中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專題04 一次方程（組）【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題04一次方程（組）一、一元一次方程一元一次方程概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù)，且a≠0).解法解法依據(jù)是等式的基本性質(zhì).性質(zhì)①：若a=b，則a±m(xù)=b±m(xù)；性質(zhì)②：若a=b，則am=bm；若a=b，則SKIPIF1<0(d≠0).解法的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.二、二元一次方程（組）二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．二元一次方程組定義形如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是二元一次方程組解法代入法解二元一次方程組的一般步驟：從方程組中任選一個(gè)方程,將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái);將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程,消去一個(gè)未知數(shù),得到含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程;解這個(gè)一元一次方程,求出一個(gè)未知數(shù)的值;d.將所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個(gè)未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.加減法解二元一次方程組的一般步驟:a.方程組的兩個(gè)方程中,如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊,使它們中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);b.把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程;c.解這個(gè)一元一次方程;d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中,求出另一個(gè)未知數(shù),從而得到方程組的解.三、方程的運(yùn)用常見(jiàn)運(yùn)用題型解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.工作(或工程)問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問(wèn)題:s甲+s乙=s總;追及問(wèn)題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程;(異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=賣價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=SKIPIF1<0×100%.數(shù)字問(wèn)題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字分配問(wèn)題等【考點(diǎn)1】等式性質(zhì)【例1】（2022·山東濱州）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：SKIPIF1<0去分母得SKIPIF1<0，那么其變形的依據(jù)是（

）A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0去分母得SKIPIF1<0，其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，故選：B．運(yùn)用等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)（1）等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算.（2）等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子.（3）等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母.1．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）已知等式SKIPIF1<0，則下列式子中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、若a=b，則SKIPIF1<0，故原題說(shuō)法正確，不符合題意；B、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故原題說(shuō)法正確，不符合題意；C、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故原題說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故原題說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C2．（2022·河北保定·七年級(jí)期末）已知SKIPIF1<0是有理數(shù)（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0 B．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0C．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0 D．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.如果SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，那么SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.如果SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，那么SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B3．（2022·湖北十堰·七年級(jí)期末）設(shè)x，y，c是有理數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：A、錯(cuò)誤．c≠0時(shí)，等式不成立；B、正確；C、錯(cuò)誤．c＝0時(shí)，不成立；D、錯(cuò)誤．應(yīng)該是：若SKIPIF1<0，則3x＝2y；故選：B．4．下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么acC．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：A、如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d，正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、如果a＝b，那么acC、如果x＝3，那么x2＝3x，正確，故選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)x＝0時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)符合題意；故選：D．【考點(diǎn)2】一次方程（組）概念與解法【例2】解方程：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】運(yùn)用解一元一次方程的一般方法解答，解一元一次方程的一般方法步驟包括：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，原方程式的解為SKIPIF1<0．【詳解】解：去分母，得：SKIPIF1<0，去括號(hào)，得：SKIPIF1<0，移項(xiàng)，得：SKIPIF1<0，合并同類項(xiàng)，得：SKIPIF1<0，系數(shù)化為1，得：SKIPIF1<0，所以原方程式的解為SKIPIF1<0．【例3】（2021·廣東）二元一次方程組SKIPIF1<0的解為．【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0，由①式得：SKIPIF1<0，代入②式，得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0代入①式，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故填：SKIPIF1<0．