第26講 四邊形面積問題（解析版）

一．選擇題（共1小題）1．已知雙曲線C:x2-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C上的任意一點，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A，B兩點， 若四邊形PAOB(O為坐標原點）的面積為·2，且PF1PF2>0，則點P的橫坐標的取值范圍 【解答】解：雙曲線C:x2-的左、右焦點分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，漸近線方程為y=bx，y=-bx，設(shè)P(m,n)，可得b2m2-n2=b2，設(shè)PA的方程為y=b(x-m)+n，PB的方程為y=-b(x-m)+n，O到直線PA的距離為解得b=2·,則雙曲線的方程為=1，焦點F2為直徑的圓的方程為x2+y2=9，聯(lián)立雙曲線方程解得PF1PF2>0，可得P在以F1F可得P的橫坐標的范圍是故選：A.二．填空題（共2小題）F2為橢圓的左右焦點，過橢圓的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點，當四邊形PF1QF點，當四邊形PF1QF2面積最大時，PF1.PF2的值等于7.【解答】解：因為四邊形是平行四邊形，所以，四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，則SPF1QF2=||sinθ;當θ取最大值時四邊形PF1QF2面積最大，sinθ=即當點P、Q分別在上下頂點時，θ取最大值，四邊形PF1QF2面積最大，令橢圓的實半軸為a=5，虛半軸為b=4，焦半徑為c故答案為7.3．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓+y2=1的兩個焦點，過F1，F(xiàn)2分別作若l1與橢圓C交于A，B兩點，l2與橢圓C交于C，D兩點（點A，D在x軸上方則四邊形ABCD面積的最大值為4.因為l1//l2，設(shè)平行線間的距離為d，所以四邊形ABCD面積為S=|AB|●d，①當直線的斜率不存在時，可得四邊形ABCD為矩形，設(shè)直線AB的方程：x=±,代入橢圓的方程可得F2②當直線的斜率存在且不為0時，且m≠0，由橢圓的對稱性可得ABCD為平行四邊形，設(shè)l1的方程為：x=my，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得兩條平行線間的距離，所以t所以故答案為：4.三．解答題（共15小題）4．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率，過右焦點F作與x軸垂直的直線l，l與橢圓的交點到x軸的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為坐標原點，過點F的直線l9與橢圓C交于A、B兩點(A、B不在x軸上【解答】解1）由已知可得因為直線經(jīng)過右焦點，又因為a2=b2+c2，所以橢圓的方程為.（2）因為過F(1,0)的直線與橢圓C交于A，B兩點(A，B不在x軸上所以設(shè)直線l的方程為x=ty+1，得(3t2+4)y2+6ty-9=0，所以四邊形AOBE為平行四邊形，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，得當m=1，即t=0時，Smax=5．已知橢圓的離心率為，過其右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓C于線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右頂點為R，且滿足|RP+PQ|=2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k（其中k≠0)的直線l過點F，且與橢圓交于點A，B，弦AB的中點為M，直線OM與橢圓交于點C，D，求四邊形ACBD面積S的取值范圍.【解答】解1）由e==得a=2c，RP+RQRP+RQ|=|2RF|=2(a-c)=2（2）斜率為k（其中k≠0)的直線l過點F，可得直線方程為：y=k(x-1)，:△=122恒正，xA+xB=，xAxB=:（此處也可以用點差法：由得:點C，D到直線AB的距離之和為dC+dD= :S的取值范圍：(6,4·3)……………………（126．已知曲線C:y=，D為直線y=—上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別（1）證明：直線AB過定點；（2）若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.