專題03 分式及其運算（4大考點）（原卷版）

第一部分數與式

專題03分式及其運算

核心考點一分式的概念

核心考點二分式的基本性質

核心考點

核心考點三分式的運算

核心考點四分式的化簡求值

新題速遞

核心考點一分式的概念

21221x1

例1（2022·湖南懷化·中考真題）代數式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）

5x243xx2

A．2個B．3個C．4個D．5個

1

例2（2022·內蒙古包頭·中考真題）若代數式x1在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是

x

___________．

2a26a9

例3（2022·湖北黃石·中考真題）先化簡，再求值：1，從-3，-1，2中選擇合適的a

a1a1

的值代入求值．

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知識點：分式的概念

一般地,如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母,那么式子A叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，B叫做分式的分母。

注意

A

（1）分式有意義的條件:分母不為零，即B01.分式可以表示兩個整式相除，其中分子為

B被除式，分母為除式，分數線起除號和括號

的作用。

（2）分式值為零：分子為零，且分母不為零。即A

B2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

（A0且B0）字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

式和整式的重要依據。

3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，

否則分式無意義。

xx2－1

【變式1】（2022·河北石家莊·一模）關于代數式M=1－，下列說法正確的是（）

x＋1x2＋2x＋1

1

A．當x=1時，M的值為0B．當x=﹣1時，M的值為﹣

2

C．當M=1時，x的值為0D．當M=﹣1時，x的值為0

2

【變式2】（2022·廣東珠?！つM預測）若a（m為正整數），且a、b互為相反數，b、c互為倒

1(1)m

數，則abbm(bc)2m的值為（）

A．0B．1C．2D．0或2

【變式3】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數式3x36x2y3xy2分解因式，結果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

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【變式4】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數式3x36x2y3xy2分解因式，結果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

【變式5】（2022·廣東佛山·二模）平面直角坐標系中有兩個一次函數y1，y2，其中y1的圖象與x軸交點的

橫坐標為2且經過點1,2，y2mx2．

(1)求函數y1的關系式；

1122

(2)當y2的圖象經過兩點,n和n,1時，求的值；

22nm

(3)當x1時，對于x的每一個值，都有y1y2，求m的取值范圍．

核心考點二分式的基本性質

例1（2020·河北·中考真題）若a1b，則下列分式化簡正確的是（）

1

a

a2aa2aa2aa

A．B．C．D．2

21

b2bb2bbbbb

2

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2x8

例2（2020·內蒙古呼和浩特·中考真題）分式與的最簡公分母是_______，方程

x2x22x

2x8

1的解是____________．

x2x22x

x34x2

例3（2021·廣西梧州·中考真題）計算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．

x2

知識點：分式的基本性質

分式的基本性質：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

AACAAC

,（C0），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性質可以進行約分、

BBCBBC

通分。

根據分式的基本性質，把一個分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約

分通常是把分式化成最簡分式或整式。

利用分式的基本性質，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號法則：改變分子、分母及整個分式三者中任意兩個的符號，分式的值不變，即

AAAA

BBBB

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a

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學模擬預測）實數ba1．則下列各式中比的值大的是（）

b

2aa2a1a1

A．B．C．D．

2bb2b1b1

2a

【變式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應（）

a3b

A．a擴大2倍，b擴大3倍B．a，b同時擴大3倍

C．a擴大2倍，b縮小3倍D．a縮小2倍，b縮小3倍

112x3xy2y

【變式3】（2022·湖北襄陽·一模）已知4，則分式的值為______．

yxx2xyy

【變式4】（2021·湖南·一模）已知實數a，b，c滿足a＋b＝ab＝c，有下列結論：

11

①若c≠0，則＝1；

ab

②若a＝3，則b＋c＝9；

③若a＝b＝c，則abc＝0；

④若a，b，c中只有兩個數相等，則a＋b＋c＝8.

