期末專題復(fù)習(xí)：軸對稱圖形與等腰三角形（十四大類型）（解析版）

軸對稱圖形與等腰三角形（14大類型提分練）目錄類型一、軸對稱與軸對稱圖形 1類型二、軸對稱與折疊問題 3類型三、設(shè)計軸對稱圖形 5類型四、軸對稱與坐標(biāo)對稱問題 9類型五、軸對稱與最值問題 13類型六、角平分線的性質(zhì) 17類型七、線段垂直平分線的性質(zhì) 20類型八、等腰三角形的性質(zhì) 22類型九、等邊三角形的性質(zhì) 24類型十、角平分線與線段垂直平分線的計算問題 26類型十一、角平分線與線段垂直平分線的作圖 31類型十二、等腰三角形的性質(zhì)與判定 35類型十三、等邊三角形的性質(zhì)與判定 39類型十四、等腰（等邊）三角形的綜合問題 43類型一、軸對稱與軸對稱圖形1．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）漢字是世界上最古老的文字之一，它是中華文明的符號與象征，許多中國漢字的形體和結(jié)構(gòu)充滿著“對稱美”，用心欣賞下列漢字，其中是軸對稱圖形的是（

）A．醉 B．美 C．東 D．國【答案】B【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義（如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸）進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、“醉”不是軸對稱圖形，不符合題意；B、“美”是軸對稱圖形，符合題意；C、“東”不是軸對稱圖形，不符合題意；D、“國”不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級上·江蘇常州·期末）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是軸對稱圖形的識別，根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．3．（21-22八年級上·江蘇南京·期末）若一個圖形是軸對稱圖形，則這個圖形可以是（寫出一個答案即可）．【答案】圓（答案不唯一）【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：若一個圖形是軸對稱圖形，則這個圖形可以是圓．故答案為：圓（答案不唯一）．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿某一條直線對折，抓痕兩旁的圖形能完全重合，那么這個圖形是軸對稱圖形；軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．類型二、軸對稱與折疊問題4．（20-21八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，將其折疊，使點A落在邊CB上A'處，折痕為A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理得出∠B=35°，再由折疊的性質(zhì)可得：∠CA【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-55°=35°，由折疊的性質(zhì)可得：∠CA∴∠A故選：C．5．（22-23八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，將長方形紙片沿線段AB折疊，重疊部分為△ABC，若∠BAC=64°，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．36° B．52° C．56° D．64°【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CAD=2∠BAC=128°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖∵AD∴∠ACB+∠CAD=180°，∵將長方形紙片沿線段AB折疊，重疊部分為△ABC，∠BAC=64°，∴∠CAD=2∠BAC=128°，∴∠ACB=180°-128°=52°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，將長方形紙條ABCD沿著線段MN折疊，點A、B對應(yīng)點為A'、B'，線段A'B'與邊BC交于點A．60° B．75° C．70° D．80°【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由折疊可得∠B'=∠B=90°，∠MNB=∠MNB'，由對頂角相等得到∠NPB'【詳解】解：由折疊可得，∠B'=∠B=90°∵∠A∴∠NPB∴∠B∴2∠BNM=180°+20°，∴∠BNM=100°，∴∠MNC=180°-∠BNM=180°-100°=80°，故選：D．類型三、設(shè)計軸對稱圖形7．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）僅使用無刻度的直尺作圖，找出下面三圖中直線l上的點P，使得點P到A、B兩點距離之和最?。?請保留作圖痕跡)【答案】見解析【分析】本題主要考查了軸對稱變換—最短距離問題．作點B關(guān)于直線l的對稱點，再根據(jù)兩點之間，線段最短，即可求解．【詳解】解：如圖，點P即為所求．8．（19-20八年級上·江蘇南京·期中）[學(xué)科素養(yǎng)·幾何直觀]如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，有一個以格點為頂點的△ABC．(1)作△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形△A(2)求△ABC的面積；(3)在l上畫出點Q，使得QA+QC的值最小．【答案】(1)見解析(2)13(3)見解析【分析】（1）本小問考查作圖之軸對稱變換，分別作出A、B、C關(guān)于直線l的對應(yīng)點，依次連接對應(yīng)點，即可解題．（2）本小問可利用割補法求三角形面積．（3）本小問考查利用“將軍飲馬”模型求線段和最小值，靈活掌握該模型即可解題．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖所示，△ABC的面積等于矩形的面積減去①、②、③三個三角形的面積，即S△ABC（3）解：如圖，點Q即為所求．9．