期末專題復(fù)習(xí)：最值問題（七大類型）（解析版）

幾何最值問題七大類型一、類型一：垂線段最短方法思路：過直線外一點(diǎn)，到已知直線垂線段最短1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N；再分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G；作射線AG交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，BD＝2.5，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為．【答案】2【詳解】解：由作法得AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB的距離等于DC＝2，∴PD的最小值為2．故答案為2．2．在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【詳解】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∴是等邊三角形，∴，即的最小值即為的最小值，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作，∵，，∴，∴，∵，即，則，∴，故選C．

3．如圖，，，，點(diǎn)B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【詳解】解：連接，由題意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴點(diǎn)P在與成的射線上，故當(dāng)時(shí)，最小，如圖，則，∴，由勾股定理得，∴，則，即的最小值是，故選：C．4．如圖，直線，垂足為O，點(diǎn)A是射線上一點(diǎn)，，以為邊在右側(cè)作，且滿足，若點(diǎn)B是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接．作的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)C，在點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段取最小值時(shí)，的度數(shù)為．【答案】【詳解】解：如圖，作于E，于G，于H，連接，∵平分，，∴，同理可得：，∴，∵，∴平分，即點(diǎn)C在的平分線上，∴，∵，∴，如圖，作于，則，即的最小值為，此時(shí)點(diǎn)C與重合，∴，∴，∴當(dāng)線段取最小值時(shí)，的度數(shù)為，故答案為：．5．如圖，是等邊三角形，D為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合）．．，連接．(1)求證：平分；(2)若，當(dāng)四邊形的周長取最小值時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴平分；（2）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴四邊形的周長，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，值最小，四邊形的周長取最小值，∵，∴．類型二：三角形三邊關(guān)系方法思路：利用三角形三邊關(guān)系，第三邊大于任意兩邊之差，第三邊小于任意兩邊之和，三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值或最小值6．如圖，，在中，，點(diǎn)A，B分別在邊上運(yùn)動(dòng)，的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最小距離為．

【答案】7【詳解】解：作，連接，如圖，

∵，∴，在中，，在中，，∵（當(dāng)點(diǎn)C、O、H共線時(shí)取等號），∴點(diǎn)C到點(diǎn)O的最小距離為，故答案為：7．7．如圖，在中，，，，D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，線段的最小值是（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)T，連接．，，∵，，，，，，，，∴的最小值為1．故選：D．8．如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)M是中點(diǎn)，點(diǎn)N是中點(diǎn)，連接，若，，則線段的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：，，，連接，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，∵是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，在中，，即，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大．故選：C．9．如圖，射線OA⊥射線OB于點(diǎn)O，線段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于點(diǎn)C，當(dāng)線段CD的兩個(gè)端點(diǎn)分別在射線OB和射線OA上滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)O的最大距離為【答案】8【詳解】解：如圖，取CD的中點(diǎn)M，以O(shè)為圓心，OM為半徑作，交OA、OB于E、F．∵CD=6，M為CD的中點(diǎn)，射線OA⊥射線OB于點(diǎn)O，∴，∵CE=4，且CE⊥CD于點(diǎn)C，∴，∵點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，∴，當(dāng)M在OE與的交點(diǎn)處時(shí)，等號成立，∴，即點(diǎn)E到點(diǎn)O的最大距離為8，故答案為：8．三、類型四：兩點(diǎn)之間線段最短以及螞蟻爬行路徑最短問題方法思路：1、兩點(diǎn)之間，線段最短。2、螞蟻爬行路徑最短問題，將曲面或立體面展開鋪平，兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理計(jì)算即可。10．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是cm．【答案】10【詳解】解：如圖所示：沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案為：10．11．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是．

【答案】【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，如圖，∵高為，底面周長為，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)處，∴，，連接，則即為最短距離，∵，∴螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是，故答案為：．

12．如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路徑長為【答案】【詳解】解：長方體側(cè)面展開圖如圖所示．由題意，得，．在中，，∴；故答案為：13．如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為dm．【答案】17【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．14．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB的同側(cè)，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點(diǎn)，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．四、類型三：構(gòu)造全等三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化方法思路：構(gòu)造全等三角形，利用全等性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化15．如圖中，，若將AD作點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【詳解】如圖，在AB上截取，連接，將AD繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，，，即，在和中，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，即線段有最小值，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得，線段有最小值為2，故選：A．16．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．

