期末專題復習：最值問題（七大類型）（解析版）

幾何最值問題七大類型一、類型一：垂線段最短方法思路：過直線外一點，到已知直線垂線段最短1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N；再分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點G；作射線AG交BC于點D，若CD＝2，BD＝2.5，P為AB上一動點，則PD的最小值為．【答案】2【詳解】解：由作法得AD平分∠BAC，∴點D到AB的距離等于DC＝2，∴PD的最小值為2．故答案為2．2．在中，，，點D是上一點，將點B繞點D逆時針旋轉得到點，連接，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【詳解】解：如圖，由旋轉可得：，，∴是等邊三角形，∴，即的最小值即為的最小值，當時，最小，即最小，過點A作，∵，，∴，∴，∵，即，則，∴，故選C．

3．如圖，，，，點B是線段上一動點，以為底邊作等腰三角形，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【詳解】解：連接，由題意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴點P在與成的射線上，故當時，最小，如圖，則，∴，由勾股定理得，∴，則，即的最小值是，故選：C．4．如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連接．作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當線段取最小值時，的度數(shù)為．【答案】【詳解】解：如圖，作于E，于G，于H，連接，∵平分，，∴，同理可得：，∴，∵，∴平分，即點C在的平分線上，∴，∵，∴，如圖，作于，則，即的最小值為，此時點C與重合，∴，∴，∴當線段取最小值時，的度數(shù)為，故答案為：．5．如圖，是等邊三角形，D為邊上一個動點（D與B、C均不重合）．．，連接．(1)求證：平分；(2)若，當四邊形的周長取最小值時，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴平分；（2）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴四邊形的周長，根據(jù)垂線段最短，當時，值最小，四邊形的周長取最小值，∵，∴．類型二：三角形三邊關系方法思路：利用三角形三邊關系，第三邊大于任意兩邊之差，第三邊小于任意兩邊之和，三點共線時取得最大值或最小值6．如圖，，在中，，點A，B分別在邊上運動，的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為．

【答案】7【詳解】解：作，連接，如圖，

∵，∴，在中，，在中，，∵（當點C、O、H共線時取等號），∴點C到點O的最小距離為，故答案為：7．7．如圖，在中，，，，D為邊上的一個動點，連接，E為上的一個動點，連接，當時，線段的最小值是（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【詳解】解：如圖，取的中點T，連接．，，∵，，，，，，，，∴的最小值為1．故選：D．8．如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，點M是中點，點N是中點，連接，若，，則線段的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：，，，連接，∵將繞點順時針旋轉得到，，∵是中點，點是中點，，在中，，即，∴當三點共線時，最大．故選：C．9．如圖，射線OA⊥射線OB于點O，線段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于點C，當線段CD的兩個端點分別在射線OB和射線OA上滑動時，點E到點O的最大距離為【答案】8【詳解】解：如圖，取CD的中點M，以O為圓心，OM為半徑作，交OA、OB于E、F．∵CD=6，M為CD的中點，射線OA⊥射線OB于點O，∴，∵CE=4，且CE⊥CD于點C，∴，∵點M在上運動，∴，當M在OE與的交點處時，等號成立，∴，即點E到點O的最大距離為8，故答案為：8．三、類型四：兩點之間線段最短以及螞蟻爬行路徑最短問題方法思路：1、兩點之間，線段最短。2、螞蟻爬行路徑最短問題，將曲面或立體面展開鋪平，兩點之間線段最短，利用勾股定理計算即可。10．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程是cm．【答案】10【詳解】解：如圖所示：沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案為：10．11．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是．

【答案】【詳解】解：將圓柱側面展開，作出點關于的對稱點，如圖，∵高為，底面周長為，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點處，∴，，連接，則即為最短距離，∵，∴螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是，故答案為：．

12．如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．若一只螞蟻從點P開始經(jīng)過4個側面爬行一圈到達點Q，則螞蟻爬行的最短路徑長為【答案】【詳解】解：長方體側面展開圖如圖所示．由題意，得，．在中，，∴；故答案為：13．如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為dm．【答案】17【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．14．如圖，點C、D在線段AB的同側，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【詳解】解：如圖，作點A關于CM的對稱點A′，點B關于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．四、類型三：構造全等三角形進行轉化方法思路：構造全等三角形，利用全等性質(zhì)進行轉化15．如圖中，，若將AD作點逆時針旋轉90°，得到，連接，則在點運動過程中，線段的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【詳解】如圖，在AB上截取，連接，將AD繞點逆時針旋轉90°得到，，，即，在和中，，，，點在線段上運動，當時，的值最小，即線段有最小值，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得，線段有最小值為2，故選：A．16．如圖，在中，，，于點D，點E、F分別是線段上的動點，且，則的最小值為．

【答案】【詳解】解：過點作，使，連接，，

，，，，，，，當、、三點共線時，的值最小，，，，在中，，故答案為：．17．如圖，點在直線上，于點，，點在直線上運動，以為邊作等邊，連接，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴最小時，有最小值，∵為直線上的動點，過點作于點，∴的最小值為，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．18．如圖，在中，，，，點P是線段上的動點，將點A繞點P順時針旋轉90°至點D，連接BD，則BD的最小值是．【答案】【詳解】解：如圖，截取，連接；過點D作，垂足為E；可得等腰直角三角形；∵∴∵∴則：，∴，即即為等腰直角三角形∴∵點F為定點∴點D在射線上運動當時，BD最小，在等腰直角中：，∴，故答案為：．五、類型五：將軍飲馬模型方法思路：將軍飲馬問題中的最值分好幾種類型，需具體情況具體分析。分兩點一動、一定兩動、多動點等。19．如圖，等腰中，，，垂直平分，交于點．若點為的中點，點為上一動點，則的最小值為．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示：垂直平分，交于點，，，根據(jù)點到直線的距離最短是垂線段長，可知當三點共線，時，有最小值，等腰中，，，點為的中點，由等腰三角形“三線合一”可知，，，則，當三點共線，時，有最小值，為，故答案為：．20．如圖，中，，，，BD平分，如果、分別為BD、上的動點，那么的最小值是．