（20-21八年級上·湖北武漢·期末）在如圖所示的5×5的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A、B、C均在格點上．（1）如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A（2）如圖2，在直線m上作一點P，使△ACP的周長最?。▋H用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，請作出格點△ABC邊AC上的高BE（僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點直接作出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A'（2）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點作點A關(guān)于直線m對稱點A″，連接A″C，交m于點P，點（3）構(gòu)造△ACD≌△BFG，延長AC交BF于點E，則BE即為所求．【詳解】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點直接作出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A'B（2）作點A關(guān)于直線m對稱點A″，連接A″C，交m于點P則△ACP的周長=AC+CP+PA=AC+PC+P∴點P即為所求（3）延長AC交BF于點E，則BE即為所求，如圖所示：∵∠ADC=∠BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1∴△ACD≌△BFG∴∠CAD=∠FBG∵∠BCE=∠ACD∴∠BEC=∠ADC=90°∴BE⊥AC．BE即為所求△ABC邊AC上的高．【點睛】本題考查了網(wǎng)格作軸對稱圖形，兩點之間線段最短，三角形的高的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．類型四、軸對稱與坐標(biāo)對稱問題10．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點△ABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為-4，5、-1，3，先作△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B(1)請在圖中正確作出平面直角坐標(biāo)系；(2)畫出△A1B【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系，軸對稱圖形的作圖，圖形平移的作圖，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)A、C兩點的坐標(biāo)，可推得坐標(biāo)原點的位置，由此即可作出圖形；（2）根據(jù)軸對稱圖形的作法，分別作點A，B，C關(guān)于y軸的對稱點A1，B1，C1，連結(jié)A1B1，B1C1，C1A1；作出點A1，B1，C1【詳解】（1）如圖即為所求作的平面直角坐標(biāo)系；（2）如圖，△A1B11．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A2,-1、B1,-2(1)將△ABC向上平移4個單位長度得到△A1(2)請畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△(3)點A1的坐標(biāo)為，點A2的坐標(biāo)為(4)若Pa,-b是△ABC內(nèi)一點，按照（1）（2）操作后點P1的坐標(biāo)為，點P2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)(2,3)，(-2,-1)(4)a,4-b，-a,-b【分析】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（2）直接利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（3）利用所畫圖象得出對應(yīng)點坐標(biāo)；（4）利用（1）、（2）中的坐標(biāo)變換規(guī)律確定點P1及P【詳解】（1）解如圖所示：△A（2）解：如圖所示：△A（3）解：A1(2,3)，故答案為：(2,3)，(-2,-1)（4）解：Pa,-b是△ABC內(nèi)一點，按照（1）操作后點P1的坐標(biāo)為a,4-b，按照（2）操作后點P2故答案為：a,4-b，-a,-b12．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A1,1，B4,2，(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(2)在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，并求出△PAB的面積．【答案】(1)詳見解析(2)S△PAB【分析】本題考查了坐標(biāo)的對稱問題，線段和最小作圖計算，分割法計算三角形的面積，熟練掌握對稱點坐標(biāo)的計算，正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)縱不變，橫相反，計算坐標(biāo)，并畫圖即可．（2）根據(jù)點A關(guān)于y軸的對稱點A1，連接A1B，交y軸于點P【詳解】（1）∵△A1B1CA1,1∴A1則△A（2）根據(jù)點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，交x則點P即為所求．根據(jù)題意，得S△PAB類型五、軸對稱與最值問題13．（22-23八年級上·江蘇淮安·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，點P、Q分別是邊BC、AC

A．4 B．245 C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得AB=6，作A關(guān)于BC的對稱點A'，過點A'作A'Q⊥AC，交AC于點Q，交BC于點P，根據(jù)對稱可得：AP+PQ=A'P+PQ≥A'【詳解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB=作A關(guān)于BC的對稱點A'，過點A'作A'Q⊥AC，交AC于點Q，交