【解答】解1）證明：的導數(shù)為y’=x，設(shè)切點A(x1，y1)，B(x2，y2)，即有切線DB的方程為y=x2x—，聯(lián)立兩切線方程可得2直線AB的方程為可化為可得AB恒過定點(0,)；（2）法一：設(shè)直線AB的方程為y=kx+AB中點H(k,k2+)，由H為切點可得E到直線AB的距離即為|EH|，可得即有直線AB的方程為y=或y=±x+，此時D(±1,-)到直線AB的距離為='2；E(0,)到直線AB的距離為，法二：（2）由（1）得直線AB的方程為y=tx+.于是x1x2222|x1-x2|2，d2分別為點D，E到直線AB的距離，則d1=，設(shè)M為線段AB的中點，則M(t,t2+).綜上，四邊形ADBE的面積為3或4.7．如圖，O為坐標原點，橢圓C1:的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，C2的方程；作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C2交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值.2b2=1:橢圓C1的方程為+y2=1，雙曲線C2的方程為—y2=:直線AB不垂直于y軸，:設(shè)AB的方程為x=ny—1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，2·(y1+y2)24y1y2:M在直線AB上，直線PQ的方程為，:P，Q的坐標分別為:P，Q在直線A，B的兩端，則四邊形APBQ的面積S=|AB|(d1+d2)=2.廠3廠 12n2.:當n2=0，即n=0時，四邊形APBQ面積取得最小值2.8．已知點F是拋物線C:x2=4y的焦點，P是其準線l上任意一點，過點P作直線PA，PB與拋物線C相切，A，B為切點，PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點.(Ⅰ)求焦點F的坐標，并證明直線AB過點F；(Ⅱ)求四邊形ABRQ面積的最小值.【解答】解：(I)解法一：F(0,1)，同理lPB:y=x-y2.所以直線AB過焦點F.(I)解法二：F(0,1)，設(shè)AB直線方程為y=kx+m，則由m得x2-4kx-4m=0，所以x1+x2=4kx1.x2=-4m，過A的切線方程為y-y1= 過B的切線方程為y-y2=，所以交點P的坐標為因為P在直線y=-1上，所以x1.x2=-4m=-4，所以m=1即直線過焦點F.(II)由(I)知lAB:y=x+1，代入C:x2=4y得x2-2x0x-4=0，P到AB的距離所以SΔPAB=f(t)=t3—t在[2，+∞)上是增函數(shù)，則四邊形ABRQ面積的最小值為3.9．已知A(2,0)，B(2,0)，曲線C1上任意一點P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為3—.4（1）求曲線C1的標準方程；（2）已知直線l過F(1,0)（與x軸不重合）且交C1于M，N兩點，過F且垂直于直線l的直線m交C2:(x+1)2+y2=16于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解答】解1）設(shè)動點P(x,y)，由題意可知x≠±2，kAP=，kBP=化簡可得（2）當l與x軸不垂直時，〔y=l3x〔y=l3xk(x1)+4y2得(4k2+3)x28k2x+4k212=x2圓心C2(1,0)到m的距離為2，故四邊形MPNQ的面積|MN||PQ|=12可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8·)，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8·3). x+y=0交M于A，B兩點，且橢圓M的離心率為.（1）求橢圓M的方程；（2）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD丄AB，求四邊形ACBD面積的最大值. 所以橢圓的右焦點為(·3,0)， 因為橢圓M的離心率為，故橢圓M的方程為由題意，可設(shè)直線CD的方程為y=x+n22則直線CD的斜率為1，，當n=0時，S取得最大值， 故四邊形ACBD面積的最大值為.11．過橢圓M:+=1(a>b>0)右焦點的直線x+y—=0交M于A，B兩點，且橢圓的長軸長為短軸長的·2倍.（1）求M的方程；（2）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線分別為AB，CD，且ABCD=0，求四邊形【解答】解1）由題意知b+c2，所以M的方程為（2）聯(lián)立方程組，依題意可設(shè)直線CD的方程為：y=x+m， 當m=0時，S最大，最大值為. 所以四邊形ACBD的面積最大值為.