【答案】【詳解】解：過點(diǎn)作，使，連接，，

，，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，，，，在中，，故答案為：．17．如圖，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊，連接，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴最小時(shí)，有最小值，∵為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴的最小值為，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)D，連接BD，則BD的最小值是．【答案】【詳解】解：如圖，截取，連接；過點(diǎn)D作，垂足為E；可得等腰直角三角形；∵∴∵∴則：，∴，即即為等腰直角三角形∴∵點(diǎn)F為定點(diǎn)∴點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)，BD最小，在等腰直角中：，∴，故答案為：．五、類型五：將軍飲馬模型方法思路：將軍飲馬問題中的最值分好幾種類型，需具體情況具體分析。分兩點(diǎn)一動(dòng)、一定兩動(dòng)、多動(dòng)點(diǎn)等。19．如圖，等腰中，，，垂直平分，交于點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示：垂直平分，交于點(diǎn)，，，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短是垂線段長，可知當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，有最小值，等腰中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，由等腰三角形“三線合一”可知，，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，有最小值，為，故答案為：．20．如圖，中，，，，BD平分，如果、分別為BD、上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是．

【答案】【詳解】解：，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交BD于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，

平分，，，，，此時(shí)取最小值．，，即．即的最小值為．故答案為：．21．如圖，邊長為的等邊，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作等邊，連接、、，下列說法正確的有（）個(gè)．①；②；③的周長最小值為；④當(dāng)周長最小時(shí)，；⑤的大小隨著點(diǎn)的移動(dòng)而變化．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】∵是等邊三角形，是邊的中點(diǎn)，∴，故①正確．∴是線段的垂直平分線．∴．∵是等邊三角形，∴．∴．∴，故②正確．∵點(diǎn)在線段上，∴當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，線段最小，即此時(shí)的周長最?。叩冗吶切蔚倪呴L為，是邊的中點(diǎn)，∴．∴的周長的最小值為，故③正確．∵、都是等邊三角形，∴，，．∴．∴．∴，故⑤錯(cuò)誤．∴，即點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)．如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，，，設(shè)交的延長線于點(diǎn)．∴．∴的周長．∴當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，即的周長最小．∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴，．∴．∴是等邊三角形．∵是邊的中點(diǎn)，∴．∴．故④錯(cuò)誤．綜上，說法正確的為①②③，共3個(gè)．故選B．22．如圖，在中，，，射線平分，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，為等邊三角形，射線平分，垂直平分，，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)的位置時(shí)，最小，最小值為，，，，，．故答案為：．23．如圖，在等腰直角三角形中，，P是上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值是．【答案】5【詳解】解：如圖：作等腰直角三角形關(guān)于的對稱直角三角形，連接，與交于點(diǎn)P，線段最短得到就是的最小值，∵等腰直角三角形中，，，，∵B、D關(guān)于對稱，，．，，由勾股定理得，．故答案為：5．24．如圖，長方形中，，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：將沿著向左平移使與重合，得到，如圖所示：

由平移性質(zhì)得到，，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，如圖所示：

由對稱性得到，，由圖可知，，此時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，為線段長，，，在長方形中，，，由矩形性質(zhì)可得，，是的中點(diǎn)，，與關(guān)于的對稱，，在長方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故選：C．25．如圖，在銳角中，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)分別是，，連接，則的最小值為．

【答案】8【詳解】解：連接，，，，，如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)分別是，，所以是的垂直平分線，是的垂直平分線，則，，，即，所以是等邊三角形，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)?，上的高，所以的最小值，故答案為?．26．如圖，在中，，，，點(diǎn)M、N分別為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】解：作A關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，長最小，∵，∴∵的面積，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．27．如圖，中，，的面積12．點(diǎn)D、E、F分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為．

【答案】8【詳解】解：作，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，如圖，

∴，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，連接，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接，∴，∴周長的最小值為的長，∵，即，解得：，∴，∴周長的最小值為8，故答案為：8．28．已知等邊中，，，若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，AP的長為．【答案】8【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖所示：∴，∴，∴當(dāng)取最小時(shí)，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，如圖所示：∴，∴，，∵，∴；故答案為：8．29．早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題．

如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC′，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締栴}實(shí)際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A、C、B′三點(diǎn)共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型．1.簡單應(yīng)用（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)BM，EM+MC的最小值就是線段的長度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N當(dāng)△AMN周長最小時(shí)，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展應(yīng)用如圖6，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先?？縊B岸C處裝貨，再?？縊A岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．【答案】C′B；AB′；簡單應(yīng)用：（1）BE；3；（2）100；拓展應(yīng)用：作圖見解析，貨船行駛的水路最短路程為千米【詳解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案為：C′B；AB′；1.簡單應(yīng)用（1）由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)BM，EM+MC的最小值就是線段BE的長度，BE=，則EM+MC的最小值是，故答案為：BE；；（2）如圖5，作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，

則A′A″即為△AMN的周長最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°，∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案為：100；2.拓展應(yīng)用如圖6，分別作點(diǎn)A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于OA的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，則C、D為兩岸的裝貨地點(diǎn)，A′B′是貨船行駛的水路最短路程，

由軸對稱的性質(zhì)可知，OA′=OA=1