∵AP+PQ=A∴當(dāng)A',P,Q三點共線時，∵垂線段最短，∴A'Q⊥AC時，連接A'∵A,A'關(guān)于∴A'∴AA∵A'Q⊥AC∴S△ACA'∴A'故選D．【點睛】本題主要考查利用軸對稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構(gòu)造軸對稱解決線段和最小是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，∠AOB=20°，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則β-α的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．10° D．60°【答案】B【分析】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理.三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.作M關(guān)于OB的對稱點M'，N關(guān)于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，可得【詳解】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M'，N關(guān)于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ∴∠QPN=1∴180°-α=40°+180°-β∴β-α=40°，故選:C15．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，AE=2BD．以DE為邊向右作等邊△DEF，則AF+BF的最小值為（

）A．4 B．42 C．43 D【答案】C【分析】先作輔助線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到邊長之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形全等，得到角度的關(guān)系，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得到最值．【詳解】解：作EH⊥AB于點H，作射線CF，則∠DHE=∠AHE=90°，∵△ABC和△DEF都是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=∠DEF=60°，AC=AB=BC,EF=DE，∴∠CEF=180°-∠DEF-∠AED=120°-∠AED，∠HDE=180°-∠BAC-∠AED=120°-∠AED，∴∠CEF=∠HDE，∴∠AEH=90°-∠BAC=30°，∴AE=2AH，∵AE=2BD，∴AH=BD，∴CE=AC-AE=AC-2AH,HD=AB-AH-BD=AC-2AH，∴CE=HD，在△CEF和CE=HD∠CEF=∠HDE∴△CEF≌△HDESAS∴∠ECF=∠DHE=90°，∴CF⊥AC，∴點F在經(jīng)過點C且與AC垂直的直線上運動，作BL⊥AB交AC的延長線于點L，則∠ABL=90°，∴∠ALB=90°-∠BAC=30°，∴∠CBL=∠ACB-∠ALB=30°，∴∠ALB=∠CBL，∴LC=BC=AC，∴點L與點A關(guān)于直線CF對稱，∴LF=AF，∵LF+BF≥BL，∴AF+BF≥BL，∵AB=AC=BC=4，∴AC=LC=BC=4，∴AL=2AC=8，∴BL=A∴AF+BF≥43∴AF+BF的最小值為43故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，靈活運用知識是解題的關(guān)鍵．類型六、角平分線的性質(zhì)16．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分線．若BC=10，AC=8，則CDA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=AD，證明Rt△ABD≌Rt△EBD【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點F，∵BC=10，AC=8，∴AB=B∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt△EBDBD=BDAD=DE∴Rt△ABD∴AB=BE=6，∴CE=BC-BE=4，設(shè)CD=x，則AD=DE=8-x，∵CD∴x2∴x=5，∴CD=5，故選：B．17．（23-24八年級上·江蘇淮安·期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BA、BC于M、N兩點，分別以M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，畫射線BP交AC于點A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點D作AB的垂線DE⊥AB，BC的垂線DF⊥BC，由角平分線定理得出DE=DF，再由三角形面積公式計算即可得到答案．【詳解】解：過點D作AB的垂線DE⊥AB，BC的垂線DF⊥BC，根據(jù)題意可得BP是∠ABC的角平分線，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵△ABD的面積為9，即12∴DE=DF=3，∴S故選C．18．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若AC=a，AD=b，則△DEB的周長為．【答案】b+a/a+b【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角，熟練掌握角平分線、等腰直角三角的性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用，等量代換是解題關(guān)鍵，先根據(jù)角平分線性質(zhì)定理證明AD=DE=b，再根據(jù)等要直角三角形的性質(zhì)求出∠B=45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDE=45°，進一步推BE=DE=b，從而求出△DEB的周長．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=DE=b，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°，∴∠BDE=45°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE=b，∵AB=AC=a，∴=AD+BD+BE=AB+BE=b+a，故答案為：b+a．類型七、線段垂直平分線的性質(zhì)19．（22-23八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE=4，EC=2

