái)安縣一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，把△ABE沿直線AE折疊，B點(diǎn)落在點(diǎn)B′處，B′B與AE交于點(diǎn)F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′＝AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE?AF．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)8相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例8】（2021春?文登區(qū)期末）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．（1）求經(jīng)過(guò)幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25（2）經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ與△ABC相似？【變式8-1】（2021秋?渭濱區(qū)期末）如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點(diǎn)D由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)中，是否存在時(shí)間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-2】（2021?晉安區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng)．【變式8-3】（2021?啟東市一模）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接BP，作點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）若AD＝6，P僅在邊AD運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)P，E，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．（2）在動(dòng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．【考點(diǎn)9相似三角形的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2021春?墾利區(qū)期末）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．【變式9-1】（2021秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）為更好籌備“十四運(yùn)”的召開(kāi)，小穎及其小組成員將利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一個(gè)廣告牌的高度EF．在第一次測(cè)量中，小穎來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，其影子末端與廣告牌影子末端重合于點(diǎn)H，其中DH＝1m．隨后，組員在直線DF上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線DF上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)G．鏡子不動(dòng)，小穎從點(diǎn)D沿著直線FD后退5m到B點(diǎn)時(shí)，恰好在鏡子中看到頂端E的像與標(biāo)記G重合，此時(shí)BG＝2m．如圖，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小穎的身高為1.5m（眼睛到頭頂距離忽略不計(jì)），平面鏡的厚度忽略不計(jì)．根據(jù)以上信息，求廣告牌的高度EF．【變式9-2】（2021秋?孝義市期末）閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：數(shù)學(xué)活動(dòng)測(cè)量樹(shù)的高度在物理學(xué)中我們學(xué)過(guò)光的反射定律．?dāng)?shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律測(cè)量池塘對(duì)岸一棵樹(shù)的高度AB測(cè)量和計(jì)算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹(shù)的頂點(diǎn)A時(shí)．測(cè)得小華到平面鏡的距離CD＝2米，小華的眼睛E到地面的距離ED＝1.5米；②將平面鏡從點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線向后移動(dòng)10米到點(diǎn)F處，小華向后移動(dòng)到點(diǎn)H處時(shí)，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹(shù)的頂點(diǎn)A，這時(shí)測(cè)得小華到平面鏡的距離FH＝3米；③計(jì)算樹(shù)的高度AB：設(shè)AB＝x米，BC＝y(tǒng)米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴AB任務(wù)：請(qǐng)你根據(jù)材料中得到的測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)算步驟，將剩余的計(jì)算部分補(bǔ)充完整．【變式9-3】（2021?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽(yáng)光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽(yáng)光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測(cè)得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．【考點(diǎn)10圖形的位似變換】【例10】（2021秋?淅川縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與△OAB的相似比為2：1，并分別寫(xiě)出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)．（2）畫(huà)出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后的△O2A2B2，并寫(xiě)出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2的坐標(biāo)．（3）判斷△OA1B1與△O2A2B2，能否是關(guān)于某一點(diǎn)M為位似中心的位似圖形？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式10-1】（2021?渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且面積比為1：9，點(diǎn)A、B、E點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）【變式10-2】（2021秋?樂(lè)亭縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)B（3，1），B′（6，2）．（1）若點(diǎn)A（52