其中正確的是____．(把所有正確結論的序號都選上)

【變式5】（2020·浙江杭州·模擬預測）（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數都化為正

4n2

數________．

n32

x0.2y

（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項系數都化為整數_______．

0.5x0.3y

2x3

（3）若分式的值是整數，求整數x的值．

x1

2

1x

（4）已知x2，求的值．

xx4x21

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核心考點三分式的運算

m2n22m

例1（2022·山東濟南·中考真題）若m－n＝2，則代數式的值是（）

mmn

A．－2B．2C．－4D．4

4a4a2

例2（2022·山東菏澤·中考真題）若a22a150，則代數式a的值是________．

aa2

a10

4a2

例（內蒙古通遼中考真題）先化簡，再求值：，請從不等式組的整

32022··a24a5

aa1

3

數解中選擇一個合適的數求值．

知識點：分式的運算

1、分式的運算法則

acac

分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母

bdbd

acadad

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分別()n

bbn

abab

同分母分式加減分母不變,分子

ccc

acadbcadbc

異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。bdbdbdbd

分式的混合運算：

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分式的混合運算，有多項式的，一般先因式分解，能約分的進行約分；有括號的先算括號，

有乘方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

a35

例：a2分式化簡中的誤區(qū)

a22aa2

a3a2a25

1.注意分式混合運算順序

aa2a2a2

a3a292.分式化簡不同于解分式方程,化簡過程中不能去分

aa2a2母.

a3a2

aa2a3a33.分數線有除號和括號兩重作用,同分母分式相加減

1(分子是多項式),分子應整體加括號.

aa3

2mnn2m2n2

【變式1】（2022·云南·開遠市教育科學研究所二模）化簡m2的正確結果是（）

mmmn

11

A．m－nB．m+nC．D．

mnmn

3a41

【變式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：(a)(■)的某一項被污染，但化簡的結果等于a2，

a3a2

被污染的項應為（）

a2a3

A．0B．1C．D．

a3a2

4aa2a1

【變式3】（2022·貴州遵義·模擬預測）已知a為2a4范圍的整數，則的值

aa22aa24a4

是______．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

【變式5】（2022·浙江舟山·二模）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能

看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：

第7頁共15頁.

(1)接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是

A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁

(2)請你書寫正確的化簡過程，并在“1,0,2，-2”中選擇一個合適的數求值．

核心考點四分式的化簡求值

x3xy2

例1（2020·湖北孝感·中考真題）已知x51，y51，那么代數式的值是（）

xxy

A．2B．5C．4D．25

例2（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN，已知①

和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.AEa,DEb，且ab．

（1）若a，b是整數，則PQ的長是___________；

S四邊形ABCD

（2）若代數式a22abb2的值為零，則的值是___________．

S矩形PQMN

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：

3tan30364(2)2(2)0

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22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，

并依次標注序號：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請寫出正確的計算過程．

21x23x

（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知識點：分式化簡求值的一般步驟

(1)按運算順序對所給分式進行化簡，化為最簡分式或整式；

(2)代入求值(代入求值時要注意使原分式及化簡過程中出現(xiàn)的分式均有意義)。

第9頁共15頁.

b2ab

【變式1】（2022·內蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預測）若ab2，則代數式a的值為（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

2abb2b2a2

【變式2】（2022·山東·昌樂縣教學研究室一模）如果a3b0，那么代數式a的值是

aa

（）

1111

A．B．C．D．

4242

aba3ab

【變式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零實數a，b滿足b，則的值等于__________．

2a12ab

【變式4】（2022·湖北黃岡·模擬預測）我國古代數學家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三

角”，它具有一定規(guī)律性，從圖中取一列數：1，3，6，10，…，分別記為a11，a23，a36，a410，…，

1111

那么的值是______．

a1a2a3a10

【變式5】．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）某同學在解分式的化簡求值題時，發(fā)現(xiàn)所得

答案與參考答案不同．下面是他所解的題目和解答過程：

2x1

先化簡（1），再將x＝5代入求值．

x2xx2x

2x12

解：原式1……第1步

x2xx2xx2x

22

第2步

x1x2x

2x2

第3步

xx1xx1

第10頁共15頁.