兩條漸近線l1、l2上的兩點，△OP1P2(O為坐標原點）的面積為9，點P是曲線C上的一點，且P且P（1）求此雙曲線的方程；（2）設(shè)點M是此雙曲線C上的任意一點，過點M分別作l1、l2的平行線交l2、l1于A、B兩點，試證：平行四邊形OAMB的面積為定值.（3）若點M是此雙曲線C上不同于實軸端點的任意一點，設(shè)θ=上F1MF2(F1、F2分別【解答】（1）解：」雙曲線的離心率e==·i5，:c=v5a，2a2:雙曲線的漸近線方程為y=±2x，設(shè)P2P22x2」P」點P在雙曲線上，:8x1x2=9a2，①x1222:所求雙曲線方程為一雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，:設(shè)其中一條平行y=2x的直線方程為y聯(lián)立y02x0，解得 :0y0||MF|cosθ,1(b>0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的垂（1）求雙曲線C的兩條漸近線的夾角θ;（2）過點F2的直線l和雙曲線C的右支交于A，B兩點，求△AF1B的面積最小值；（3）過雙曲線C上任意一點Q分別作該雙曲線兩條漸近線的平行線，它們分別交兩條漸近線于Q1，Q2兩點，求平行四邊形OQ1QQ2的面積.，可令x=c，解得y=b·c21=b2，設(shè)M(c,b2)，2，則雙曲線的方程為可得夾角θ=arctan2·;2x2y2=2，可得(2k2)x2+2·k2x3k22=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x22 綜上可得△AF1B的面積的最小值為43； 雙曲線的漸近線方程為y=±·2x， Q到直線y=s2x的距離為d=，聯(lián)立直線y=x，可得第一象限上的一點，且滿足|PF1|+|PF2|=8，過點P分別作雙曲線C兩條漸近線的平行線PA、PB與漸近線的交點分別是A和B.（1）求四邊形OAPB的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點P,為雙曲線C,上任意一點，過點P,分別作雙曲線C,兩條漸近線的平行線P,A,、P,B,與漸近線的交點分別是A,和B,．請問四邊形OA,P,B,的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用a、b表示該定值若不是定值，請說明理由.22可得PF2F2，則點P的橫坐標為xP=2，2聯(lián)立雙曲線的方程，解得點，直線OP的方程為3x—2y=0，點B到直線OP的距離為 因此，四邊形OAPB的面積為S平行四邊形OAPB=2SΔOBP=iOP.d=；（2）四邊形OA,P,B,的面積為定值ab，理由如下：設(shè)點P,(x0，y0)，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，即點B,(+y0,+x0)，0直線OP,的方程為y=x，即y0x—x0y=0，0是坐標原點，點M滿足OA是坐標原點，點M滿足OA=2OM.(Ⅱ)若互相平行的兩條直線l，l’分別過定點(—·i3,0)和(,0)，且直線l與曲線E交于P，Q兩點，直線l’與曲線E交于R，S兩點，若四邊形PQRS的面積為，求直線l的方程.所以，點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓（不含左右頂點）.所以，點A的軌跡方程為故，點M的軌跡E的方程為，即+y2=1(y≠0)..這時，四邊形PQRS的面積為2，不符合要求.當直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=k(x+·)，則直線l’的方程為y=k(x—·)x2又，兩條平行直線l，l’間的距離d=.解得，k=±1或k=±故，直線l的方程為y=±(x+)或16．如圖，O為坐標原點，橢圓C1:的左右焦點分別為F1F2，離心·3-1.（2）過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C2交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值.4-b4=于是3b-b=|F2F4|=雙曲線C2的方程為-y2=1.（2）因為直線AB不垂直于y軸且過點F1(-1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為x=my-1.由聯(lián)立橢圓方程+y2=1，得y2-2my-1=0，易知此方程的判別式大于0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個實根，所以y1+y2=，y1y2=因此x1+x2=m的中點為故直線PQ的斜率為-，PQ的方程為，即mx+2y=0.由聯(lián)立雙曲線方程，得x2=4，所以2-m2>0，x2=，y2=+y2設(shè)點A到直線PQ的距離為d，則B