1．解一元一次方程的基本步驟.①去分母，②去括號(hào)，③移項(xiàng)，④合并同類項(xiàng)，⑤系數(shù)化為1.2．解二元一次方程組關(guān)鍵在于熟練掌握用消元法和代入法3．解二元一次方程組的方法選擇當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時(shí)，選用代入消元法；當(dāng)方程組中某一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，選用代入消元法；方程組中同一個(gè)知數(shù)的數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用加減消無(wú)法（4）當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，選用加減消元法1．（2022·福建三明·八年級(jí)期末）下面各組數(shù)值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】把各選項(xiàng)的值代入方程驗(yàn)算即可．【詳解】解：A、2x+y=-4+6=2≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；B、2x+y=12-2=10，故該選項(xiàng)符合題意；C、2x+y=8+3=11≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；D、2x+y=-6+4=-2≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2022·河南·南陽(yáng)市第三中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足方程組SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)方程中未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，把兩個(gè)方程相加即可求得結(jié)果的值．【詳解】方程組中的兩個(gè)方程相加得：3a+3b=12即3(a+b)=12∴a+b=4故選：D3．（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）已知方程組SKIPIF1<0的解滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】①+②得出x+y的值，代入x＋y＝1中即可求出k的值．【詳解】解：SKIPIF1<0①+②得：3x+3y＝4+k，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故選：D4．（2022·浙江臺(tái)州）解方程組：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可；【詳解】SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入①，得SKIPIF1<0．∴原方程組的解為SKIPIF1<0．【考點(diǎn)3】含參方程【例4】已知SKIPIF1<0是二元一次方程kx＋4y＝7的一個(gè)解，則k＝（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】把SKIPIF1<0代入二元一次方程，解方程即可求得．【詳解】解：將x=1，y=1代入方程得：k+4=7，解得：k=3．故選：B．【例5】（2021·重慶·七年級(jí)階段練習(xí)）在解方程組由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組SKIPIF1<0中的a，得到的解為SKIPIF1<0，乙看錯(cuò)了方程組中的b，得解SKIPIF1<0，則原方程組中的正確的解為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得到關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程組，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，然后將SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值代入原方程組解之即可．【詳解】解：將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原方程組為SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故選：C．1．（2020·江西·新余四中七年級(jí)期中）若方程SKIPIF1<0的解與關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解相同，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】先解方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，根據(jù)同解方程的定義把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后解關(guān)于SKIPIF1<0的一元一次方程即可．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．2．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)八年級(jí)期末）若SKIPIF1<0是關(guān)于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一個(gè)解，則SKIPIF1<0的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．將方程的解代入方程可得關(guān)于a的一元一次方程，從而可求出a的值．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是關(guān)于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一個(gè)解，∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故選B3．（2021·山東濱州·二模）已知關(guān)于x、y的方程組SKIPIF1<0的解滿足x+y=5，則k的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】首先解方程組，利用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，然后代入SKIPIF1<0，即可得到一個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求得SKIPIF1<0的值．【詳解】解：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選SKIPIF1<0．4．（2022·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）若關(guān)于x、y的二元一次方程SKIPIF1<0的解，也是方程SKIPIF1<0的解，則m的值為（

）A．-3 B．-2 C．2 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【分析】將m看作已知數(shù)值，利用加減消元法求出方程組的解，然后代入SKIPIF1<0求解即可得．【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入①可得：3m+2y=5m，解得：SKIPIF1<0，∴方程組的解為：SKIPIF1<0，∵方程組的解也是方程SKIPIF1<0的解，代入可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C．5．（2022·甘肅酒泉·八年級(jí)期末）如果關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的解相同，則SKIPIF1<0的值（