2x2

第4步

xx1

2x1

第5步

xx1

2

第6步

x

2

當x＝5時，原式第7步

5

(1)以上步驟中，第步出現(xiàn)了錯誤，導致結果與答案不同，錯誤的原因是；

(2)請你把正確的解答過程寫出來；

(3)請你提出一條解答這類題目的建議．

第11頁共15頁.

【新題速遞】

x24

1．（2022·山東·濟南市歷城區(qū)教育教學研究中心一模）化簡的結果是（）

x22x

12

A．x2B．x-2C．D．

x2x+2

2x1

2．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如果yx3，且xy，那么代數式的值為（）

x2y2yx

11

A．B．C．3D．3

33

ab

3．（2022·北京昌平·二模）若ab1，則代數式1的值為（）

ba2b2

A．2B．1C．1D．2

x21x1

4．（2022·廣東深圳·二模）化簡的結果是（）

2xx

2x1

A．x1B．x1C．D．

x12

2xx1

5．（2022·河北·育華中學三模）要比較A與B中的大?。▁是正數），知道AB的正負就可以

x12

判斷，則下列說法正確的是（）

A．ABB．A＞BC．ABD．A＜B

11

6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，x5，則x的值為（）

xx

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

MN5x8

7．（2022·山東濟南·一模）若，則M，N的值分別為（）

2x13x26x2x2

1111

A．M2，N3B．M，NC．M3，N2D．M，N

2332

2

8．（2021·河南周口·二模）已知函數y，其中f(a)表示xa時的函數值，則

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值為（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

x2xy

9．（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

3xm

10．（2022·湖北黃石·模擬預測）關于x的方程4的解是負數，則m的取值范圍是______．

x3

1aabb

11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知：a與b互為相反數，且ab，則______．

2a2ab1

11a1

12．（2022·北京密云·二模）已知a22a20，則代數式的值為______．

a1a21a22a1

第12頁共15頁.

x22

13．（2022·湖北·廣水市教學研究室二模）對于實數x0，規(guī)定fx，例如f2，

x1213

1

111111

f2，那么計算fffff(1)f(2)f(3)f(2020)的

1

2132020201920182

2

結果是______．

14．（2022·重慶市育才中學二模）臨近端午，某粽子銷售商向市場推出白粽、豆沙粽和蛋黃粽三種粽子套餐．推

1

出市場的第一周，白粽套餐的銷量等于蛋黃粽套餐的銷量，豆沙粽套餐的銷量占白粽套餐銷量的，三種

9

粽子套餐的銷量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黃粽套餐的成本是每份白粽套餐與每份豆沙粽

套餐的成本之和，粽子銷售商準備這三種套餐成本一共6132元，且準備的套餐全部售出三種粽子套餐在第

一周推出后，廣受大眾歡迎，在第一周銷量的基礎上第二周三種粽子套餐銷量都有所增加，其中豆沙粽套

56

餐增加的銷量占總增加銷量的，豆沙粽套餐的總銷量達到三種粽子套餐總量的，此時白粽與豆沙粽總

1231

銷量之比為5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不變，白粽套餐每份售價為10元，而每份豆沙粽套餐的

8

成本下降了3元，每份蛋黃粽套餐的成本是第一周的倍，且準備的套餐全部賣完，最后三種粽子套餐的

11

總利潤率為20%．則第二周銷售時豆沙粽套餐銷售額與蛋黃粽套餐的銷售額之和為_________元．（三種粽

子套餐的成本和售價均為正整數，售價大于成本）

a22a1a2a2

15．（2022·福建省泉州實驗中學三模）先化簡后求值，其中a3．

a21a1a

9a23a1

16．（2022·山東·濟南育英中學模擬預測）先化簡，再求值：，其中a52

a2