【答案】6【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=AE=4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EB=AE=4，∴BC=BE+EC=4+2=6，故答案為：6．20．（23-24八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E為AD邊的垂直平分線上一點，連接BE．把BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得BF，連接CF，則△FBC的面積為．【答案】14/【分析】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．證明△BFC≌△AEB，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)AD與AD邊的垂直平分線交點為點F，連接CF,AE，則AF=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=1,∠ABC=90°，∴∠EBF=90°,BE=BF，∴∠1=∠3=90°-∠2，∴△BFC≌△AEBSAS∴S△BFC故答案為：1421．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AB，AC于點D，E，連接CD，若△ABC的周長為122【答案】6【分析】此題考查了線段垂直平分線的作圖和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等角對等邊等知識．依次證明AE=CE=12AC，DC=BD=DA=【詳解】解：由作圖可知，DE垂直平分AC，∴DA=DC，AE=CE=∴∠A=∠ACD，∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠B，∴DC=BD=DA=1∵AE=CE，∴DE=1∴△CDE的周長=EC+DE+DC====6故答案為：6類型八、等腰三角形的性質(zhì)22．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）等腰三角形的一個內(nèi)角是40°，則它頂角的度數(shù)是（

）A．40° B．40°或100° C．40°或120° D．80°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．分40°角是頂角與底角兩種情況討論求解．【詳解】解：40°角是頂角時，三角形的頂角為40°；40°角是底角時，頂角為180°-40°×2=100°，綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為40°或100°．故選：B23．（23-24八年級上·江蘇·期末）等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，它的一腰上的高與底邊的夾角是（

）．A．65° B．40° C．25° D．25°或40°【答案】D【分析】此題主要考查了學(xué)生的三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，題中沒有指明該角是頂角還是底角，則應(yīng)該分情況進行分析，從而得到答案．【詳解】當(dāng)?shù)捉鞘?0°時，則它一腰上的高與底邊的夾角是90°-50°=40°；當(dāng)頂角是50°時，則它的底角就是12180°-50°=65°故選：D．24．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在三角形紙片ABC中，AC=BC．把△ABC沿著AC翻折，點B落在點D處，連接BD．若∠BAC=40°，則∠CBD的度數(shù)為（

