專題4.1 成比例線段-重難點題型（學生版）九年級數(shù)學上冊舉一反三系列（浙教版）

專題4.1成比例線段-重難點題型【浙教版】【知識點1成比例線段的概念】1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【題型1成比例線段的概念】【例1】（2020?浉河區(qū)校級一模）已知四條線段a，2，6，a+1成比例，則a的值為．【變式1-1】（2020秋?岳陽縣期中）在同一單位長度下，下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【變式1-2】若a：b＝c：d，則下列各式成立的是（）A．a(chǎn)：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a(chǎn)+bb=c?dd D．a(chǎn)b【變式1-3】已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【題型2成比例線段概念的應(yīng)用】【例2】（2021春?江陰市期中）在比例尺為1：30000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝5cm，則A、B兩地的實際距離為km．【變式2-1】（2020秋?高郵市期末）若三條線段a、b、c的長滿足abA．能圍成銳角三角形 B．能圍成直角三角形 C．能圍成鈍角三角形 D．不能圍成三角形【變式2-2】（2020秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab+1∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【變式2-3】閱讀理解，并解決問題：小明同學在一次教學活動中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學還有新的發(fā)現(xiàn)（分比性質(zhì)）：若已知①ac=b問題解決：（1）仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫出分比性質(zhì)等式；（2）證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立【知識點2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當時，.【題型3比例的性質(zhì)（比值問題）】【例3】（2020秋?炎陵縣期末）已知2b3a?b=34【變式3-1】（2020秋?平果市期末）如果ab=23【變式3-2】（2020秋?雅安期末）若a2=b3【變式3-3】（2020秋?梁溪區(qū)期末）若ab=cd=ef=23【題型4比例的性質(zhì)（三角形問題）】【例4】（2020秋?蘭州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【變式4-1】（2020秋?沭陽縣期末）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a+b+c＝48，a4=b【變式4-2】（2020秋?永登縣期末）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a【變式4-3】已知a、b、c是△ABC的三邊長，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周長為90，求各邊的長．【題型5比例的性質(zhì)（閱讀理解類）】【例5】（2020春?鼓樓區(qū)校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列問題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【變式5-1】（2020秋?椒江區(qū)校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問題：a，b，c為非零實數(shù)，且a+b+c≠0，當a+b?cc=a?b+c【變式5-2】解答下列各題：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【變式5-3】我們知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關(guān)系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【知識點3黃金分割】如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【題型6黃金分割】【例6】（2020秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數(shù)”時，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式6-1】（2021?龍口市模擬）黃金分割具有嚴格的比例性，蘊藏著豐富的美學價值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對角線圍成個新的五邊形MNPQR．圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5?12．若EM＝4，則AB＝【變式6-2】（2020秋?市北區(qū)期末）如圖，線段AB＝1，點P1是線段AB的黃金分割點（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1?AB），點P2是線段AP1的黃金分割點（AP2＜P1P2），點P3是線段AP2的黃金分割點（AP3＜PA．(3?52)C．(12)【變式6-3】（2020秋?平頂山期中）如果一個等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角