2025屆甘肅省臨夏地區(qū)夏河中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2025屆甘肅省臨夏地區(qū)夏河中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．2．設(shè)集合則（）A． B． C． D．3．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．4．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．數(shù)列{an}，滿足對任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A．132 B．299 C．68 D．996．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．7．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1208．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，其底面邊長為4，、、分別為側(cè)棱，，的中點.若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．11．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺：問亭方幾何？”大致意思是：有一個四棱錐下底邊長為二丈，高三丈；現(xiàn)從上面截取一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且四棱臺的上底邊長為六尺，則該正四棱臺的高為________尺，體積是_______立方尺（注：1丈=10尺）.14．設(shè)為偶函數(shù)，且當時，；當時，．關(guān)于函數(shù)的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數(shù)m，使函數(shù)恰有5個不同的零點；②若，函數(shù)的零點不超過4個，則；③對，，函數(shù)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號是_______．15．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），則?_____，△ABC的面積為_____．16．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.18．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．19．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．21．（12分）某商場為改進服務質(zhì)量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．22．（10分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.2、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合，則.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.3、D【解析】

根據(jù)題意，求得的坐標，根據(jù)點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據(jù)題意求得點的坐標，屬中檔題.4、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【詳解】對任意的，均有為定值，，故，是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.6、A【解析】=,當時時,單調(diào)遞減，時,單調(diào)遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.7、C【解析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.9、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.10、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11、D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因為x，，當時，不妨取，，故時，不成立，當時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.12、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積.【詳解】如圖所示：正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱臺ABCD-A'B'C'D'，且上底邊長為A'B'=6尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是，故答案為：21；3892.【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應用問題，也考查了棱臺的體積計算問題，屬于中檔題.14、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解：當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數(shù)的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.15、【解析】

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結(jié)合①求出，根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2（sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°），②，，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應用，涉及平面向量數(shù)量積的坐標表示，三角恒等變換，根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積，綜合性強.16、81【解析】

設(shè)數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列通項公式求出，代入等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，因為，由等比數(shù)列通項公式可得，，解得，由等比數(shù)列通項公式可得，.故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.18、（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設(shè)四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關(guān)系、導數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.19、（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進而求得；（2）對函數(shù)進行求導后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當時，在R上沒有零點；③當時，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.ⅰ）若，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當時，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)恰有一個零點；當時，恰有兩個零點.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標.以導數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.20、（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解；（2）設(shè)點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標是．（2）由（1）可知，點的直角坐標為，B的直角坐標為設(shè)點的直角坐標為，則點的直角