）A．9° B．10° C．20° D．30°【答案】B【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，等腰三角形性質(zhì)的熟練應(yīng)用．由AC=BC，∠BAC=40°，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由折疊的性質(zhì)，求得∠ABD的度數(shù)，繼而求得∠CBD的度數(shù)．【詳解】解：∵AC=BC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠BAC=40°，由折疊的性質(zhì)可得：∠CAD=∠BAC=40°，AB=AD，∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=80°，∴∠ABD=1∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=10°．故選：B．類型九、等邊三角形的性質(zhì)25．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，∠MON=30°，點A1，A2，A3…在射線ON上，點B1，B2，B3…在射線OM上，△A1B1A2A．2024 B．4042 C．22023 D．【答案】D【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定及其性質(zhì)，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B1A1A2=60°【詳解】解：∵△A∴∠B∴∠OB∴∠OB∴A1同理可得A2B2∴△A2023B故選：D．26．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，D為邊AC上的三等分點，則BD的長為()A．5 B．42 C．27 D【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理：先運用勾股定理求出AC邊上的高BH，進而根據(jù)勾股定理建立BD=B【詳解】解：過點B作BH⊥AC，如圖所示：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形∴AC=6∵D為邊AC上的三等分點，BH⊥AC∴AD=2那么BH在Rt△BHD中，故選：C27．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，∠AOB＝90°，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交∠AOB兩邊于點A、B，再以點A為圓心，OA長為半徑畫弧，交弧AB于點C，作射線OC，則A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意得出△ABC為等邊三角形，從而得出∠AOC的度數(shù)，再利用角度和差即可求解．【詳解】解：∵用圓規(guī)以直角頂點O為圓心，以適當(dāng)半徑畫一條弧交兩直角邊于A、B兩點，∴OA=OB，∵以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與弧AB交于點C，∴OA=AC，∴OA=OB=OC=AC，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=90°-∠AOC=30°，故選：B．類型十、角平分線與線段垂直平分線的計算問題28．（21-22八年級上·江蘇無錫·期末）已知：如圖所示△ABC．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠BAC的平分線和BC的垂直平分線，它們的交點為D．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若AB=15，AC=9，過點D畫DE⊥AB，則BE的長為．（如需畫草圖，請使用備用圖）【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，角平分線，三角形全等的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)點D到邊AB、AC的距離相等，即點D在∠BAC的角平分線上，又根據(jù)DB=DC，即點D在線段BC的垂直平分線上，所以，點D為∠BAC的角平分線與線段（2）過點點D作DE⊥AB交AB于點E，過點D作DF⊥AC交AC于點F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD，證明Rt△BDE≌Rt△CDFHL，再證Rt△ADE≌Rt△ADF【詳解】（1）解：如圖，點D即為所求，（2）解：如圖，過點作DE⊥AB交AB于點E，過點D作DF⊥AC交AC于點F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD,DE=DF，在Rt△BDE與RtBD=CDDE=DF∴Rt△BDE∴BE=CF，在Rt△ADE與RtAD=ADDE=DF∴Rt△ADE∴AE=AF，∴BE=CF=AB-AE=AB-AC+CF，即BE=AB-AC-BE∴BE=AB-AC∵AB=15，AC=9，∴BE=15-9故答案為：3．29．（19-20八年級上·江蘇無錫·期末）如圖，已知△ABC(AB<AC<BC)，請用無刻度直尺和圓規(guī)（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(1)在邊BC上找一點M，使得：將△ABC沿著過點M的某一條直線折疊，點B與點C能重合；(2)在邊BC上找一點N，使得：將△ABC沿著過點N的某一條直線折疊，點B能落在邊AC上的點D處，且ND⊥AC，請在圖②中作出點N．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是熟練翻折的性質(zhì)．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可在邊BC上找一點M，使得：將△ABC沿著過點M的某一條直線折疊，點B與點C能重合；（2）延長CB至G，作∠CBG的平分線，得過點B的垂線n，延長CA交n于點E，作∠BEC的角平分線交BC于點N，過點N作AC的垂線m交AC于點D即可．【詳解】（1）解：如圖1所示：點M即為所求作的點；（2）如圖2所示：點N即為所求作的點．作圖如下：延長CB至G，作∠CBG的平分線，得過點B的垂線n，延長CA交n于點E，作∠BEC的角平分線交BC于點N，過點N作AC的垂線m交AC于點D．30．（22-23八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°．(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線DE，交AB、BC于點E、D．（保留作圖的痕跡，不寫作法）(2)在（1）條件下，若AC=3，BC=4，①求DE長；②連接AD，判斷∠CAD和∠BAD的大小，并解釋你的觀點．【答案】(1)見解析(2)①DE=158；②【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法解答即可；（2）①連接DB，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，設(shè)CD=x，然后在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可建立關(guān)于x②作∠CAB的平分線AF，交BC于點F，由勾股定理求出CF，可得CD＜CF，從而證明【詳解】（1）解：如圖1，直線DE就是所求作的垂直平分線．（2）①如圖1，連接AD，設(shè)CD為x，則BD為4-x．在Rt△ACD中，∠C=90°，32+∴DA=DB=4-7在Rt△BDE中，∠BED=90°∴DE∴DE=15②∠CAD＜∠BAD如圖1，作∠CAB的平分線AF，交BC于點F，作FG⊥AB．∵AF平分∠CAB，F(xiàn)G⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，∴FC=FG，設(shè)FC為y，則FG=FC=y．BF=4-y．在Rt△BGF中，22+∵CD＜∴∠CAD＜∴∠CAD＜【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)以及勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識，屬于常考題型，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．類型十一、角平分線與線段垂直平分線的作圖31．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AC的垂直平分線交CB于點D，連接AD．(1)判斷△ABD的形狀，并說明理由；(2)過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若△ABD的周長是10，求CE的長．【答案】(1)等腰三角形，理由見解析(2)CE=5【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD，所以∠C=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ADB=2∠C，再根據(jù)∠B=2∠C，所以∠ADB=∠B，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等于三角形三線合一的性質(zhì)得DE=BE，所以AD+DE=5，所以CE=CD+DE=AD+DE=5．【詳解】（1）△ABD為等腰三角形，理由：∵AC的垂直平分線交CB于點D，∴AD=CD，∴∠C=∠CAD，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AD=AB，∴△ABD為等腰三角形；（2）∵AE⊥BD，∴DE=BE，∵△ABD的周長是10，∴AD+DE=5，∴CE=CD+DE=AD+DE=5．32．（22-23八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求證DE=1【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據(jù)AAS可證ΔDCE≌（2）過點C作CH⊥BD于點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再證明∠ACD=∠DCH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DH，進一步即可得證．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，∵∠A=45°，∴∠ABF=45°，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，∴∠FBC=∠DCE，在△DCE和△CBF中，∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBC∴△DCE≌△CBF(AAS（2）證明：過點C作CH⊥BD于點H，如圖所示：∵BC=CD，∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FBC=∠DCE，∴∠BCD=∠ABF=45°，∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°，∴∠ACD=67.5°-45°=22.5°，∴∠ACD=∠DCH，∵DE⊥AC，CH⊥BD，∴DE=DH，∴DE=1【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（22-23八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1