）A．1 B．2 C．－1 D．0【答案】A【分析】將含有x、y的方程組成方程組求出解，代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，由此得到答案．【詳解】解：解方程組SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入方程組SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=1，故選：A．【考點(diǎn)4】方程運(yùn)用1：工程問(wèn)題【例6】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）一項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要16天．甲工程隊(duì)單獨(dú)施工5天后，為加快工程進(jìn)度，又抽調(diào)乙工程隊(duì)加入該工程施工，問(wèn)還需多少天可以完成該工程？如果設(shè)還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】設(shè)還需x天可以完成該工程，該工程為單位1，根據(jù)題意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=單位1，據(jù)此列方程．【詳解】解：設(shè)還需x天可以完成該工程，由題意得，SKIPIF1<0．故選：A．1．（2023·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在防疫政策的指導(dǎo)下，疫情得到了全面控制某醫(yī)療器械廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一批防護(hù)服的生產(chǎn)任務(wù)，如果每天生產(chǎn)防護(hù)服300套，那么就比原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)350套，那么可提前一天完成任務(wù)，并且還超過(guò)原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)50套，求這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)是多少？【答案】3100套【分析】設(shè)這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任為x套，根據(jù)完成的時(shí)間關(guān)系列出等量關(guān)系式即可．【詳解】解：設(shè)這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任為x套，依題意得：SKIPIF1<0，解得：x＝3100，答：這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任為3100套．2．（2021·黑龍江道里·七年級(jí)期末）振興東北“濱濱有禮、智領(lǐng)未來(lái)”，哈爾濱市地鐵“三號(hào)線”正在進(jìn)行修建中，現(xiàn)有大量的殘土需要運(yùn)輸．某車隊(duì)有載重量為10噸和15噸的卡車共20輛，全部車輛運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸260噸殘土．（1）求該車隊(duì)有載重量為10噸和15噸的卡車各有多少輛；（2）隨著工程的進(jìn)展，該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸殘土不低于360噸，為了完成任務(wù)，該車隊(duì)準(zhǔn)備新購(gòu)進(jìn)這兩種卡車共8輛，求該車隊(duì)新購(gòu)進(jìn)的卡車中最多購(gòu)進(jìn)載重量為10噸的卡車多少輛？【答案】（1）該車隊(duì)有載重量為10噸的卡車8輛，載重量為15噸的卡車12輛；（2）該車隊(duì)最多購(gòu)進(jìn)載重量為10噸的卡車4輛【分析】（1）設(shè)該車隊(duì)有載重量為10噸的卡車x輛，載重量為15噸的卡車y輛，由題意：某車隊(duì)有載重量為10噸和15噸的卡車共20輛，全部車輛運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸260噸殘土，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)新購(gòu)進(jìn)載重量為10噸的卡車a輛，則新購(gòu)進(jìn)載重量為15噸的卡車SKIPIF1<0輛，由題意：該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸殘土不低于360噸，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）設(shè)該車隊(duì)有載重量為10噸的卡車x輛，載重量為15噸的卡車y輛，由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：該車隊(duì)有載重量為10噸的卡車8輛，載重量為15噸的卡車12輛；（2）設(shè)新購(gòu)進(jìn)載重量為10噸的卡車a輛，則新購(gòu)進(jìn)載重量為15噸的卡車SKIPIF1<0輛，由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：該車隊(duì)最多購(gòu)進(jìn)載重量為10噸的卡車4輛．3．（2021·陜西韓城·七年級(jí)期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為某村莊修建3000m的村路，甲隊(duì)每天修建150m，乙隊(duì)每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的張紅同學(xué)，根據(jù)題意，列出的兩個(gè)二元一次方程等號(hào)后面忘記寫(xiě)數(shù)據(jù)，得到了一個(gè)不完整的二元一次方程組SKIPIF1<0，請(qǐng)你將張紅列出的這個(gè)不完整的方程組補(bǔ)充完整，并說(shuō)明未知數(shù)p、q表示的含義；（2）李芳同學(xué)的思路是設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路，請(qǐng)你按照李芳的思路，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別修建了多少天？【答案】（1）SKIPIF1<0；p表示甲工程隊(duì)修路時(shí)間，q表示乙工程隊(duì)修路時(shí)間；（2）甲工程隊(duì)修建了12天，乙工程隊(duì)修建了6天【分析】（1）由兩隊(duì)共用18天完成修路任務(wù)可得出p＋q＝18；利用工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，結(jié)合甲、乙兩隊(duì)的工作效率，可得出150p＋200q＝3000，且p表示甲工程隊(duì)修路時(shí)間，q表示乙工程隊(duì)修路時(shí)間；（2）設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路，根據(jù)兩工程隊(duì)接力18天完成3000m的修路任務(wù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成修路任務(wù)，且共用18天完成，∴p＋q＝18；∵甲隊(duì)每天修建150m，乙隊(duì)每天修建200m，18天共完成修建3000m的村路，∴150p＋200q＝3000，∴p表示甲工程隊(duì)修路時(shí)間，q表示乙工程隊(duì)修路時(shí)間．（2）設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路，依題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝12，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝6.答：甲工程隊(duì)修建了12天，乙工程隊(duì)修建了6天．【考點(diǎn)5】方程運(yùn)用2：行程問(wèn)題【例7】（2022·甘肅武威）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】設(shè)總路程為1，野鴨每天飛SKIPIF1<0，大雁每天飛SKIPIF1<0，當(dāng)相遇的時(shí)候，根據(jù)野鴨的路程+大雁的路程=總路程即可得出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意得：SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0x=1，∴（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）x=1，故選：A．【例8】（2022·湖南）中國(guó)“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開(kāi)通后，張家界到懷化的運(yùn)行時(shí)間由原來(lái)的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的平均速度．【答案】296km/h【分析】設(shè)高鐵的速度，再表示出普通列車的速度，然后根據(jù)高鐵行駛的路程+40=普通列車行駛的路程列出方程，再求出解即可．