2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-9.2用樣本估計(jì)總體9．2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)[目標(biāo)]1.學(xué)會(huì)用頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)；2.能通過(guò)頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計(jì)．[重點(diǎn)]頻率分布直方圖的畫(huà)法.[難點(diǎn)]頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)總體的估計(jì)．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)頻率分布直方圖[填一填]1．頻率分布直方圖的繪制(1)求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．(2)確定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)越多，當(dāng)樣本量不超過(guò)100時(shí)，常分為5～12組．(3)將數(shù)據(jù)分組．(4)列頻率分布表，計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表．(5)畫(huà)頻率分布直方圖．其中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比．2．頻率分布直方圖的意義頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.[答一答]1．如何確定組距？提示：組距的選擇應(yīng)力求“取整”，假如極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除)，可適當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍(盡量使兩端增加的量相同)．2．頻率分布直方圖中長(zhǎng)方形的面積有什么含義？提示：在頻率分布直方圖中，由于長(zhǎng)方形的面積S＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組上的頻率的大小.典例講練破題型類型一頻率分布概念的理解[例1]一個(gè)容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在[10,40)上的頻率為()A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64[分析]依據(jù)落在各組的頻數(shù)即可計(jì)算相應(yīng)的頻率．[解析]由題意可知頻數(shù)在[10,40)的有13＋24＋15＝52(個(gè))，所以頻率為eq\f(52,100)＝0.52.[答案]C[變式訓(xùn)練1]容量為100的某個(gè)樣本，數(shù)據(jù)拆分為10組，并填寫(xiě)頻率分布表，若前七組頻率之和為0.79，而剩下的三組的頻率從小到大依次相差0.05，則剩下的三組中頻率最大的一組頻率為0.12.解析：設(shè)剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為x，則另兩組的頻率分別為x－0.05，x－0.1，而由頻率和為1得0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12.類型二頻率分布直方圖的繪制[例2]為了解中學(xué)生的身高狀況，對(duì)某中學(xué)同齡的50名男生的身高進(jìn)行了測(cè)量，結(jié)果如下(單位：cm)：175168170176167181162173171177171171174173174175177166163160166166163169174165175165170158174172166172167172175161173167170172165157172173166177169181(1)列出頻率分布表；(2)繪制頻率分布直方圖．[解]極差為181－157＝24，將樣本數(shù)據(jù)分成7組，組距為4.(1)列頻率分布表如下.分組頻數(shù)頻率[156.5,160.5)30.06[160.5,164.5)40.08[164.5,168.5)120.24[168.5,172.5)130.26[172.5,176.5)130.26[176.5,180.5)30.06[180.5,184.5)20.04合計(jì)501(2)繪制頻率分布直方圖如圖．繪制頻率分布直方圖應(yīng)留意的問(wèn)題(1)在列出頻率分布表后，畫(huà)頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小長(zhǎng)方形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一樣的，合理的定高方法是“找一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“eq\f(頻率,組距)”來(lái)定高．假如我們預(yù)先定以“”為1個(gè)單位長(zhǎng)度，代表“0.1”，則若一個(gè)組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長(zhǎng)度)，依此類推．(2)在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本量，頻率之和為1.[變式訓(xùn)練2]一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布狀況，在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗，量得長(zhǎng)度如下(單位：cm)：6．56.46.75.85.95.95.24.05.44.65．85.56.06.55.16.55.35.95.55.86．25.45.05.06.86.05.05.76.05.56．86.06.35.55.06.35.26.07.06.46．45.85.95.76.86.66.06.45.77.46．05.46.56.06.85.86.36.06.35.65．36.45.76.76.25.66.06.76.76.05．66.26.15.36.26.86.64.75.75.75．85.37.06.06.05.95.46.05.26.06．35.76.86.14.55.66.36.05.86.3依據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6.35cm之間的麥穗所占的百分比．解：(1)計(jì)算極差：7.4－4.0＝3.4.(2)確定組距與組數(shù)：若取組距為0.3，因?yàn)閑q\f(3.4,0.3)≈11.3，需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0.3，組數(shù)為12.(3)確定分點(diǎn)：使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點(diǎn)略微減小一點(diǎn)，那么所分的12個(gè)小組可以是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.(4)列頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合計(jì)1001.00(5)繪制頻率分布直方圖如圖：從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75～6.35之間的頻率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估計(jì)，在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6.35cm之間的麥穗約占41%.類型三頻率分布直方圖的應(yīng)用[例3]從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下：組號(hào)分組頻數(shù)1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18]2合計(jì)100(1)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(2)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組(只需寫(xiě)出結(jié)論)．[分析]由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需駕馭下列關(guān)系式：(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本量，樣本量×頻率＝頻數(shù)．[解](1)課外閱讀時(shí)間落在[4,6)組內(nèi)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時(shí)間落在[8,10)組內(nèi)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.(2)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組．在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本量，頻率之和等于1.[變式訓(xùn)練3]為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能狀況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為24171593，其次小組的頻數(shù)為12.(1)其次小組的頻率是多少？樣本量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？解：(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來(lái)反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此其次小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因?yàn)槠浯涡〗M的頻率＝eq\f(其次小組的頻數(shù),樣本量)，所以樣本量＝eq\f(其次小組的頻數(shù),其次小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由題中直方圖可估計(jì)該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．從一堆蘋果中任取10個(gè)，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5,124.5)內(nèi)的頻率為(C)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5解析：在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134這10個(gè)數(shù)字中，落在[114.5,124.5)內(nèi)的有116,120,120,122，共4個(gè)，∴樣本數(shù)據(jù)在[114.5,124.5)內(nèi)的頻率為0.4.故選C.2．從一群學(xué)生中抽取一個(gè)肯定容量的樣本對(duì)他們的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行分析，已知不超過(guò)70分的人數(shù)為8，其累計(jì)頻率為0.4，則這個(gè)樣本量是(A)A．20 B．40C．70 D．80解析：由已知不超過(guò)70分的人數(shù)為8，累計(jì)頻率為0.4，則這個(gè)樣本量n＝eq\f(8,0.4)＝20.故選A.3．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為(B)A．20 B．30C．40 D．50解析：樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.4．一個(gè)頻數(shù)分布表(樣本量為50)不當(dāng)心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)內(nèi)的頻率為0.6，則估計(jì)樣本在[40,50)，[50,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和是21.解析：依據(jù)題意，設(shè)分布在[40,50)，[50,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別為x，y.∵樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)內(nèi)的頻率為0.6，樣本量為50，∴eq\f(4＋5＋x＋y,50)＝0.6，解得x＋y＝21.即樣本在[40,50)，[50,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和為21.5．如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率；(2)求樣本量；(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)．解：由題中樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(1)由題中樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f(4,25).(2)∵樣本在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8，由(1)可知，樣本量為eq\f(8,\f(4,25))＝8×eq\f(25,4)＝50.(3)∵在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06，故樣本在[15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8，故在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.——本課須駕馭的三大問(wèn)