(1)求證：點O在∠BAC的平分線上；(2)連接OA，若AB=BC=5，BO=154，【答案】(1)證明見解析；(2)2120【分析】（1）過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到（2）如圖所示，連接AO，根據(jù)三線合一定理得到BO⊥AC，由此推出B、O、E三點共線，設(shè)OE=x，則BE=x+154，由勾股定理建立方程25-x+154本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，三線合一定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為∵∠ACB、∠ABC的平分線l1∴OD=OF，∴OD=OE，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴點O在∠BAC的平分線上；

（2）解：如圖所示，連接OA，∵AB=BC，BO平分∠ABC，∴BO⊥AC，∵OE⊥AC，∴B、設(shè)OE=x，則BE=BO+OE=x+15在Rt△ABE中，AE2在Rt△OAE中，AE2∴25-x+解得x=21∴OE=21∴點O到三角形三條邊的距離是2120故答案為：2120

類型十二、等腰三角形的性質(zhì)與判定34．（22-23八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，在邊AB上截取BD=BC，連接CD，過點D作DE⊥AB交AC于點E．(1)求證：DE=CE；(2)若∠A=30°，AC=6，則CD=______．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由等邊對等角可得∠BCD=∠BDC，且∠BCD+∠ACD=90°，∠EDC+∠BDC=90°，即可得到∠ECD=∠EDC，再由等角對等邊即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BC=12AB，∠B=90°-30°=60°，根據(jù)勾股定理得出BC2+6【詳解】（1）證明：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵DE⊥AB，∴∠EDC+∠BDC=90°，∴∠ACD=∠EDC，∴CE=DE；（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴BC=12AB根據(jù)勾股定理得：BC∴BC解得：BC=23∵BD=BC，∠B=60°，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=23【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．35．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）已知：如圖，銳角△ABC中，CD、BE分別是邊AB、AC上的高，M、N分別是線段DE、BC的中點．(1)求證：MN⊥DE；(2)連接DN、EN，猜想∠A與∠DNE之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠DNE=180°-2∠A，理由見解析【分析】（1）根據(jù)CD、BE分別是AB、AC邊上的高，可得△BDC和△BCE都是直角三角形，又因為點N是BC邊上的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DN=EN，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可證；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：△DNB和△CNE都是等腰三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠BND+∠CNE=2∠A，根據(jù)平角的定義可得∠DNE=180°-∠BND+∠CNE，等量代換【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接DN、EN，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，在Rt△BDC和Rt△BEC中，點N是斜邊∴DN=12BC∴DN=EN，△NDE是等腰三角形，∵點M為底邊DE的中點，∴MN⊥DE．（2）解：∠DNE=180°-2∠A．理由如下：在中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由（1）可知DN=EN=BN=CN，∴∠ABC=∠NDB，∠ACB=∠NEC，∴∠BND=180°-2∠ABC，∠CNE=180°-2∠ACB，∴∠BND+∠CNE=360°-2∠ABC+∠ACB∵∠DNE=180°-∠BNE+∠CNE∴∠DNE=180°-2∠A．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線三線合一．36．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若△ABC的周長為25，AB=8，GC=2BG，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)AE=6【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結(jié)合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明為等腰三角形；（2）通過證明△AFE≌△CFG，求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AE∥∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵△ABC的周長=25，AB=AC=8∴BC=9，∵GC=2BG，∴BG=3，CG=6，∵F是AC的中點，∴AF=CF．∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE．在△AFE和△CFG中，∠C=∠CAEAF=CF∴△AFE≌△CFGASA∴AE=CG=6．類型十三、等邊三角形的性質(zhì)與判定37．（21-22八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于點D，AE⊥AC交BC于點E．求證：△ADE是等邊三角形．