【詳解】解：設(shè)高鐵的平均速度為xkm/h，則普通列車的平均速度為(x-200)km/h，由題意得：x+40=3.5(x-200)，解得：x=296.答：高鐵的平均速度為296km/h．1．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）八年級(jí)期末）某學(xué)校體育有場(chǎng)的環(huán)形跑道長(zhǎng)SKIPIF1<0，甲、乙分別以一定的速度練習(xí)長(zhǎng)跑和騎自行車．同時(shí)同地出發(fā)，如果反向而行，那么他們每隔SKIPIF1<0相遇一次．如果同向而行，那么每隔SKIPIF1<0乙就追上甲一次，設(shè)甲的速度為SKIPIF1<0，乙的速度為SKIPIF1<0，則可列方程組為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】此題中的等量關(guān)系有：①反向而行，則兩人20秒共走250米；②同向而行，則50秒乙比甲多跑250米．【詳解】解：①根據(jù)反向而行，得方程為30（x+y）=400；②根據(jù)同向而行，得方程為80（y-x）=400．那么列方程組SKIPIF1<0,故選：A．2．（2021·吉林·九年級(jí)專題練習(xí)）某體育場(chǎng)的環(huán)行跑道長(zhǎng)400m，甲、乙分別以一定的速度練習(xí)長(zhǎng)跑和騎自行車．如果反向而行，那么他們每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分別是多少？【答案】甲、乙的速度分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】同向而行，相遇時(shí)甲的路程剛好比乙多了一圈；反向而行，相遇時(shí)兩人的路程加起來(lái)剛好是一圈；根據(jù)題意可列出方程組．【詳解】解：設(shè)甲、乙的速度分別為xm/s，ym/s，根據(jù)題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故甲的速度是SKIPIF1<0，乙的速度是SKIPIF1<0．3．（2022·湖南常德）小強(qiáng)的爸爸平常開(kāi)車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了SKIPIF1<0的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問(wèn)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？【答案】240千米【分析】平常速度行駛了SKIPIF1<0的路程用時(shí)為2小時(shí)，后續(xù)減速后用了3小時(shí)，用遇到暴雨前行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個(gè)等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是SKIPIF1<0千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛SKIPIF1<0千米，減速后每小時(shí)行駛SKIPIF1<0千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，則可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米．【考點(diǎn)6】方程運(yùn)用3：歷史文獻(xiàn)問(wèn)題【例9】（2022·江蘇蘇州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長(zhǎng)度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意，先令在相同時(shí)間SKIPIF1<0內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度SKIPIF1<0，走路慢的人的速度SKIPIF1<0，再根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列方程即可【詳解】解：令在相同時(shí)間SKIPIF1<0內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度SKIPIF1<0，走路慢的人的速度SKIPIF1<0，設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意可列出的方程是SKIPIF1<0，故選：B．【例10】（2022·江蘇揚(yáng)州）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著，其中有一道“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雞兔各幾何？”學(xué)了方程（組）后，我們可以非常順捷地解決這個(gè)問(wèn)題，如果設(shè)雞有SKIPIF1<0只，兔有SKIPIF1<0只，那么可列方程組為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】一只雞1個(gè)頭2個(gè)足，一只兔1個(gè)頭4個(gè)足，利用共35頭，94足，列方程組即可【詳解】一只雞1個(gè)頭2個(gè)足，一只兔1個(gè)頭4個(gè)足設(shè)雞有SKIPIF1<0只，兔有SKIPIF1<0只由35頭，94足，得：SKIPIF1<0故選：D1．（2022·四川成都）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個(gè)，十一文錢可以買甜果九個(gè)．問(wèn)：苦、甜果各有幾個(gè)？設(shè)苦果有SKIPIF1<0個(gè)，甜果有SKIPIF1<0個(gè)，則可列方程組為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)苦果有SKIPIF1<0個(gè)，甜果有SKIPIF1<0個(gè)，由題意可得，SKIPIF1<0故選：A．2．（2022·浙江寧波）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十．今有米在十斗桶中，不知其數(shù)．滿中添粟而春之，得米七斗．問(wèn)故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，即出米率為SKIPIF1<0．今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少．再向桶中加滿谷子，再春成米，共得米7斗．問(wèn)原來(lái)有米多少斗？如果設(shè)原來(lái)有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程組為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程組即可；【詳解】原來(lái)有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量為10斗，則SKIPIF1<0；已知谷子出米率為SKIPIF1<0，則來(lái)年共得米SKIPIF1<0；則可列方程組為SKIPIF1<0，故選A．3．（2022·江蘇宿遷）我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩(shī)中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可?。蝗绻婚g客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程組即可．【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：SKIPIF1<0，故選：B．【考點(diǎn)7】方程運(yùn)用4：數(shù)字問(wèn)題【例11】（2022·河北臨漳·八年級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)，它們的和為39，若將兩位數(shù)放在一位數(shù)的前面，得到的三位數(shù)比將一位數(shù)放在兩位數(shù)的前面得到的三位數(shù)大27，求這兩個(gè)數(shù)．若設(shè)兩位數(shù)是x，一位數(shù)是y，則可列方程組為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】若設(shè)兩位數(shù)是x，一位數(shù)是y，則兩位數(shù)放在一位數(shù)的前面，得到的三位數(shù)為10x+y，將一位數(shù)放在兩位數(shù)的前面得到的三位數(shù)為100y+x，再分別根據(jù)這兩數(shù)的和為39和兩位數(shù)放在一位數(shù)的前面得到的三位數(shù)比將一位數(shù)放在兩位數(shù)的前面得到的三位數(shù)大27，即可得出方程組．