【答案】【詳解】解：，，，過點作于點，交BD于點，過點作于，

平分，，，，，此時取最小值．，，即．即的最小值為．故答案為：．21．如圖，邊長為的等邊，是邊的中點，點是線段上的動點，連接，在的右側作等邊，連接、、，下列說法正確的有（）個．①；②；③的周長最小值為；④當周長最小時，；⑤的大小隨著點的移動而變化．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】∵是等邊三角形，是邊的中點，∴，故①正確．∴是線段的垂直平分線．∴．∵是等邊三角形，∴．∴．∴，故②正確．∵點在線段上，∴當點與重合時，線段最小，即此時的周長最?。叩冗吶切蔚倪呴L為，是邊的中點，∴．∴的周長的最小值為，故③正確．∵、都是等邊三角形，∴，，．∴．∴．∴，故⑤錯誤．∴，即點在射線上運動．如圖所示，作點關于直線的對稱點，連接，，，，設交的延長線于點．∴．∴的周長．∴當點，，三點共線，即點與點重合時，最小，即的周長最?。唿c與點關于直線對稱，∴，．∴．∴是等邊三角形．∵是邊的中點，∴．∴．故④錯誤．綜上，說法正確的為①②③，共3個．故選B．22．如圖，在中，，，射線平分，，，，點為的中點，點為射線上一動點，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，連接，交于點，連接，交于點，連接，，，，，點為的中點，，為等邊三角形，射線平分，垂直平分，，點為點關于的對稱點，當在點的位置時，最小，最小值為，，，，，．故答案為：．23．如圖，在等腰直角三角形中，，P是上一動點．則的最小值是．【答案】5【詳解】解：如圖：作等腰直角三角形關于的對稱直角三角形，連接，與交于點P，線段最短得到就是的最小值，∵等腰直角三角形中，，，，∵B、D關于對稱，，．，，由勾股定理得，．故答案為：5．24．如圖，長方形中，，，是的中點，線段在邊上左右滑動，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：將沿著向左平移使與重合，得到，如圖所示：

由平移性質(zhì)得到，，作關于的對稱點，連接，如圖所示：

由對稱性得到，，由圖可知，，此時，當三點共線時，有最小值，為線段長，，，在長方形中，，，由矩形性質(zhì)可得，，是的中點，，與關于的對稱，，在長方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故選：C．25．如圖，在銳角中，，，，是邊上的一動點，點關于直線，的對稱點分別是，，連接，則的最小值為．

【答案】8【詳解】解：連接，，，，，如圖所示：

因為點關于直線，的對稱點分別是，，所以是的垂直平分線，是的垂直平分線，則，，，即，所以是等邊三角形，則，當時，取最小值，因為，，所以當時，取最小值，因為，上的高，所以的最小值，故答案為：8．26．如圖，在中，，，，點M、N分別為上的動點，則的最小值為．【答案】【詳解】解：作A關于的對稱點D，連接，∴，∵，∴，當時，長最小，∵，∴∵的面積，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．27．如圖，中，，的面積12．點D、E、F分別是三邊上的動點，則周長的最小值為．

【答案】8【詳解】解：作，作點E關于的對稱點，如圖，

∴，作點E關于的對稱點，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，連接，交于點D，交于點F，連接，∴，∴周長的最小值為的長，∵，即，解得：，∴，∴周長的最小值為8，故答案為：8．28．已知等邊中，，，若點P在線段AD上運動，當?shù)闹底钚r，AP的長為．【答案】8【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點P作于點E，如圖所示：∴，∴，∴當取最小時，即為最小，∴當點B、P、E三點共線時最小，如圖所示：∴，∴，，∵，∴；故答案為：8．29．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．

如圖2，作B關于直線l的對稱點B′，連結AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連結AC′，BC′，B′C′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締栴}實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A、C、B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數(shù)學模型．1.簡單應用（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關于直線AD對稱，連結BM，EM+MC的最小值就是線段的長度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M、N當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展應用如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計劃，貨船應先?？縊B岸C處裝貨，再?？縊A岸D處裝貨，最后到達碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．【答案】C′B；AB′；簡單應用：（1）BE；3；（2）100；拓展應用：作圖見解析，貨船行駛的水路最短路程為千米【詳解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案為：C′B；AB′；1.簡單應用（1）由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關于直線AD對稱，連結BM，EM+MC的最小值就是線段BE的長度，BE=，則EM+MC的最小值是，故答案為：BE；；（2）如圖5，作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，

則A′A″即為△AMN的周長最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°，∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案為：100；2.拓展應用如圖6，分別作點A關于OB的對稱點A′，點B關于OA的對稱點B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，則C、D為兩岸的裝貨地點，A′B′是貨船行駛的水路最短路程，

由軸對稱的性質(zhì)可知，OA′=OA=1