【答案】見解析【分析】先求出∠B=∠C=30°，再根據(jù)垂直的定義得出∠BAD=∠CAE=90°，進而得出∠ADB=∠AEC=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠EAD=60°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-60°-60°=60°，∴△ADE是等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵在于能夠熟記等邊三角形的判定方法．38．（22-23八年級上·江蘇常州·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點連接DF、(1)求證：DF=EF；(2)連接DE，若AC=2，ED=1．①判斷△DEF的形狀，并說明理由；②BDAB=【答案】(1)見解析；(2)①等邊三角形，見解析；②12【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證（2）①由（1）EF、DF求出長度都為1，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理可求∠B=60°，在用“直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【詳解】（1）證明：CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC=90°，∠ADC=90°，∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°，F(xiàn)是AC∴EF=1∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，F(xiàn)∴DF=1∴EF=DF．（2）解：①等邊三角形，理由如下：由（1）知，EF=DF=1∵ED=1，∴ED=EF=DF，∴△DEF是等邊三角形．②解：由（1）得EF=AF∴∠AEF=∠EAF，同理可證：∠CDF=∠DCF，∵△DEF是等邊三角形，∴∠BED+∠AEF=120°，∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED+∠EAF=120°，

∠BDE+∠DCF=120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF=240°，∵∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴∠BED+∠BDE=180°-∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF=180°，∵∠EAF+∠DCF=180°-∠B，∴180°-∠B+180°-∠B=240°，∴∠B=60°，∴在Rt△ADB中，∠BAD=30°∴AB=2∴BD故答案為12【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形中相關(guān)基本性質(zhì)的綜合運用及等邊三角形判斷問題，掌握并熟練應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．39．（22-23八年級上·江蘇揚州·期末）已知等邊△ABC，D為AC中點，延長BC至E，使CE=CD．(1)△BDE的形狀為；圖中有個等腰三角形；(2)若DM⊥BE于M（圖中未畫出），MCME【答案】(1)等腰三角形，3(2)1【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC；然后運用等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)可得∠CDE=∠E=30°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠DBC=30°，即∠DBC=∠E；進而得到BD=DE，即可判定△BDE的形狀；根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合圖形即可確定等腰三角形的個數(shù)．（2）由直角三角形的性質(zhì)可得DM=12DE，再運用勾股定理可得ME=【詳解】（1）解：∵等邊△ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠CDE=∠E=30°，∵D為AC中點，AB=BC,∴∠DBC=1∴∠DBC=∠E,∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形；圖中等腰三角形有：△ABC、△DCE、△BDE共3個．故答案為：等腰三角形，3．（2）解：如圖：∵MC⊥BE,∠DBC=30°，BD=DE，∴DM=12BD=∴ME=BM=B∵MD⊥BE,∠DCM=60°，∴∠MDC=30°，∴MC=1∵DM=DC2∴MCME類型十四、等腰（等邊）三角形的綜合問題40．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）已知AD為等邊△ABC的角平分線，動點E在直線AD上（不與點A重合），連接BE．以BE為一邊在BE的下方作等邊△BEF，連接CF．(1)如圖1，若點E在線段AD上，且DE=BD，則∠CBF=______度．(2)如圖2，若點E在AD的反向延長線上，且直線AE，CF交于點M．①求∠AMC的度數(shù)；②若△ABC的邊長為4，P，Q為直線CF上的兩個動點，且PQ=5．連接BP，BQ，判斷△BPQ的面積是否為定值，若是，請直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)15；(2)①∠AMC=60°；②是，5【分析】此題考查手拉手全等模型，和等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過全等證明角度相等，推出特殊角度的三角形，將面積用公式用底和高表示出來，直接求高然后代值判斷即可．（1）已知等邊三角形，推論出等腰直角三角形，直接計算即可．（2）①通過手拉手模型證明全等推出等角即可；②已知底邊求面積，推出高的值即可，聯(lián)系第①問中的角度，直接推理出30°的直角三角形，代值計算即可．【詳解】（1）解：∵AD為等邊△ABC的角