【詳解】解：設(shè)兩位數(shù)是x，一位數(shù)是y，則兩位數(shù)放在一位數(shù)的前面，得到的三位數(shù)為10x+y，將一位數(shù)放在兩位數(shù)的前面得到的三位數(shù)為100y+x，依題意得：SKIPIF1<0，故選D．1．（2022·寧夏中寧縣第三中學(xué)七年級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是6，把這個(gè)兩位數(shù)加上18后，比十位數(shù)字大56，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)兩位數(shù)是多少？【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為SKIPIF1<0，個(gè)位上的數(shù)字為SKIPIF1<0；根據(jù)題意列二元一次方程組，求解進(jìn)而得到兩位數(shù)的值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為SKIPIF1<0，個(gè)位上的數(shù)字為SKIPIF1<0；由題意可得SKIPIF1<0消元解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0這個(gè)兩位數(shù)為SKIPIF1<0．2．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，請(qǐng)利用二元一次方程組求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】這個(gè)兩位數(shù)為36【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為x，則十位數(shù)為y，然后根據(jù)題意可直接列方程組進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為x，則十位數(shù)為y，由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴這個(gè)兩位數(shù)為36．【考點(diǎn)8】方程運(yùn)用5：幾何圖形問(wèn)題【例12】如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形圖案是由8個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形拼成，寬為SKIPIF1<0，設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，根據(jù)題意可列方程組為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)圖形，在題中找到x、y的等量關(guān)系即可得到答案.【詳解】解：由題意可得，大長(zhǎng)方形的寬是x與y的和∴x+y=60又∵小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的3倍∴x=3y∴方程組為：SKIPIF1<0故選A.【例13】（2022·江蘇泰州）如圖，在長(zhǎng)為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【答案】4【分析】根據(jù)題意設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，則種草坪部分的長(zhǎng)為(50?2x)m，寬為(38?2x)m，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系建立方程即可得解．【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應(yīng)為4米．1．（2021·陜西秦都·八年級(jí)期末）如圖，10塊相同的小長(zhǎng)方形墻磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，設(shè)小長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為SKIPIF1<0厘米，寬為SKIPIF1<0厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】找到等量關(guān)系：一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬的3倍，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+小長(zhǎng)方形的寬的2倍=75，據(jù)此列二元一次方程組即可解題．【詳解】解：由圖形可知，等量關(guān)系：一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬的3倍，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+小長(zhǎng)方形的寬的2倍=75，設(shè)小長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為SKIPIF1<0厘米，寬為SKIPIF1<0厘米，由題意可得SKIPIF1<0，故選：C．2．八塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的寬等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm【答案】D【解析】【分析】就從右邊長(zhǎng)方形的寬40cm入手，找到相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)等量關(guān)系：4×小長(zhǎng)方形的寬＝40；一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬＝40．【詳解】解：設(shè)每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm．依題意得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．即：長(zhǎng)方形地磚的寬為10cm．故選：D．3．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為28cm，若把它的長(zhǎng)減少1cm，寬增加3cm，就變成一個(gè)正方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（

）A．48SKIPIF1<0 B．45SKIPIF1<0 C．40SKIPIF1<0 D．33SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為（14-x）cm．則根據(jù)題意列出方程組，解可得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，進(jìn)而得到正方形的邊長(zhǎng)，再計(jì)算面積即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為（SKIPIF1<0-x）cm，即（14-x)cm，依題意得：x-1=14-x+3，解得x=9．所以SKIPIF1<0-x=14-9=5（cm），故該長(zhǎng)方形的面積=9×5=45（cm2）．【考點(diǎn)9】方程運(yùn)用8：分段收費(fèi)【例14】濰坊出租車采用階梯式的計(jì)價(jià)收費(fèi)辦法如下表：行駛里程計(jì)費(fèi)方法不超過(guò)3公里起步價(jià)8元超過(guò)3公里且不超過(guò)7公里的部分每公里按標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)收費(fèi)超過(guò)7公里且不超過(guò)25公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的50%超過(guò)25公里且不超過(guò)100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的75%超過(guò)100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的100%說(shuō)明：行駛里程不足1公里，按1公里計(jì)算；行駛里程超過(guò)3公里時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)為1.8元/公里．若某人一次乘車費(fèi)用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【分析】設(shè)行駛里程為x公里，乘車費(fèi)用為26元．根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)行駛里程為x公里，乘